专项复习提升（三） 轴对称（含解析）
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专项复习提升（三） 轴对称
考点一 轴对称的性质
1．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，和关于直线l对称，点A的对称点是（ ）
A．点C B．点F C．点E D．点D
3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．21
5．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线是的垂直平分线
C．若，则直线是的垂直平分线
D．若，则直线是的垂直平分线
6．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图是的折纸示意图，则折痕是的（ ）
A．中垂线 B．中线 C．角平分线 D．高线
7．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知：点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． 1 D．
8．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，在的正方形网格中，选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则涂阴影的格子应为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，中，垂直平分，交于，交于，连结．若，则的长为 ．
10．（23-24八年级上·广东湛江·期末）点关于轴的对称点的坐标是，则的值为 ．
11．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，且它们关于直线l对称，交直线l于点P，连接，以下结论：
①连接，则；
②是等腰三角形；
③；
④C，P，D三点共线．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
12．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
(1)画出关于y轴的对称图形；
(2)将沿y轴方向向下平移5个单位后得到，并写出顶点，，的坐标；
(3)的面积为 ．
13．（23-24八年级上·福建三明·期末）已知点，关于x轴对称，求a，b的值．
14．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，，O为内部的一点，连接．
(1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：M，C，N三点在同一条直线上．
15．（23-24八年级上·福建厦门·期末）小思家在装修一个长方形阳台，采用规格为的长方形地砖铺设地面．为预留排水口，在墙角有部分区域需另外铺设．需进一步铺设的区域如图所示，图中所有角度均为，且，．
(1)师傅说：“切割一块地砖，就够了”，请通过计算，说明师傅的判断是正确的；
(2)为方便排水，区域的地砖铺设应为轴对称图形，且切割次数尽可能少．请在图1所示的地砖上画出切割线，标出数据，并在图2中画出铺好后的效果图．
考点二 等腰三角形的性质与判定
16．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点D是的中点，，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
17．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，将沿某直线翻折得到，与交于点，则折痕不一定是（ ）
A．中边上的中线所在的直线 B．中边上的高所在的直线
C．的角平分线所在的直线 D．线段的垂直平分线
18．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
19．（23-24八年级上·福建福州·期末）如果为三角形的三边长，且满足，那么该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法确定
20．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，，，的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
21．（23-24八年级下·福建·期末）等腰三角形中有一内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为（ ）度
A．50 B．20
C．40或50 D．20或50
22．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）在中，，，垂直平分，垂足为，交于点，连接．若，则等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
23．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在中，，是的高，将沿折叠，点C的对应点为E，当时，满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
24．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图所示，是等边三角形，为的中点，，垂足为．若，则的边长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
25．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，已知，点在边上，且点在点的右侧，，点是边上一动点，在点运动的过程中，始终保持，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
26．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；连接，，，过点作于点于点，则以下结论错误的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C． D．
27．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，点为线段上一动点（不与点B，C重合），连，作，交线段于点，下列结论中正确的个数是（ ）
①；
②若点在线段的垂直平分线上，则；
③若点为中点，则；
④若为等腰三角形，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
28．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则当取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．直线 B．直线平分
C．直线与直线重合 D．直线与直线重合
29．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，在的正方形网格中， ．
30．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，，，则的度数为 ．
31．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在等腰三角形中，，，是的中点，交于点，已知，则的值为 ．
32．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，，则直线，之间的距离为 ．
33．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，,，则的长为 ．
34．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，等边三角形中，是的中点，于交于，则的周长为 ．
35．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，中，P、F分别是、上的点，作垂足分别是D、E，若，以下四个结论：①；②；③；④连接，则垂直平分．其中正确结论的序号是 （请将所有正确结论的序号都填上）
36．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，的长度为 ．
37．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
38．（23-24八年级上·福建厦门·期末）城建局计划在市民公园的人工湖上修建一个湖心亭，并铺设四条木栈道分别连接湖边的A，B，C，D四个木栈道入口，供市民散步，欣赏湖上风景．如图是人工湖的平面示意图，湖上有M，N，P，Q四个位置可用于建设湖心亭．为测算建设成本，工作人员利用测量工具测得，，，，．要使铺设木栈道所需要的材料最少，湖心亭应选择建在点 ，（填“M”，“N”，“P”，“Q”）；此时需要铺设的木栈道总长度为 ．（用含a，b，c的式子表示）
39．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，点M在等边的边上，，射线垂足为点C，点P是射线上一动点，点N是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
40．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是 ．
41．（23-24七年级下·福建三明·期末）如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上求作点D，使；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在（1）的条件下，连接，若是的平分线，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
42．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，．
