2024-2025学年天津二中高三（上）调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津二中高三（上）调研数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. ，，，
B. ，
C. ，
D. ，，
6.下列说法中正确的是( )
A. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
B. 将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
C. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则甲组数据的线性相关程度更强
D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越接近，判断两个变量有关的把握越大
7.若，，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，已知四棱柱的体积为，四边形为平行四边形，点在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为( )
A.
B.
C.
D.
9.已知函数，若方程有且仅有个不等实根，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知为虚数单位，则 ______．
11.在二项式的展开式中，常数项是______．
12.已知圆心为的圆与轴相切，且与直线相交于，两点，若，则实数 ．
13.某班从名班干部其中男生人，女生人中，任选人参加学校的义务劳动男生甲或女生乙被选中的概率为______；设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则 ______．
14.已知，当取到最小值时， ______．
15.如图，在中，，，，是边上一点，且若，记，则 ______；若点满足与共线，，则的值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，若且的面积为，．
Ⅰ求角的大小及；
Ⅱ求的值．
17.本小题分
已知函数．
求的对称轴；
求在区间上的值域．
18.本小题分
在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到的距离．
19.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求曲线在处的切线方程；
Ⅱ若在区间上单调递减，求的取值范围：
Ⅲ若，存在两个极值点，，证明：．
20.本小题分
有个首项为的等差数列，设第个数列的项为，公差为，并且，，，，成等差数列．
当时，求，，以及；
证明是的多项式，并求的值；
当，时，将数列分组如下：，，，每组数的个数构成等差数列，设前组中所有数之和为，，求数列的前项和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15. 或
16.解：Ⅰ，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
Ⅱ由正弦定理可知，
，
，
，
，
．
17.解：由
，
令，得，，
所以的对称轴为，；
由可知，，因为，
则，，
在区间上的值域为．
18.证明：如图，取中点，连接，，
因为为中点，，，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为中点，为中点，则，
又平面，平面，所以平面，
因为，，平面，所以平面平面，
又平面，故D平面；
解：根据题意，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得，，，，，，
则，
设平面的法问量为，
则，解得，
取，则，，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
由可知，，
所以点到的距离为．
19.解：Ⅰ由题意知：定义域为，
，又，
曲线在处的切线方程为；
Ⅱ，又在区间上单调递减，
在上恒成立，即在上恒成立，
在上恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，，
，即实数的取值范围是；
证明：Ⅲ由Ⅱ知：，满足，，
不妨设，则，
，
则要证，即证，
即证，也即证成立，
设函数，则，
在单调递减，又，
当时，，
，即．
20.解：当时，由题意可知
，，
由题意知，：Ⅰ由题意知．
则，
同理，，，，
又因为，，，成等差数列，所以．
故，即是公差为的等差数列．
所以，．
令，，则，此时．
当，时，
数列分组如下：，，，
按分组规律，第组中有个奇数，
所以第组到第组共有个奇数．
注意到前个奇数的和为，
所以前个奇数的和为．
即前组中所有数之和为，所以．
因为，所以，从而．
所以
得：
．
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