2025届 高三部分重点中学 12月联合测评
数学试题参考答案及多维细目表
题号 2 3 4 5 9 知必要性成立 .
C D B D C A 6.答案 【答案 】
A
【解析】设等比数列(a )的 公比为 q·q≠ 0,依题
题号 7 8 9 10 11 一
答案 A B AD ABC BCD 意 ,
1.【答案】C
【解析】∵A= {x|In(x-1)≤0}= {x|1
5q+2=0,解得 q=2或 -
. 或 ,
:
2 【答案】D
【解析】由 可 得
7.【答案】A
,故对应的点为 ,位于 【解析】由题知F(1,0),直线 l 的斜率不为 0,设
第四象限. 直线 l 的方 程 为 x=my+ 1,A (x ,y ),
3.【答案】B B(x y , · :)
π解析】÷ 9 .增加两个样本点后
x的平均数 ::
一一 增加两个样本点后γ的平
均数为 3.一3—3×1+6.解得万-。
∴新的经验回归方程为y=3x,则 当 x=4时 ，y
=12,∴样本点(4,10)的残差为 10-12=-2. 联 整理得y -4my- 4=0,则 y
4.【答案】D
【解析】 ∵2023 =(2024-1) =C ,2024 +y = 4m,y yz=-4 .
-C s2024 + … +C2 2 024-C2 = ∴x +x =m( y y ) 2=4m + + +2.
2024(C2 2024 0 — Cxs2024 + … + ∵oP=OA+ OB,∴四边形 OAPB 为平行 四
C
…-1)+2024-C ,∴b= 2024-C = 边形 .2023 .
C ∵点 P 的横坐标为 3,∴3=x +x =4m +2 ,5.【答案】
【解析】∵cosθ=1,则 a · b=|a | · |b |,∴a,b 解得
同向，但当|a|- |b|<0时显然不满足 |a-b|=
al- |b|,因此充分性不成立.∵ |a-b|= |a l ∴|AB|= √1+m · √(y +y ) -4y y =
- |b| ,∴ (|a-b|) =(la |-|b|) ,即 |a | + √1+m ·√16m -4×(-4) = 5 .
|b| - 2a · b= |a | +|b| - 2|a | · |b| ,即 a ·
b= |a l · |b| ,从而 a,b 同 向，cos0= 1,由此可 点 O到直线AB 的距离 ∴平
数学试题 参考答案 第 1页 共 7页
5×2-5=2√5. 对于选项B,∵x>y>0且z>0,由糖水原理可行四边形OAPB的面积为
知
8.【答案】B +>学,故错误；
【解析】如图，取AB中点M,连接PM,CM. 对于选项C,当x<0由题可知AB⊥PM,AB⊥CM. 错误；
∵PM∩CM=M,PMC平面PMC,CMC平面 对于选项D.(x+÷)-(v+1)=y+1-
PMC,∴AB⊥平面PMC.
作PH⊥MC,垂足为H.∵PHC平面PMC, 1=(xy+1(1-1)>0,即x+1>y+
∴AB⊥PH.
又CM∩AB=M,CMC平面ABC,ABC平面 12,故正确.
ABC,∴PH⊥平面ABC. 10.【答案】ABC
过点H作HN⊥BC,垂足为N,连接PN,易知
BC⊥PN.
【解析】由图可知A
设小球半径为2H-FB-2∴PH=3r.
根据题意，V三被PABC=3S△Ac·PH= k∈Z,解得w=2,φ=2kx+6,k∈z,
3(Sapm+Samc+Sarc+S△me)·r, ∴f(x)=2sin(2x+6).
∵S△PAn=S△Anc=2,S△rac=S△Pac∴6=4+ 对于选项A,当xe[-零·哈]时，2x+答e
2S△pac∴S△Pac=S△Pac=1.
由云BC·PN=1,得PN=1.∴sin∠PBC= -2,] f(x)在区间[-3,]上单调
递增，故正确；
PB-2 cs∠PBN=3 对于选项B.()=2sin(s+6)=2sin3
∴PC=√PB2+CB2-2PB·CBcos∠PBC=
=-2为其最小值， 为f(x)图象的一
√6-√2. x=3
P 条对称轴，故正确；
E G 对于选项c,f(2)=2sin(6"+6)=
F
:0 2sin 2π=0∴点(,0)为f(x)图象的一个
A C
M N 对称中心，故正确；
B 对于选项D,当xe[0,]时，2x+答∈
9.【答案】AD
即x=0时，f(x)m
【解析】对于选项A,当x>0时， [6,3].当2x+6-帝
=1,当2x+6-2即：x=6时，f(x)mx=2,
∵x+1≥2,,当且仅当x=1时，取等号，∴
即f(x)在区间[o,].上的值域为[1,2],故
+≤1故正确 错误.
