湖北省“云学名校联盟”2025届高三年级12月联考数学试题（含答案）

湖北省“云学名校联盟”2025届高三年级12月联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足：为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知，，则，的余弦值等于( )
A. B. C. D.
4.已知直线与相交于、两点，的最小值为( )
A. B. C. D.
5.数列的首项，是数列的前项积，，则( )
A. B. C. D.
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在正四棱柱中，高为底面边长二倍，、分别是棱、的中点，过、的平面平分正四棱柱的体积，则平面与面所形成二面角的正弦值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中正确的是( )
A. 已知事件、互斥，、至少有一个发生的概率为，且，则
B. 已知事件、满足，，若，则
C. 随机变量的概率分布列为，，其中是常数，则
D. 有五个不同的科目，甲、乙两人分别选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为
10.已知抛物线的焦点坐标为，、为上两点，，，则( )
A.
B.
C. 若线段的中点的坐标为，则
D. 当时，若、在轴上方，则抛物线上存在三个不同的点，使得
11.已知定义在上的函数，其导函数为，下列说法正确的是( )
A. 若，且，则不等式的解集为
B. 若，且，则不等式的解集为
C. 若为奇函数，当时，图像连续且有成立，则不等式解集为
D. 若，且当时，则不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设集合，为集合的非空子集，且中所有元素之和为偶数，则满足条件的集合的个数为 ．
13.已知函数，满足，且，则的最小值为 ．
14.已知、是双曲线的左、右顶点，点在右支上，在中，，，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四边形是边长为的正方形，平面，，
求证：平面
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数，是导函数，设．
讨论的单调性
证明：．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且
求角
已知，角的角平分线交于点，求长度的最大值．
18.本小题分
已知椭圆，其左、右顶点分别为，，点是直线上的一动点，直线，分别交椭圆于，两点在下方，设直线，的斜率分别为，．
求的值
设直线交轴于点，连接交椭圆于点，当，两点关于原点对称时，求三角形的面积．
19.本小题分
已知数列，，，为实数数列，
令，，称为连续可表数，当时，记．
已知数列，，将所有的连续可表数，所形成的集合记作，求出，并给出一个与数列不同的数列，使得
已知有穷整数数列，，，，，且满足：若为奇数时，若为偶数时，，求的最小值
已知无穷实数数列，，，，对于给定的正整数，若数列满足：对任意的正整数恒成立，则称数列为连续可表数列，证明：若“数列既是连续可表数列，又是连续可表数列”，则数列为等差数列．
参考答案
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15.解：由题：，平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
又，，平面，平面平面，
又平面，平面；
由题：平面，平面，平面，
所以：，，
又，，平面，，则平面，
以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴、建立如图所示得直角坐标系，
则，，，，
由平面，得平面得法向量为，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，所以，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则．
平面与平面所成的夹角的余弦值为．
16.解：，则，
可得，
即在上单调递增，在上单调递减；
，则原式等价于，
令证明，
令，，，在上单调递减，，；
令，，，在上单调递增，，．
综上：当，，此题得证．
17.解：，
，
，
，，．
由于，
，
，
．
由正弦定理：，，
则
令，则，，
则，
，
即：，
故：长度的最大值为．
18.解由题：，，设点，
则，，
，
由题：设直线的方程为：，设，
联立方程：
，
由韦达定理可得：，，
由图形的几何性质：四边形为平行四边形，故A，
由可知
，，
又因为，
解方程可得：，由于在下方，故，
，，，

19.解：，例如，，．
当，
当，
由可得：，即，
同理可得当，
由可得：，即，
同理可得如下结论：
当，，可得，
当，，可得，
当，，可得，
当，，可得，
当，，可得，
当，，可得，
当，，可得，
另外当时，，得到，
．
证明：若数列是连续可表数列，则对，均有：
若数列又是连续可表数列，此时均有：
可得：，即数列从第三项开始是等差数列，设公差为，
又，
，
数列从第二项开始是等差数列，
又，
，
数列从第一项开始是等差数列
综上：若“数列既是连续可表数列，又是连续可表数列”，则数列是等差数列．
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