(1)尺规作图：在上求作一点P，使得；
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：是等腰三角形．
43．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在等边中，点，在边上，，点是点关于的对称点，连，．
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形．
44．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知点A，B关于轴对称．
(1)如图1，若，，求点的坐标；
(2)如图2，若点，点，点为轴正半轴上一点，，连接．点在的延长线上，且，求证．
45．（23-24七年级下·福建宁德·期末）课外实践活动
活动主题：测量小河两岸两点之间的距离，如图1．
使用工具：一把皮尺和一台测角仪，如图2．
工具作用：皮尺的功能是直接测量可到达的任意两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的两点，可测得的大小，如图3．
测量方案：
①如图4，在河岸同侧取两个可以直接到达点的点，点，测得；
②取的中点；
③在射线上找到一点，使得点在同一条直线上，测得两点间的距离．则的长即为两点之间的距离．
完成下列问题：
(1)说明上述测量方案的理由；
(2)请你设计一种不同的测量方案．（要求：画出示意图，不必说明理由）
46．（23-24七年级下·福建三明·期末）【问题背景】
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，传到全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．
【操作探究】
操作探究一 动手操作：步骤1：如图①，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；步骤2：再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点 F，连接，，．
问题探究一：（1）试说明：；（2）若点D，E，F在同一条直线上，连接，求的度数．
操作探究二 动手操作：步骤1：如图②，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；步骤2：再沿着直线折叠纸片，点D的对应点G落在长方形纸片内，连接，，．
问题探究二：判断与的位置关系，并说明理由．
47．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系，中，，其中．
(1)若点在第一象限，，求的值；
(2)点为轴正半轴一个动点，．点的坐标为，若，则在点运动的过程中，的大小是否发生变化？若不变．请求出的度数；若变化．请说明的大小变化过程．
48．（23-24八年级上·福建莆田·期末）在学习等腰三角形时，我们知道，等腰三角形的一边的长度和一个角的大小确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了．对等腰三角形继续研究，提出以下两个命题：
(1)命题1：等腰三角形底边及底边上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了．可知该命题为真命题．求作等腰三角形，其中底边的长为，底边上的高的长为，如图1．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)命题2：等腰三角形一腰及腰上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了．请判断该命题是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请作出所有可能的等腰三角形，其中腰的长为，腰上高的长为，如图2．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
49．（23-24八年级上·福建厦门·期末）数学兴趣小组用两把直尺和两个大小相同含的三角尺进行数学探究活动：
如图1所示，直尺水平摆放，将三角尺的斜边固定在直尺上，直尺靠在边上，三角尺的直角顶点D在直尺上滑动，顶点E始终落在直尺上，探究点F的运动规律．
(1)如图2，当D是中点时，连接，求证：；
(2)点D在直尺上滑动，点F的位置也会随之变化，记是其中任意两个位置．探究直线与的位置关系；
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．
根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形的意义可知：选项A、C、D都是轴对称图形，而B不是轴对称图形；
故选：B．
2．D
【分析】根据轴对称的性质进行解答即可，此题考查了轴对称，准确找到对应点是解题的关键．
【详解】解：∵和关于直线l对称，
∴点A的对称点是点D，
故选：D
3．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察可知点与点关于对称，即可求解．
【详解】解：
由图可知：点与点关于对称，
由轴对称的性质可知：
故选：C
4．B
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．由线段垂直平分线的性质得，求出，进而可求出的周长．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴点P在直线的垂直平分线上，
∴若，则直线是的垂直平分线，故C说法正确，符合题意
根据先有条件无法证明A、B、D中的结论，故A、B、D说法错误，不符合题意；
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了折叠的性质、中垂线定义以及三角形的角平分线、中线和高线，正确掌握相关定义，即可解题．
【详解】解：根据折叠的性质得，
，，，
不是的角平分线，不是中垂线和的中线．
，
，
，
是的高线．
故答案为：D．
7．B
【分析】本题主要考查了点的坐标关于坐标轴对称的知识，掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．
根据点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出m、n的值，然后代入运用乘方解答即可．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，解得：，
∴．
故选项B．
8．D
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，所以阴影应该涂在标有数字1的格子内．
【详解】解：根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，
根据题意，阴影应该涂在标有数字1的格子内；
故选：D．
9．3
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，根据即可求解．解题关键是掌握线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
10．
【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解题关键．两点关于轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标相同；两点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同．据此即可获得答案．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是，则的值为．
故答案为：．
11．①③④
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，中垂线的性质，三点共线的证明，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，分别交直线于，利用轴对称性，可得，即可证，故①正确；根据已知条件无法判定是等腰三角形，故结论②不正确；利用轴对称性和中垂线性质，可证明，故，结论③正确；通过证明为平角，即可证明C，P，D三点共线，结论④正确．
【详解】解：① 连接，分别交直线于如图，
，关于直线l对称，
，，
，，
，
，故①正确；
② 根据已知条件，无法判定是等腰三角形，故②不正确；
③ 点关于直线l对称，点关于直线l对称，
直线l是线段垂直平分线，
，，
又，
，
，
，故③正确；
④ ，
，
又 ，
，
C，P，D三点共线，故结论④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
12．(1)见解析
(2)见解析，，，；
(3)4
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
；
（2）解：如图所示：即为所求，
点，，；
（3）解：的面积为．
故答案为：4．
13．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解二元一次方程组，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵点，关于x轴对称，
∴，
解得．
14．(1)图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据要求作出图形，
（2）证明即可，
本题考查轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵关于对称，
，
∵关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴共线．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）分别求出铺设的区域的面积和一块瓷砖的面积，再进行比较即可；
（2）根据轴对称图形的性质，结合，，瓷砖规格为，进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