11.【答案】BCD
数学试题 参考答案 第2页 共7页
【解析】对于选项A,沿C →B →A →A→B→ (96,100)的概率为1-2×0.05=0.9,
C→C,等路线即可，故错误； 即1件产品的质量指标位于区间(96,100)的概
对于选项B,若存在重复路线，两次移动回到点 率为0.9,∴Y~B(500,0.9),故D(Y)=500×
C 可以第一次移动到达点A ,B,C,第三次 0.9×0.1=45.
移动再从这些移动方式中选，共有9种走法，另 14.【答案】(e°,1)
外可以先移动两次再原路返回，第一次移动可
能到达点A ,B ,C,每个点在第二次移动时都 【解析】f(x)=a-1-log.(x-1)=-
有两种移动方式，故有6种方式； ncna)=ana[a'lna-aln(x-1],
若不存在重复路线，经过点C由四条棱组成的
闭合回路只有C A,ACC,和C B BCC,两种， 记h(x)=a2Ina-aln(x-1),f(x)在定义域
每条路都有两种经过方式，共有4种方式，∴概 上单调，可得h(x)必为单调函数.
若h(x)单调递增，则h'(x)=a(Ina)2-
率为(3)·19-,故正确；
恒成立，即(x-1a2 1≥(na)
对于选项C,列举法：C →A →A→B→B → x“1≥0
C ,C →A →A→B→C→C ,C →A →B → a'≥(na) .又函数G(t)=ta'在t→0时值
B→C→C ,C →B →A →A→C→C ,C →C
→A→B→B →C ,故共有5条不同笔记，故 趋近于0,不满足.
正确； 若h(x)单调递减，则h'(x)=a2(Ina)2-
对于选项D,先考虑重复路线： -≤0恒成立,即(x-1)a前两条路线重复，第一次移动到达点A ,B ,C
共3条路径；后两条路径重复(即第一次移动到 a'≤(Ina)
点A )同理有3条路径，其中C →A →C →
A,重复，故共只有5条路径； ∴(a′)-再考虑不重复路径：只有C →C→A→A ,1条
路径，∴三次移动后到达点A有6条路径.记事 +tIna)a'=0,则=-na,
件A:从点C 出发，三次移动后到达点A ;事 当a>1时，t<0不成立；
件C:从点C 出发，三次移动时经过点C,故
当00,∴G(1)在区间
P(A,)=(3)·6,P(A C=(3)·2,
(0,-na)上 单 调 递 增，在 区 间
故P(CIA )=PAC=3 ,故正确.(也可以
(-na,+)上单调递减，直接列举路径来判断)
12.【答案】8 ∴-ma·a-<(na,即a-≤-n
【解析】根据点F到其中一条渐近线的距离为
2,可得b=2,且满足α+β=π.又α=5β∴β= :(-a)n a≤in(-n),,即-1≤
6 &=tans=3,故a=2√3,∴c=4,∴焦 a(-),解得e ≤a<1.
距为2c=8.
13.【答案】45 15.解：(1)由二倍角公式得
【解析】由正态分布的性质得质量指标在区间
数学试题 参考答案 第3页 共7页
又PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,
2分 ∴PA⊥BD.又AC,PAC平面PAC,ACNPA=A,
∴BD⊥平面PAC.
又 BDC平面PBD,∴平面PAC⊥平面PBD.
7分
(2)∵AB,AD,AP两两互相垂直，∴分别以
整理得sinosB-csAsin2=0, AB,AD,AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角
坐标系.
即sin(2-2)=0. 5分 +
P
∵A,B∈(0,π),∴2-2=0,,即A=B,即
△ABC为等腰三角形. 6分 M
(其他方法酌情给分) A D -y
(2)由(1)及题设，有AC=BC=2CD, Bk
C
icos∠CAD=AC2ACPADCD 不妨设BC=1,则A(0,0.0),C(2,1,0),D(0,
-Ac2+A· 4,0),P(0,0,4),∴PC=(2,1,-4),PD=(0,4,-4).
∵点M在平面PCD内，
-e+AP ∴设PM=xPC+yPD,
则AM=AP+xPC+yPD=(0,0,4)+x(2,
-8AC+2AC 1,-4)+y(0,4,-4)=(2x,x+4y,4-4x-
4y), 9分
≥2SAC·AC ∵AM⊥平面PCD,∴AM⊥PC,AM⊥PD,
-3,, 10分
∴∠CAD≤6,当且仅当AC-时，等号
成立.
即∠CAD的最大值为6,,此时由AC-可得 解得
△ACD 为直角三角形，∠ACD=3·. 12分
又由(1)可得△ABC为正三角形，∴△ABC的 ∴AM=(,·6).即M(,v,1).
