2024-2025学年北京师大附中高三（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年北京师大附中高三（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
3.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
5.若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在中，，则( )
A. B. C. D.
9.设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知是无穷等比数列，其前项和为，若对任意正整数，都有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是______．
12.已知为等比数列，为其前项和，若，，则 ______； ______．
13.若向量，满足，则的最小值是______．
14.已知函数直线与曲线的两个交点，如图所示若，且在区间上单调递减，则 ______； ______．
15.已知函数，给出下列四个结论：
存在实数和，使函数没有零点；
存在实数，对任意实数，函数恰有个零点；
存在实数，对任意实数，函数不会恰有个零点；
对任意实数和，函数不会恰有个零点．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数，且．
求的值和的最小正周期；
求在上的单调递增区间．
17.本小题分
在中，．
Ⅰ求的大小；
Ⅱ若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．
条件：边上中线的长为；
条件：；
条件：．
18.本小题分
某医学小组为了比较白鼠注射，两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选只健康白鼠做试验将这只白鼠随机分成两组，每组只，其中第组注射药物，第组注射药物试验结果如下表所示．
疱疹面积单位：
第组只
第组只
Ⅰ现分别从第组，第组的白鼠中各随机选取只，求被选出的只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率；
Ⅱ从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取只抽血化验，求第组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；
Ⅲ用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，写出方差，的大小关系结论不要求证明
19.本小题分
已知椭圆：的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为．
Ⅰ求椭圆的方程及离心率；
Ⅱ是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点证明：直线的斜率为定值．
20.本小题分
已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程．
若在处取得极值，求的极值．
若在上的最小值为，求的取值范围．
21.本小题分
对于由有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为定义变换，变换将集合变换为集合．
Ⅰ若，求，；
Ⅱ若集合有个元素，证明：“”的充要条件是“集合中的所有元素能组成公差不为的等差数列”；
Ⅲ若且，求元素个数最少的集合．
参考答案
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16.解：因为，且，
所以，
解得，
所以
，
即，
所以的最小正周期；
由，，
解得，，
所以的单调递增区间为，，
当时，的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，
所以在上的单调递增区间为，．
17.解：Ⅰ因为，由正弦定理可得：，
在中，，，
可得，
因为，可得；
Ⅱ选条件：边上中线的长为，
设边中点为，连接，则，，
在中，由余弦定理得，即，
整理得，解得或舍去，
所以的面积为；
选条件：因为，则，
因为，
所以该三角形不存在；
选条件：，在中，由余弦定理得，
即，整理得，解得或，
当时，的面积为，
当时，的面积为．
18.解：Ⅰ记被选出的只白鼠皮肤疱疹面积均小于为事件，
其中从第组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为，
从第组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为，
所以．
Ⅱ依题意的可能取值为、、，且，，，
所以的分布列为：
所以．
Ⅲ依题意可得，，
所以，
所以，
又，，
所以，
所以，
所以
19.解：Ⅰ因为直线的方程为，
所以，，
即，，所以，
所以椭圆方程为，离心率；
Ⅱ证明：依题意，如图，设，，则，
因为点是椭圆上一点，则，
直线的方程为，
因为轴，则，所以，
所以，
又，，
易得直线的方程为，
又轴，则，
所以
，
即，
所以，为定值．
20.解：若，则，则，
故，，
故曲线在点处的切线方程为，即；
，定义域为，
则，
由于在处取得极值，故，，
则，
令，则或，函数在上均单调递增，
令，则，函数在上单调递减，
故当时，取到极大值，
当时，取到极小值；
由于，
当时，，仅在，时等号取得，在上单调递增，
则，符合题意；
当时，则时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
故，不符合题意；
当时，，在上单调递减，
故，不符合题意；
综上，可知的取值范围为．
21.解：Ⅰ若集合，则分
Ⅱ令不妨设．
充分性：设是公差为的等差数列．
则
且所以共有个不同的值．即．
必要性：若．
因为，．
所以中有个不同的元素：，，，，，，，．
任意 的值都与上述某一项相等．
又，且，，，，．
所以，所以是等差数列，且公差不为分
Ⅲ首先证明：假设，中的元素均大于，从而，
因此，，故，与矛盾，因此．
设的元素个数为，的元素个数至多为，从而，的元素个数至多为．
若，则元素个数至多为，从而的元素个数至多为，
而中元素至少为，因此．
假设有三个元素，设，且，则，，，，，，，，，
从而，，，若，中比大的最小数为，则，与题意矛盾，故．
集合中最大数为，由于，故，从而，
若，且此时，，，，，，，，，则有，，在与之间可能的数为，．
此时，，，不能全在中，不满足题意．
若，且此时，，，，，，，，，则有，
若，则或，
解得或．
当时，，，，不满足题意．
当时，
，满足题意．
故元素个数最少的集合为分
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