铺设的区域的面积，
一块瓷砖的面积，
，
师傅的判断是正确的；
（2）解：地砖上画出切割线如图所示：
铺好后的效果图如图所示：
16．D
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，，平分，然后问题可求解．
【详解】解：∵，点D是的中点，，
∴，，平分，故A、B、C正确；
∴，故D选项错误；
故选D．
17．A
【分析】本题考查了折叠的性质和等腰三角形的判定和性质．根据折叠的性质“折叠前后，对应点的连线被折痕垂直平分”即可判断．
【详解】解：∵和关于某直线折叠，
∴A与D，C与B是对应点，
∴直线是中边上的中垂线或线段的垂直平分线，故选项A说法错误，符合题意；选项D说法正确，不符合题意；
∵和关于某直线折叠，
∴，
∴，
∴中，的角平分线与边上的中线、边上的高共线，故选项B、C说法都正确，都不符合题意；
故选：A．
18．D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质．正确理解和运用性质是本题的关键．设，根据的垂直平分线，得到，根据，得到，再利用三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【详解】解：设，
∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得
故选：D．
19．D
【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题关键．
根据得到或或或，从而可以判定该三角形的形状．
【详解】解：∵，
∴或或或，
解得或或或，
∴该三角形的形状为等腰三角形或等边三角形，
故选：D．
20．C
【分析】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
21．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【详解】解：当是等腰三角形的顶角时，则底角就是；
当是等腰三角形的底角时，则顶角是．
∴这个三角形的最小内角的度数为20或50，
故选：D．
22．C
【分析】根据三角形内角和得出，再根据含角的直角三角形，得出，然后根据垂直平分线的性质即可证明平分，再根据角平分线的性质定理即可得出，最后根据线段的和差即可得出答案．
【详解】，，
，
，
，
垂直平分，
，
，
平分，
，
，
故选：C．
23．B
【分析】设中点为，当与重合时，此时由折叠的性质得，由等边三角形的定义得为等边三角形，由，在的左侧，①当在线段上（不与、重合），，即可求解；②当与重合时，由等腰三角形的性质；③在的延长线上时，由三角形的外角于内角的关系得，从而可得，即可求解．
【详解】解：设中点为，
如图，当与重合时，
此时
由折叠得，
，
为等边三角形，
，
，
，
在的左侧，
①如图，当在线段上（不与、重合）
，
由折叠得，
，
，
，
，
，
②如图，当与重合时
此时，
；
③如图，在的延长线上时，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
综上所述：，
；
故选：B.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，三角形的外角与内角的关系，直角三角形的特征等，能根据的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
24．B
【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余．根据等边三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求得即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，则，
∵为的中点，
∴，
故选：B．
25．D
【分析】本题考查了含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，作于，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
26．D
【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明；利用等边三角形的性质结合三角形面积可判定选项D．
【详解】解：A．∵，，
∴是等边三角形，故选项A成立，不符合题意；
B．由作图知：射线是的平分线，且，，
∴，故选项B成立，不符合题意；
C．由作图知：，又，
∴(HL) ，故选项C成立，不符合题意；
D．设与交于点G，由题意可得，但无法证明，
∴无法确定，故选项D不成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定、菱形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
27．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，三角形的外角性质，计算各角的度数是解题的关键．
①根据三角形外角的性质即可得到，即可对①进行判断；②可证得，即可得到，即可对②进行判断；③根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到，即可对③进行判断；④根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到当时，，即可对④进行判断．
【详解】解：①，，
，故①正确；
②∵若点在线段的垂直平分线上，
∴
，，
，
，，，
，
，故②正确；
③为中点，，
，
，
又∵，
，
，
，
，故③正确；
④，
，
，
为等腰三角形，
或，
当时，，
，
，故④不正确，
综上所述正确的有①②③，
故选：．
28．B
【分析】延长到E，使得，连接，先求出，，由旋转的性质可得 ，则，证明，得到，则点N在直线运动，故当时，最小，设当时，点N与点H重合，延长交于F，证明是等边三角形，得到，则，即直线平分．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵中，，，
∴，，
由旋转的性质可得 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点N在直线运动，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
设当时，点N与点H重合，延长交于F，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴此时直线平分，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，确定N的运动轨迹是解题的关键．
29．
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质；连接、，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由等量代换得，再由等腰三角形的性质即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能作出适当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
由图得：，
，
，
在和中
，
（），
，
同理可证，
，，
，
，
，
，
；
故答案：．
30．/90度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，然后利用三角形的外角性质以及等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质以及等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【详解】解：，，
，
是的一个外角，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
故答案为：．
31．4
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质等知识．根据题意知是的垂直平分线，得，再通过角度可证明，，得，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的中点，且，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
32．2
【分析】本题考查了平行线间的距离，含的直角三角形的性质等知识，过A作于G，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用平行线的距离求解即可．
【详解】解：过A作于G，
∵，，
∴，
∵，
∴直线，之间的距离为2，
故答案为：2．
33．6
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，利用含角的直角三角形中，角所对的直角边等于斜边一半即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
34．
【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键.先根据含30度角的直角三角形的性质得出，求出，再根据等边三角形的性质进而得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
是中点，
，
等边三角形，
周长，
故答案为：．
35．②④/④②
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角的平分线的判定定理，依据相应的知识判断即可．
【详解】∵，
∴平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
故④正确；
∵，
若，
则有，
显然没有这样的已知条件，
故①错误；
只有， 不满足三角形全等的条件，
故③错误；
故答案为：②④．
36．
【分析】本题考查了三角形内角和定理， 全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答.