面积s=3×22=√3. 12分. 13分
∴点M到平面PAD的距离
16.解：(1)在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中， d-4,
tan∠BAC=BC-2,an∠ABD=AD=2, 点M到棱AD的距离。d:=√A2+()
∴∠BAC与∠ABD互余，即AC⊥BD.
4分 -8/3.
数学试题 参考答案 第4页 共7页
设二面角M-AD-P大小为θ,则 ine-d- ∴g'(x)>0,g(x)=f'(x)在区间[m、]上单
8243-313 调递增.
g()=-1<0,g(笞)=π>0,∴存在ro∈
icos0=√1-sin o=213,
(x.2),使得g(r。)=0, 11分
即二面角M-AD-P的余弦值为2133. 且x∈(π,x。)时，g(x)=f'(x)<0,即此时
15分 f(x)在区间(π,x。)上单调递减；
17.解：(1)f(x)=cosx-(x-)sinx,且 e(z)时，g(x)=f'(x)>0,即此时
f2)=0. 2分 f(x)在区间(z)上单调递增. 13分
当O0,(x-2)sinx<0,从 ∴由f(π)=-2+1<0,得f(xo)<0,
而f(x)=cosx-(x-号)sinx>0, 即函数f(x)在区间(π,xo)上无零点；
而由
即此时函数f(x)在区间[o.]上单调递增； f(xo)<0,()=1>0,
4分 即函数f(x)在区间(2,2)上有唯一的零点.
当恐从而f'(x)=cosx-(x-2)sinx<0, 15分
18.解：(1)由题意知抛物线的焦点P到两定点A,
即此时函数f(x)在区间[m].上单调递减. B的距离之和等于点A,B到抛物线的准线的
距离之和，等于AB的中点O到准线的距离的
∴综上所述，函数f(x)在区间[0,]上单调
2倍，即等于圆x2+y2=9的半径的2倍，
递增，在区间[,m].上单调递减. 7分 ∴|PAl+|PB|=6>|AB|=2,∴点P在以
A,B为焦点的椭圆E上， 3分
(2)(笞)=1>0,又f(x)=-2+1<0,且函 设椭圆E的标准方程为+=1a>b>0),
数f(x)在区间[·m].上单调递减， 则2a=6,2c=2.∴a=3,c=1.∴b2=a2-c2
=8,
∴函数f(x)在区间[m].上存在唯一的零点.
∴曲线E的标准方程为
9分 +g=1. 8分
(2)设直线MN:x=my+2(m≠0),
当xe[x,3]时，记g(x)=f'(x)=cos x-
由
(-)sinx, &x2+9+2=-72,
∴(8m2+9)y2+32my-40=0.
从而g'(x)=-2sinx-(x-2)cosx, 设M(x ,y ),N(x ,y ),则y +y =
且此时ssinx<0,(x-2)cosx<0, 832+9.yy2=8m2+9,
数学试题 参考答案 第5页 共7页
(3,兰),kc-,+3 (2)首先，若对数列S。:a ,a2,as,a,as依次做CM的中点坐标为 A+1A+2· ,A (i∈{1,2,3,4})变换，得到
9分 的数列a,加1,a+减1,其余项不变；
CM的垂直平分线的斜率为--+3. 10分 若对数列中S。:ai,az,a,a,as依次做A,
A,-1 ,A,(i∈{1,2,3,4})变换，得到的数列
∴CM的垂直平分线方程为y=-+3. 中a,减1,a:+加1,其余项不变. 7分
∴可以通过若干次变换使得相邻两数一个加
(-23)+兰,即：y--m+5+29 1,另一个减1,
∴可以通过若干次变换使得第一项变为0,第
+兰， 二项变为a +a .
由+8=1得 --8 同样的可以通过若干次变换分别使得a2,as,
a,均变为0.此时即为0,0,0,0,0. 10分
∴CM的垂直平分线方程为y--,+5 (3)记此时的变换①为B ,变换③为B1.
首先，记T =a +as+as+a7+as,T =az+
6y 11分 a +a +as+a1,
y=-mya+5 每次变换使得T,的值加2或减2或不变，故可同理CN 的垂直平分线方程为 以经过若干次变换使得T =0,此时T =0;
-16y. 13分 其次，对任意数列S。:a,a , ,a。依次做
A,-i,A,,A,,A,+变换，其中j∈{3,4, ,8),
设点Q(x。,yo), 得到的数列中a,减2,a,-2,a,+2均加1,其余项
则yi,y 是方程yo=-"y+5-16y, 不变，记此变换为B,,
依次做Ag,A。,A 。变换，得到的数列中a,减
即y2+(16mx。+16y。)y+80x。=0的两根，
1,a,加1,其余项不变，记此变换为B。,
此时B ,B ,B ,B,,B。只变换ai.a,as,a,
两式 as,且对a ,as,as,a7,a。规则同第(2)问，且
T =0, 15分
相除得5x。=45=-5m. ∴由(2)知可以对S。做若干次变换，得到的数
列中a =a =as=a =as=0.
