2023-2024学年四川省宜宾六中高三（上）期末数学试卷（文科）（含答案）

2023-2024学年四川省宜宾六中高三（上）期末数学试卷（文科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.甲、乙两人进行了轮的投篮练习，每轮各投个，现将两人每轮投中的个数制成如图所示折线图下列说法正确的是( )
A. 甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小
B. 甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C. 甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D. 甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
5.一个不透明的袋中装有个红球，个黑球，个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取个球，则“这个球的颜色各不相同”的概率为( )
A. B. C. D.
6.记为等差数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
7.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则( )
A. B. C. D.
8.平行四边形中，，，，点是边的一个四等分点靠近点，则的值是( )
A. B. C. D.
9.若函数在上存在极小值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知为坐标原点，双曲线，过双曲线的左焦点作双曲线两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为，，若四边形的面积为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
11.如图，正方体，点在上运动不含端点，点是上一点不含端点，设与平面所成角为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，交其准线于点，且、位于轴同侧，若，则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线：，直线：，若，则 ．
14.若函数是偶函数，则实数的值为______．
15.在中，角，，的对边分别为，，，，，则 ______．
16.已知定义在上的函数满足，，为的导函数，当时，，则不等式的解集为______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
四户村民甲、乙、丙、丁把自己不宜种粮的承包土地流转给农村经济合作社，甲、乙、丙、丁分别获得所有流转土地年总利润，，，的流转收益该土地全部种植了苹果树，年所产苹果在电商平台销售并售完，所售苹果单个质量单位：，下同在区间上，苹果分装在，，，种不同的箱子里，共箱，装箱情况如下表把这箱苹果按单个质量所在区间以箱为单位得到的频率分布直方图如图．
苹果箱种类
每箱利润元
苹果单个质量区间
根据频率分布直方图，求和甲、乙、丙、丁年所获土地流转收益单位：万元；
在甲、乙、丙、丁中随机抽取户，求这户中恰有户年土地流转收益超过万元的概率．
18.本小题分
如图，三棱柱中，与均是边长为的正三角形，且．
Ⅰ证明：平面平面；
Ⅱ求四棱锥的体积．
19.本小题分
已知数列的前项和为，，且数列为等差数列．
求数列的通项公式；
定义：表示不超过的最大整数设，求数列的前项和．
20.本小题分
已知椭圆：的焦距是，长轴长为．
求椭圆的方程；
，是椭圆的左右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．
21.本小题分
已知且在上单调递增，．
当取最小值时，证明恒成立；
对，，使得成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
若，直线与曲线交于，两点，求的值．
23.本小题分
已知函数．
求的最小值，并指出此时的取值范围；
证明：等价于．
参考答案
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17.解：由图知，
根据表和图得年这批流转土地总利润为：
万元，
所以甲、乙年所获土地流转收益均为万元，丙年所获土地流转收益为万元，丁年所获土地流转收益为万元；
在甲、乙、丙、丁中随机抽取户，所有可能结果为：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁个结果情况，
其中甲丙，乙丙，丙丁中恰有户土地流转收益超过万元，
设事件表示“这户中恰有户年土地流转收益超过万元”，
则，
所以这户中恰有户年土地流转收益超过万元的概率为．
18.解：Ⅰ证明：取中点，连接，，如图，
三棱柱中，与均是边长为的正三角形，且，
，，，
是平面和平面所成角，
，，
平面平面；
Ⅱ取中点，连接，，取的中点为，连接，
则，，则
，，，，平面，
平面，
，平面，，，，
，，，平面，
平面，
，
四棱锥的体积为：
．
19.解：数列的前项和为，，且数列为等差数列，
可得，
数列的公差为，
故数列的通项为，即，
当时，，
由可得：，
整理得，
当时，，
由可得，
即，，故数列为等差数列，
因，数列的公差为，则．
由表示不超过的最大整数，
，
易得，，
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：，
故得．
20.解：由题意，，，则，．
．
椭圆的方程为；
设，，
由已知可得，直线与轴不重合，设直线：．
联立，整理得．
．
，．
由，得，即，
从而．
解得，即．
直线的方程为：或．
21.解：证明：因为且在上单调递增，
故在上恒成立，则，时取等号，故的最小值为，
所以，，令，，
令得，易知时，，时，，故是唯一的极大值，也是最大值，
故恒成立，即取最小值时，恒成立；
易知是偶函数，故只需研究上的最小值，
令，得，结合，，
结合可导函数在连续闭区间上最值的求法可知，，
即，，
则由题意可知：，使得成立，
上式可化为在上有解，
结合可知，，
对式分离参数并令，有解，
经计算得，由知，得，
所以，
所以由得，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
结合得，即为所求，
故的范围是．
22.解：直线的参数方程为为参数，
消去参数可得其直角坐标方程为，
直线的极坐标方程为；
曲线的极坐标方程为，
，
曲线的直角坐标方程为；
把直线的参数方程转换为标准式为为参数，
将上式代入中可得：
，
所以，，
所以．
23.解：，画出的图象如下图所示，
由图可知，的最小值为，对应．
证明：由，得或，
解得或，
结合图象可知的解集为．
而，即，即，
所以不等式的解集为．
所以等价于．
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