过点作垂足为点，首先证明得到，进而证明即可解决问题.
【详解】如图，过点作垂足为点，
，
，
，
均为等腰直角三角形，
，
在与中，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，而 ，
，
故答案为: .
37．10
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，，作点E关于直线的对称点G，过G作于F，交于P，则此时，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
作点E关于直线的对称点G，过G作于F，交于P，
则此时，的值最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
38． P
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长到 E，使 ，则有，即可得到为等边三角形，然后得到铺设的木栈道总长度即可．
【详解】第一空：连接 、 正好交于点 P，故选 P；
第二空：∵，，
∴ 为正三角形，
∴，
延长到 E，使 ，
∵，，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
所求的木栈道总长度为 ，
故答案为：P，．
39．11
【分析】根据等边三角形的性质得到，，作点M关于的对称点G，作，交于点P，可推出当时，的值最小，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，据此即可求解．
【详解】是等边三角形，
，，
作点M关于直线的对称点G，过G作于N，交于P，
则此时，的值最小，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
40．/30度
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及垂线段最短，全等三角形的性质与判定：先通过等边三角形的性质证明，得，因为，所以是等边三角形，则当时，的周长最小，此时，即可作答．
【详解】解：∵和都是等边三角形，且，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
则的周长，
∴当时，有最小值，
∵等边三角形的三线合一，
∴．
故答案为：．
41．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）直接根据垂直平分线的作法作出的垂直平分线即可；
（2）根据，得出，根据角平分线的性质得出，求出，根据直角三角形的性质，求出结果即可．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求作的点．
∵垂直平分，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握垂直平分线的性质．
42．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的判定、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解答问题．
（1）作线段的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求．
（2）由题意得可得，根据三角形外角的性质可得，即，则，可得是等腰三角形．
【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点P，连接，
则，
∴，
则点P即为所求．
（2）证明：设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
43．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质：
（1）根据等边三角形的性质得到，进而证明，即可证明；
（2）由轴对称的性质得到，进而推出，再证明，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点是点关于的对称点，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴是等边三角形．
44．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形等等：
（1）根据轴对称的性质可得轴，，进而证明是等腰直角三角形，得到，则；
（2）先求出，再由轴对称的性质得到，，则，证明，得到，即可证明．
【详解】（1）解：设于y轴交于C，
∵点A，B关于轴对称，，
∴轴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）证明：∵，点，
∴，
∵点A，B关于轴对称，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
45．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，
（1）证明，根据全等三角形的性质，即可求解；
（2）方案1：构造等腰三角形，使得，则线段的长就是，之间的距离．
方案2：测得，则线段的长就是，之间的距离．
【详解】（1）解：理由如下：
由测量，得，
∵，
∴．
∴．
（2）方案1：①在河岸同侧取两个可以直接到达点的点，点，如图，测得；
②在射线上找到一点，使得点，，在同一条直线上，测得，两点间的距离．则线段的长就是，之间的距离．
方案2：
①在河岸边选点，，如图，测得；
②测得，两点间的距离．
则线段的长就是，之间的距离．
46．问题探究一：（1）见解析；（2）；问题探究二：；理由见解析
【分析】问题探究一：（1）根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出结果即可；
（2）根据，得出，根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后求出结果即可；
问题探究二：根据折叠得出，，，，证明，得出，证明，得出，根据，得出，最后根据平行线的判定得出结果即可．
【详解】解：问题探究一：（1）根据折叠可知：，，
∴，
∴；
（2）长方形纸片中，，
根据折叠可知：，，
∵点D，E，F在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
问题探究二：；理由如下：
根据折叠可知：，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
47．(1)
(2)的大小不变，一直都是
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是数形结合；
（1）过点C作垂直x轴于点M，根据得，，再根据，在中，即可求解；
（2）过点E作垂直x轴，垂足为F，根据点E的纵坐标为t，得出，证明，再证出，在中，得出，即可解答；
【详解】（1）解：过点C作垂直x轴于点M．
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：；
（2）在点D运动的过程中，的大小不变，．
如图，过点E作垂直x轴，垂足为F，
∵点E的纵坐标为t，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，，
∴在点D运动的过程中，的大小不变，一直都是
48．(1)见解析
(2)是假命题．作图见解析
【分析】此题主要考查了复杂作图，掌握垂线的画法，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作是解决此类题目的关键．
（1）①画射线，在射线上截取，②作的垂直平分线，垂足为O，再截取，③再连接，即为所求；
（2）作直线，使其距离为，在直线上取点，以点为圆心，长为半径作圆，分别交直线和直线于点和，则符合题意；再以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点，则符合题意
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图和符合题意；
．
∴等腰三角形一腰及腰上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了．是假命题．
49．(1)证明见解析；
(2)
【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，
（1）连接，证明，即可得到结论；
（2）过E 作于G，过 F 作于H，证明，则，得到为等腰直角三角形，则，进一步得到，则为等腰直角三角形，得到，则，即可证明；
熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）连接，
∵与为两个大小相同的等腰直角三角形，D是中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），证明如下：
过E 作于G，过 F 作于H，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
又由题知，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
．
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专项复习提升（三） 轴对称
考点一 轴对称的性质
1．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，和关于直线l对称，点A的对称点是（ ）
A．点C B．点F C．点E D．点D
3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．21
5．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线是的垂直平分线
C．若，则直线是的垂直平分线
D．若，则直线是的垂直平分线