16分 同理可以再对S。做若干次变换，得到的数列中
∴koo·k=-5m·!=-5, a =a=a =as=a1o=0,则此时得到数列
即直线OQ与MN的斜率之积为定值-5. 0,0, ,0 17分
17分 (其他方法酌情给分)
(其他方法酌情给分)
19.解：(1)对数列S。依次做A ,A。,As变换即可.
4分
数学试题 参考答案 第6页 共7页
多维细目表
学科素养 预估难度
题型 题号 |分值 必备知识 数学 逻辑 数学 直观 数学 数据
易 中 难
抽象推理建模想象运算分析
选择题 1 5 集合与简易逻辑 √ √
选择题 2 5 复数 √ √
选择题 3 5 统计与概率 √ √
选择题 4 5 二项式定理 √ √ √
选择题 5 5 平面向量 √ √ √
选择题 6 5 等比数列 √ √ √
选择题 7 5 抛物线方程及其性质 √ √
选择题 8 5 立体几何 √ √ √
选择题 9 6 不等式的性质 √ √ √
选择题 10 6 三角函数的图象及其性质 √ √
选择题 11 6 排列组合与概率 √ √ √
填空题 12 5 双曲线方程及其性质 √ √
填空题 13 5 概率分布 √ √ √
填空题 14 5 导数及其应用 √ √ √
解答题 15 13 解三角形 √ √ √
解答题 16 15 立体几何 √ √
解答题 17 15 导数及其应用 √ √ √ √
解答题 18 17 椭圆方程及其性质 √ √
解答题 19 17 数列与新定义综合 √ √ √ √
数学试题 参考答案 第7页 共7页2025届高三部分重点中学12月联合测评
数学试题
考试时间：2024年12月12日15：00一17：00
试卷满分：150分
考试用时：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，
1.设集合A=(x1n(x-1)≤0}，B={xI0≤2x一1≤2}，则AUB=
Al1B.{xlx≤2}
c{l分≤≤)
D.{a≤≤}
2.已知复数之满足(1一)z=4十i,则之的共轭复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为(x1,y)(i=1,2,3,…,8),其中元=
其回
归直线方程为)=2x-4,当增加两个样本数据(-1,5)和(2,9)后，重新得到的回归直
线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据(4,10)所对应的残差为
A.-3
B.-2
C.-1
D.1
4.若正整数a,b满足等式20232o25=2024a十b,且b<2024,则b=
A.1
B.2
C.2022
D.2023
5.已知a,b均为非零向量，其夹角为0，则“cos0=1”是“|a一b|=|a|一|b|”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6已知等比数列{，}满足十+-14，a4=京记S为其前n项和，则S,=
a】a2a3
A写
7
b.4
7
C.2
D.7
数学试题第1页共4页
7.已知直线l经过抛物线C:y2=4x的焦点，且与抛物线交于A,B两点，若使得OP=OA
十OB成立的点P的横坐标为3，则四边形OAPB的面积为
A.2√5
B.3√5
C.45
D.55
8.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=CA=CB=2,∠APB=
∠ACB=,E,F,G分别为PA,PB,PC上靠近点P的三等分
点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥PABC的四个面均相
切，且小球同时还与平面EFG相切，则PC=
A.√6+√E
B.√6-√2
C.13+1
D.√13-1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.下列结论正确的是
2x
A,若x>0,则+1≤1
B.若x>y>0,z>0,则>y+
xx十x
C若w0且x<,则今月
D.若x>y>0,则x+>y+
10.已知函数f(x)=Asin(wx+p)(A>0,0Afx)在区间[-行，哥}上单调道增
B.f(x)图象的一条对称轴方程为x=2红
5元
C.z)图象的一个对称中心为点（告，0）
12
D.fx)在区间[o,上的值城为[1B]
11.甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点C,出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔
画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出
发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每
经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如
“一笔画”路径C1→B1A1→A→C.若某“一笔画”路径中没有重复经过任何一条棱，则
称该路径为完美路径，否则为不完美路径.下列说法正确的有
A.若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能6次移动后回到点C1
A
C
3.经过4次移动后仍在点C,的概率为
B
C.若“一笔画”路径为完美路径，则5次移动后回到点C1有5条不
同笔迹
D.经过3次移动后，到达点A:的条件下经过点C的概率为3
数学试题第2页共4页