2024-2025学年山西省太原市常青藤中学高一（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省太原市常青藤中学高一（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
2.已知函数的图像恒过一点，且点在直线的图像上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.下列各式中，值为的是( )
A. B.
C. D.
5.如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫作“可变区间”若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为( )
A. B. 和
C. D.
6.已知函数，若，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设为的外心，，，的角平分线交于点，则( )
A. B.
C. D.
10.已知复数，，下列说法正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D. 若，则
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，则( )
A. 三棱锥的外接球的表面积为
B. 三棱锥的外接球的体积为
C. 点到平面的距离为
D. 已知点是底面不含边界内一动点，且平面，则线段的长度的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，若，则 ______．
13.当，时，的最小值为______．
14.在中，，，点满足，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，其中．
求的定义域；
若，求的值．
16.本小题分
已知向量，．
若，，求；
若，为单位向量，对任意实数，恒成立，求向量，的夹角的取值范围．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，且的面积为，求边上的中线长．
18.本小题分
年上海书展于月日至日在上海展览中心举办展会上随机抽取了名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：
求的值，并估计这名观众每个月阅读时长的平均数；
用分层抽样的方法从，这两组观众中随机抽取名观众，再若从这名观众中随机抽取人参加抽奖活动，求所抽取的人恰好都在这组的概率．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
证明：；
若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
参考答案
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15.解：函数有意义，则有，得，
所以函数的定义域为．
因为，
所以，即，
所以，即，
故．
16.解：因为，，
所以，，
所以；
因为是单位向量，设的夹角为，
由得：，
所以，
即对任意的实数 恒成立，
则，解得：，
又因为，函数在上单调递减，
所以，
所以向量的夹角的取值范围是．
17.解：，由正弦定理得：，
因为，所以，
故，即，
因为，所以，故，
所以，所以．
在中，由余弦定理，得，
因为，所以，
所以，
设的中点为，则，
两边同时平方得：，
所以，
即边上的中线长为．
18.解：由频率分布直方图得：，解得，
阅读时长在区间，，，，内的频率分别为，，，，，
所以阅读时长的平均数．
由频率分布直方图，得数据在，两组内的频率比为：：，
则在内抽取人，记为，，在内抽取人，记为，，，，
从这名志愿者中随机抽取人的不同结果如下：
，，，，，，，，，
，，，，，，共个，
其中抽取的人都在内的有，，，，，，共个，
所以所抽取人都在内的概率．
19.解：证明：因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
方法一：
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
设，则，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
又，
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故．
方法二：
过作，交于点，过作于点，连结，
由题意可知，，又平面
所以平面，又平面，
所以，又，，、平面，
所以平面，又平面，
所以，
则为二面角的平面角，即，
又，
所以，则，
故，
所以，
因为，
则，
所以，则，
所以，则，
所以．
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