6．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图是的折纸示意图，则折痕是的（ ）
A．中垂线 B．中线 C．角平分线 D．高线
7．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知：点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． 1 D．
8．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，在的正方形网格中，选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则涂阴影的格子应为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，中，垂直平分，交于，交于，连结．若，则的长为 ．
10．（23-24八年级上·广东湛江·期末）点关于轴的对称点的坐标是，则的值为 ．
11．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，且它们关于直线l对称，交直线l于点P，连接，以下结论：
①连接，则；
②是等腰三角形；
③；
④C，P，D三点共线．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
12．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
(1)画出关于y轴的对称图形；
(2)将沿y轴方向向下平移5个单位后得到，并写出顶点，，的坐标；
(3)的面积为 ．
13．（23-24八年级上·福建三明·期末）已知点，关于x轴对称，求a，b的值．
14．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，，O为内部的一点，连接．
(1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：M，C，N三点在同一条直线上．
15．（23-24八年级上·福建厦门·期末）小思家在装修一个长方形阳台，采用规格为的长方形地砖铺设地面．为预留排水口，在墙角有部分区域需另外铺设．需进一步铺设的区域如图所示，图中所有角度均为，且，．
(1)师傅说：“切割一块地砖，就够了”，请通过计算，说明师傅的判断是正确的；
(2)为方便排水，区域的地砖铺设应为轴对称图形，且切割次数尽可能少．请在图1所示的地砖上画出切割线，标出数据，并在图2中画出铺好后的效果图．
考点二 等腰三角形的性质与判定
16．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点D是的中点，，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
17．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，将沿某直线翻折得到，与交于点，则折痕不一定是（ ）
A．中边上的中线所在的直线 B．中边上的高所在的直线
C．的角平分线所在的直线 D．线段的垂直平分线
18．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
19．（23-24八年级上·福建福州·期末）如果为三角形的三边长，且满足，那么该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法确定
20．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，，，的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
21．（23-24八年级下·福建·期末）等腰三角形中有一内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为（ ）度
A．50 B．20
C．40或50 D．20或50
22．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）在中，，，垂直平分，垂足为，交于点，连接．若，则等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
23．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在中，，是的高，将沿折叠，点C的对应点为E，当时，满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
24．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图所示，是等边三角形，为的中点，，垂足为．若，则的边长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
25．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，已知，点在边上，且点在点的右侧，，点是边上一动点，在点运动的过程中，始终保持，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
26．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；连接，，，过点作于点于点，则以下结论错误的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C． D．
27．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，点为线段上一动点（不与点B，C重合），连，作，交线段于点，下列结论中正确的个数是（ ）
①；
②若点在线段的垂直平分线上，则；
③若点为中点，则；
④若为等腰三角形，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
28．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则当取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．直线 B．直线平分
C．直线与直线重合 D．直线与直线重合
29．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，在的正方形网格中， ．
30．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，，，则的度数为 ．
31．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在等腰三角形中，，，是的中点，交于点，已知，则的值为 ．
32．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，，则直线，之间的距离为 ．
33．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，,，则的长为 ．
34．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，等边三角形中，是的中点，于交于，则的周长为 ．
35．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，中，P、F分别是、上的点，作垂足分别是D、E，若，以下四个结论：①；②；③；④连接，则垂直平分．其中正确结论的序号是 （请将所有正确结论的序号都填上）
36．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，的长度为 ．
37．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
38．（23-24八年级上·福建厦门·期末）城建局计划在市民公园的人工湖上修建一个湖心亭，并铺设四条木栈道分别连接湖边的A，B，C，D四个木栈道入口，供市民散步，欣赏湖上风景．如图是人工湖的平面示意图，湖上有M，N，P，Q四个位置可用于建设湖心亭．为测算建设成本，工作人员利用测量工具测得，，，，．要使铺设木栈道所需要的材料最少，湖心亭应选择建在点 ，（填“M”，“N”，“P”，“Q”）；此时需要铺设的木栈道总长度为 ．（用含a，b，c的式子表示）
39．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，点M在等边的边上，，射线垂足为点C，点P是射线上一动点，点N是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
40．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是 ．
41．（23-24七年级下·福建三明·期末）如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上求作点D，使；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在（1）的条件下，连接，若是的平分线，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
42．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，．
(1)尺规作图：在上求作一点P，使得；
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：是等腰三角形．
43．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在等边中，点，在边上，，点是点关于的对称点，连，．
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形．
