2024-2025学年广东省广州十六中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州十六中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.满足条件 的所有集合的个数为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.已知幂函数为偶函数，则( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域是，则的取值范围是( )
A. B. 或 C. D.
6.设，，下列说法中错误的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “，”是“，”的充要条件
D. “”是“”的既不充分也不必要条件
7.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
10.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的解集为
C.
D. 的解集为
11.若，均为正数，且，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ______．
13.已知对任意两个实数，，定义，对任意的实数，记，的最大值是______．
14.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，对于任意实数，恒成立，求的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，．
若，求，；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
求的解析式；
用定义证明在上为增函数；
判断的单调性不用证明
17.本小题分
根据市场调查知，某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为万元，每生产万只还需另投入万元若该公司一年内共生产该款运动手环万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为万元，且当该公司一年内共生产该款运动手环万只并全部销售完时，年利润为万元．
求出的值，并写出年利润万元关于年产量万部的函数解析式；
当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
18.本小题分
已知函数，常数．
讨论函数的奇偶性，并说明理由；
若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
19.本小题分
对称美在日常生活中随处可见，在数学中也非常常见高一某同学通过自主探究发现：当时：若恒有，则函数关于直线对称；若恒有，则函数关于点对称；函数关于直线对称，必为偶函数；若函数关于点对称，则必为奇函数；三次函数一定有对称中心；四次函数不一定有与轴垂直的对称轴请您对上诉结论作进一步探究，结合自己的实际，解答以下问题：
求三次函数的对称中心；
若四次函数有垂直于轴的对称轴，求的值；
若，求的值．
参考答案
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15.解：时，全集，集合，
，
或，
，
；
，，
当时，，解得；
当时，，
解得，
综上，实数的取值范围是
16.解：由是定义在上的奇函数，所以，
依题意当时，，
所以，可得；
所以的解析式为；
取任意，，且，
则，，
所以，
则
，
即，
所以在上为增函数；
由可知，在上为增函数；
当时，易知，，，，
所以，即，
可得在上为减函数；
由奇函数性质可知，在和上为单调递增函数；
在和上为单调递减函数．
17.解：由题意可得，
当时，，
所以，解得．
所以
当时，，其图象开口向下，对称轴为，
所以当时，取得最大值万元；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值万元，
因为，
所以年产量为万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为万元．
18.解：当时，对任意，有，
为偶函数，
当时，，
取，得，，
，，
函数既不是奇函数也不是偶函数，
综上所述，当时，为偶函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数；
设，
则，
要使函数在上为增函数，必须有恒成立，
，，即恒成立，
又，
则，
的取值范围是．
19.解：法一：
，
可由奇函数右移个单位，再上移个单位得到，
故三次函数的对称中心为．
法二：令
，
则，，，解得：，，，
即，
可由奇函数右移个单位，再上移个单位得到，
故三次函数的对称中心为．
若函数关于直线对称，
则，
所以，，，，解得．
令，由知，由奇函数平移得到，其对称中心为，
又在上单调递增，故在上单调递增，所以，
可化为，
所以，故．
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