44．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知点A，B关于轴对称．
(1)如图1，若，，求点的坐标；
(2)如图2，若点，点，点为轴正半轴上一点，，连接．点在的延长线上，且，求证．
45．（23-24七年级下·福建宁德·期末）课外实践活动
活动主题：测量小河两岸两点之间的距离，如图1．
使用工具：一把皮尺和一台测角仪，如图2．
工具作用：皮尺的功能是直接测量可到达的任意两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的两点，可测得的大小，如图3．
测量方案：
①如图4，在河岸同侧取两个可以直接到达点的点，点，测得；
②取的中点；
③在射线上找到一点，使得点在同一条直线上，测得两点间的距离．则的长即为两点之间的距离．
完成下列问题：
(1)说明上述测量方案的理由；
(2)请你设计一种不同的测量方案．（要求：画出示意图，不必说明理由）
46．（23-24七年级下·福建三明·期末）【问题背景】
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，传到全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．
【操作探究】
操作探究一 动手操作：步骤1：如图①，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；步骤2：再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点 F，连接，，．
问题探究一：（1）试说明：；（2）若点D，E，F在同一条直线上，连接，求的度数．
操作探究二 动手操作：步骤1：如图②，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；步骤2：再沿着直线折叠纸片，点D的对应点G落在长方形纸片内，连接，，．
问题探究二：判断与的位置关系，并说明理由．
47．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系，中，，其中．
(1)若点在第一象限，，求的值；
(2)点为轴正半轴一个动点，．点的坐标为，若，则在点运动的过程中，的大小是否发生变化？若不变．请求出的度数；若变化．请说明的大小变化过程．
48．（23-24八年级上·福建莆田·期末）在学习等腰三角形时，我们知道，等腰三角形的一边的长度和一个角的大小确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了．对等腰三角形继续研究，提出以下两个命题：
(1)命题1：等腰三角形底边及底边上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了．可知该命题为真命题．求作等腰三角形，其中底边的长为，底边上的高的长为，如图1．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)命题2：等腰三角形一腰及腰上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了．请判断该命题是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请作出所有可能的等腰三角形，其中腰的长为，腰上高的长为，如图2．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
49．（23-24八年级上·福建厦门·期末）数学兴趣小组用两把直尺和两个大小相同含的三角尺进行数学探究活动：
如图1所示，直尺水平摆放，将三角尺的斜边固定在直尺上，直尺靠在边上，三角尺的直角顶点D在直尺上滑动，顶点E始终落在直尺上，探究点F的运动规律．
(1)如图2，当D是中点时，连接，求证：；
(2)点D在直尺上滑动，点F的位置也会随之变化，记是其中任意两个位置．探究直线与的位置关系；
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．
根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形的意义可知：选项A、C、D都是轴对称图形，而B不是轴对称图形；
故选：B．
2．D
【分析】根据轴对称的性质进行解答即可，此题考查了轴对称，准确找到对应点是解题的关键．
【详解】解：∵和关于直线l对称，
∴点A的对称点是点D，
故选：D
3．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察可知点与点关于对称，即可求解．
【详解】解：
由图可知：点与点关于对称，
由轴对称的性质可知：
故选：C
4．B
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．由线段垂直平分线的性质得，求出，进而可求出的周长．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴点P在直线的垂直平分线上，
∴若，则直线是的垂直平分线，故C说法正确，符合题意
根据先有条件无法证明A、B、D中的结论，故A、B、D说法错误，不符合题意；
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了折叠的性质、中垂线定义以及三角形的角平分线、中线和高线，正确掌握相关定义，即可解题．
【详解】解：根据折叠的性质得，
，，，
不是的角平分线，不是中垂线和的中线．
，
，
，
是的高线．
故答案为：D．
7．B
【分析】本题主要考查了点的坐标关于坐标轴对称的知识，掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．
根据点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出m、n的值，然后代入运用乘方解答即可．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，解得：，
∴．
故选项B．
8．D
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，所以阴影应该涂在标有数字1的格子内．
【详解】解：根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，
根据题意，阴影应该涂在标有数字1的格子内；
故选：D．
9．3
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，根据即可求解．解题关键是掌握线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
10．
【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解题关键．两点关于轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标相同；两点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同．据此即可获得答案．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是，则的值为．
故答案为：．
11．①③④
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，中垂线的性质，三点共线的证明，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，分别交直线于，利用轴对称性，可得，即可证，故①正确；根据已知条件无法判定是等腰三角形，故结论②不正确；利用轴对称性和中垂线性质，可证明，故，结论③正确；通过证明为平角，即可证明C，P，D三点共线，结论④正确．
【详解】解：① 连接，分别交直线于如图，
，关于直线l对称，
，，
，，
，
，故①正确；
② 根据已知条件，无法判定是等腰三角形，故②不正确；
③ 点关于直线l对称，点关于直线l对称，
直线l是线段垂直平分线，
，，
又，
，
，
，故③正确；
④ ，
，
又 ，
，
C，P，D三点共线，故结论④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
12．(1)见解析
(2)见解析，，，；
(3)4
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
；
（2）解：如图所示：即为所求，
点，，；
（3）解：的面积为．
故答案为：4．
13．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解二元一次方程组，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵点，关于x轴对称，
∴，
解得．
14．(1)图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据要求作出图形，
（2）证明即可，
本题考查轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵关于对称，
，
∵关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴共线．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）分别求出铺设的区域的面积和一块瓷砖的面积，再进行比较即可；
（2）根据轴对称图形的性质，结合，，瓷砖规格为，进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
铺设的区域的面积，
一块瓷砖的面积，
，
师傅的判断是正确的；
（2）解：地砖上画出切割线如图所示：
铺好后的效果图如图所示：
16．D
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，，平分，然后问题可求解．
【详解】解：∵，点D是的中点，，
∴，，平分，故A、B、C正确；
∴，故D选项错误；
故选D．
17．A
【分析】本题考查了折叠的性质和等腰三角形的判定和性质．根据折叠的性质“折叠前后，对应点的连线被折痕垂直平分”即可判断．
【详解】解：∵和关于某直线折叠，
∴A与D，C与B是对应点，
∴直线是中边上的中垂线或线段的垂直平分线，故选项A说法错误，符合题意；选项D说法正确，不符合题意；
∵和关于某直线折叠，
∴，
∴，
∴中，的角平分线与边上的中线、边上的高共线，故选项B、C说法都正确，都不符合题意；
故选：A．
18．D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质．正确理解和运用性质是本题的关键．设，根据的垂直平分线，得到，根据，得到，再利用三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【详解】解：设，
∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得
故选：D．
19．D
【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题关键．
根据得到或或或，从而可以判定该三角形的形状．
【详解】解：∵，
∴或或或，
解得或或或，
∴该三角形的形状为等腰三角形或等边三角形，
故选：D．
20．C
【分析】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
21．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【详解】解：当是等腰三角形的顶角时，则底角就是；
当是等腰三角形的底角时，则顶角是．
∴这个三角形的最小内角的度数为20或50，
故选：D．
22．C
【分析】根据三角形内角和得出，再根据含角的直角三角形，得出，然后根据垂直平分线的性质即可证明平分，再根据角平分线的性质定理即可得出，最后根据线段的和差即可得出答案．
【详解】，，
，
，
，
垂直平分，
，
，
平分，
，
，
故选：C．
23．B
【分析】设中点为，当与重合时，此时由折叠的性质得，由等边三角形的定义得为等边三角形，由，在的左侧，①当在线段上（不与、重合），，即可求解；②当与重合时，由等腰三角形的性质；③在的延长线上时，由三角形的外角于内角的关系得，从而可得，即可求解．
【详解】解：设中点为，
如图，当与重合时，
此时
由折叠得，
，
为等边三角形，
，
，
，
在的左侧，
①如图，当在线段上（不与、重合）
，
由折叠得，
，
，
，
，
，
②如图，当与重合时
此时，
；
③如图，在的延长线上时，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
综上所述：，
；
故选：B.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，三角形的外角与内角的关系，直角三角形的特征等，能根据的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
24．B
【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余．根据等边三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求得即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，则，
∵为的中点，
∴，
故选：B．
25．D
【分析】本题考查了含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，作于，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
26．D
【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明；利用等边三角形的性质结合三角形面积可判定选项D．
【详解】解：A．∵，，
∴是等边三角形，故选项A成立，不符合题意；
B．由作图知：射线是的平分线，且，，
∴，故选项B成立，不符合题意；
C．由作图知：，又，
∴(HL) ，故选项C成立，不符合题意；
D．设与交于点G，由题意可得，但无法证明，
∴无法确定，故选项D不成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定、菱形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
27．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，三角形的外角性质，计算各角的度数是解题的关键．
①根据三角形外角的性质即可得到，即可对①进行判断；②可证得，即可得到，即可对②进行判断；③根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到，即可对③进行判断；④根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到当时，，即可对④进行判断．
【详解】解：①，，
，故①正确；
②∵若点在线段的垂直平分线上，
∴
，，
，
，，，
，
，故②正确；
③为中点，，
，
，
又∵，
，
，
，
，故③正确；
④，
，
，
为等腰三角形，
或，
当时，，
，
，故④不正确，
综上所述正确的有①②③，
故选：．
28．B
【分析】延长到E，使得，连接，先求出，，由旋转的性质可得 ，则，证明，得到，则点N在直线运动，故当时，最小，设当时，点N与点H重合，延长交于F，证明是等边三角形，得到，则，即直线平分．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵中，，，
∴，，
由旋转的性质可得 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点N在直线运动，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
设当时，点N与点H重合，延长交于F，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴此时直线平分，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，确定N的运动轨迹是解题的关键．
29．
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质；连接、，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由等量代换得，再由等腰三角形的性质即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能作出适当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
由图得：，
，
，
在和中
，
（），
，
同理可证，
，，
，
，
，
，
；
故答案：．
30．/90度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，然后利用三角形的外角性质以及等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质以及等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【详解】解：，，
，
是的一个外角，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
故答案为：．
31．4
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质等知识．根据题意知是的垂直平分线，得，再通过角度可证明，，得，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的中点，且，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
32．2
【分析】本题考查了平行线间的距离，含的直角三角形的性质等知识，过A作于G，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用平行线的距离求解即可．
【详解】解：过A作于G，
∵，，
∴，
∵，
∴直线，之间的距离为2，
故答案为：2．
33．6
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，利用含角的直角三角形中，角所对的直角边等于斜边一半即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
34．
【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键.先根据含30度角的直角三角形的性质得出，求出，再根据等边三角形的性质进而得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
是中点，
，
等边三角形，
周长，
故答案为：．
35．②④/④②
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角的平分线的判定定理，依据相应的知识判断即可．
【详解】∵，
∴平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
故④正确；
∵，
若，
则有，
显然没有这样的已知条件，
故①错误；
只有， 不满足三角形全等的条件，
故③错误；
故答案为：②④．
36．
【分析】本题考查了三角形内角和定理， 全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答.
过点作垂足为点，首先证明得到，进而证明即可解决问题.
【详解】如图，过点作垂足为点，
，
，
，
均为等腰直角三角形，
，
在与中，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，而 ，
，
故答案为: .
37．10
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，，作点E关于直线的对称点G，过G作于F，交于P，则此时，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
作点E关于直线的对称点G，过G作于F，交于P，
则此时，的值最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
38． P
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长到 E，使 ，则有，即可得到为等边三角形，然后得到铺设的木栈道总长度即可．
【详解】第一空：连接 、 正好交于点 P，故选 P；
第二空：∵，，
∴ 为正三角形，
∴，
延长到 E，使 ，
∵，，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
所求的木栈道总长度为 ，
故答案为：P，．
39．11
【分析】根据等边三角形的性质得到，，作点M关于的对称点G，作，交于点P，可推出当时，的值最小，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，据此即可求解．
【详解】是等边三角形，
，，
作点M关于直线的对称点G，过G作于N，交于P，
则此时，的值最小，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
40．/30度
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及垂线段最短，全等三角形的性质与判定：先通过等边三角形的性质证明，得，因为，所以是等边三角形，则当时，的周长最小，此时，即可作答．
【详解】解：∵和都是等边三角形，且，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
则的周长，
∴当时，有最小值，
∵等边三角形的三线合一，
∴．
故答案为：．
41．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）直接根据垂直平分线的作法作出的垂直平分线即可；
（2）根据，得出，根据角平分线的性质得出，求出，根据直角三角形的性质，求出结果即可．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求作的点．
∵垂直平分，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握垂直平分线的性质．
42．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的判定、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解答问题．
（1）作线段的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求．
（2）由题意得可得，根据三角形外角的性质可得，即，则，可得是等腰三角形．
【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点P，连接，
则，
∴，
则点P即为所求．
（2）证明：设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
43．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质：
（1）根据等边三角形的性质得到，进而证明，即可证明；
（2）由轴对称的性质得到，进而推出，再证明，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点是点关于的对称点，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴是等边三角形．
44．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形等等：
（1）根据轴对称的性质可得轴，，进而证明是等腰直角三角形，得到，则；
（2）先求出，再由轴对称的性质得到，，则，证明，得到，即可证明．
【详解】（1）解：设于y轴交于C，
∵点A，B关于轴对称，，
∴轴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）证明：∵，点，
∴，
∵点A，B关于轴对称，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
45．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，
（1）证明，根据全等三角形的性质，即可求解；
（2）方案1：构造等腰三角形，使得，则线段的长就是，之间的距离．
方案2：测得，则线段的长就是，之间的距离．
【详解】（1）解：理由如下：
由测量，得，
∵，
∴．
∴．
（2）方案1：①在河岸同侧取两个可以直接到达点的点，点，如图，测得；
②在射线上找到一点，使得点，，在同一条直线上，测得，两点间的距离．则线段的长就是，之间的距离．
方案2：
①在河岸边选点，，如图，测得；
②测得，两点间的距离．
则线段的长就是，之间的距离．
46．问题探究一：（1）见解析；（2）；问题探究二：；理由见解析
【分析】问题探究一：（1）根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出结果即可；
（2）根据，得出，根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后求出结果即可；
问题探究二：根据折叠得出，，，，证明，得出，证明，得出，根据，得出，最后根据平行线的判定得出结果即可．
【详解】解：问题探究一：（1）根据折叠可知：，，
∴，
∴；
（2）长方形纸片中，，
根据折叠可知：，，
∵点D，E，F在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
问题探究二：；理由如下：
根据折叠可知：，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
47．(1)
(2)的大小不变，一直都是
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是数形结合；
（1）过点C作垂直x轴于点M，根据得，，再根据，在中，即可求解；
（2）过点E作垂直x轴，垂足为F，根据点E的纵坐标为t，得出，证明，再证出，在中，得出，即可解答；
【详解】（1）解：过点C作垂直x轴于点M．
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：；
（2）在点D运动的过程中，的大小不变，．
如图，过点E作垂直x轴，垂足为F，
∵点E的纵坐标为t，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，，
∴在点D运动的过程中，的大小不变，一直都是
48．(1)见解析
(2)是假命题．作图见解析
【分析】此题主要考查了复杂作图，掌握垂线的画法，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作是解决此类题目的关键．
（1）①画射线，在射线上截取，②作的垂直平分线，垂足为O，再截取，③再连接，即为所求；
（2）作直线，使其距离为，在直线上取点，以点为圆心，长为半径作圆，分别交直线和直线于点和，则符合题意；再以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点，则符合题意
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图和符合题意；
．
∴等腰三角形一腰及腰上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了．是假命题．
49．(1)证明见解析；
(2)
【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，
（1）连接，证明，即可得到结论；
（2）过E 作于G，过 F 作于H，证明，则，得到为等腰直角三角形，则，进一步得到，则为等腰直角三角形，得到，则，即可证明；
熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）连接，
∵与为两个大小相同的等腰直角三角形，D是中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），证明如下：
过E 作于G，过 F 作于H，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
又由题知，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
．
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