专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解（含解析）

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专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解
考点一 整式的乘法及乘法公式
1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）计算，则m的值为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知，，为正整数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知 ，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．
5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）三个边长分别为a，b，c（）的正方形按如图放置，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·福建宁德·期末）用边长分别为的两种正方形和，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为，下列关于的大小关系表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24八年级上·福建泉州·期末）下列各式中不能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级上·福建厦门·期末）若对于两个多项式的乘积：，能用完全平方公式进行简捷运算，则满足的条件可以是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
10．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知，，则（ ）
A．4 B．10 C．16 D．20
11．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知，则的值为（ ）
A．49 B．51 C．55 D．65
12．（23-24八年级上·福建福州·期末）若是完全平方式，则的值是（ ）
A．或 B．7或 C．或 D．7或
13．（23-24八年级上·福建厦门·期末）为增加学生课外活动空间，某校打算将图一块边长为米的正方形操场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长3米，则扩建后操场面积增大了（ ）

A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
14．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成1个大正方形图案，该大正方形图案的面积为64，小正方形的面积为4，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24八年级上·福建泉州·期末）计算： ．
16．（23-24七年级下·福建漳州·期末）有一道题：，“”的地方被墨水弄污了，你认为“”内应填写 ．
17．（23-24八年级上·福建泉州·期末）规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么．
例如：因为，所以．根据上述规定，填空：（1） ；（2）若，，则的值为 ．
18．（23-24八年级上·福建漳州·期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（整数），甲、乙的面积分别为，．若满足的整数有且只有3个，则的值是 ．

19．（23-24七年级上·福建泉州·期末）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．
请根据规律，写出的展开式中含项的系数是 ．
考点二 因式分解
20．（23-24八年级上·福建泉州·期末）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
21．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列由左边到右边的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（ ）
A． B．5 C．1 D．
23．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）下列式子中，能因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（23-24八年级上·福建福州·期末）若k为自然数，则的值总能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被7整除
25．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽度相等的甬道，其余部分种草，若该场地种草部分的面积为m2，则甬道的宽度是（　　）
A．3 m B．6 m C．9 m D．15 m
26．（23-24八年级上·福建厦门·期末）分解因式：（1） ；（2） ；（3） ．
27．（23-24八年级上·福建厦门·期末）已知，．直接写出下列代数式的值；
（1）的值为 ；
（2）的值为 ．
28．（23-24八年级上·福建泉州·期末）新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为
29．（23-24八年级上·福建福州·期末）对于多项式，有以下结论：
①无论，取何值时，总有；
②若，，则；
③若，满足，则，；
④当时，多项式的最小值为2
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
30．（23-24八年级上·福建泉州·期末）因式分解：
(1)；(2)．
31．（23-24八年级上·福建厦门·期末）观察以下各等式，并完成问题．
；① ；
；② ；
；……
(1)请根据观察结果，写出空格中相应的式子：①______，②______；
(2)小明发现当时，形如，，的二次多项式的值都为0，他把这样的式子叫作“二次原点式”，并记为．（其中m为常数，且）请写出“二次原点式”的一个性质： ；
(3)在（2）的条件下，小明还发现当与时，的值相等，其他二次原点式也有类似结论．他把能使二次原点式的值相等的两个数a与b（）叫作该二次原点式的一组“和谐数对”．如1与是的一组“和谐数对”．请探究a，b与m的关系，并证明你的结论．
32．（23-24八年级下·福建漳州·期末）根据以下思考，探索完成任务．
完全平方的思考
素材1 “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．如：分解因式．解：原式．
素材2 若，则．
任务1 分解因式 用素材1的方法分解因式：．
任务2 方案选择 为发展教育事业，某市计划连续两次加大对教育经费的投入，现有两种方案：方案1：第一次投入的增长率为，第二次投入的增长率为；方案2：两次投入的增长率均为．若，则连续投入两次后，哪一种方案的教育经费较多？为什么？
33．（23-24八年级上·福建厦门·期末）定义：关于的多项式和，当时，的值记为，当时，的值记为，若存在整数，对于任意的实数，都有，称多项式是多项式的衍生多项式，称为衍生系数．
例如：是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为1，
是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为2
已知多项式是的衍生多项式．
(1)直接写出的值： ；
(2)是否存在整数，使得，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
34．（23-24八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数”
(1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由；
(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明；
(3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由．
35．（23-24八年级上·福建泉州·期末）【实践探究】
小青同学在学习“因式分解”时，用如图所示编号为的四种长方体各若干块，进行实践探究：
(1)现取其中两个拼成如图所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：　　　　　　　　　　；
(2)【问题解决】
若要用这四种长方体拼成一个棱长为的正方体，其中号长方体和号长方体各需要多少个 试通过计算说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知与分别是两个大小不同正方体的棱长，且，当为整数时，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，理解公式：是解题法关键．
【详解】解：由题意得
，
；
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了幂的运算，将原方程化为，得到，，再根据a，b，c为正整数，求出a，c的值，进而求出答案．
【详解】解：根据题意得：，
∴，，
∵a，b，c为正整数，
∴当时，；则有：；
当时，；则有：；
当时，，则有：；
∴不可能为8．
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了算术平方根和平方以及积的乘方，掌握算术平方根和平方的非负性以及积的乘方法则是解题的关键．
先根据算术平方根和平方的非负性求出a，b的值，再根据积的乘方法则即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
5．B
【分析】如图，根据列代数，并化简即可．
本题主要考查了利用割补法列代数式求阴影部分的面积，正确的列出代数式，并且熟练掌握整式的运算是解题的关键．
【详解】解：如图，
．
故选：B
6．B
【分析】本题考查了整式的混合运算：利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】解：
；
∵
∴
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意；
B、，故选项计算错误，不符合题意；
C、，故选项计算正确，符合题意；
D、，故选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查平方差公式，，公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．
根据平方差公式的运算法则对各个选项进行计算判断即可．
【详解】A．，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B．，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C．，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
D．，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意．
故选C．
9．C
【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键．
【详解】解：根据完全平方公式的特点可得：
，
∴，，
故选C
10．B
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式计算．利用平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式计算．
【详解】解：，，
即，
，
，
．
故选：B．
11．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的各种变式，利用完全平方公式变形即可．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
12．D
【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
即或，
解得，或，
故选：D．
13．C
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据正方形面积公式分别求出扩建前后正方形的面积，再用扩建后的正方形面积减去扩建前的正方形面积即可得到答案．
【详解】解：
平方米，
∴扩建后操场面积增大了平方米，
故选：C．
14．D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式及图形的特点找到长度与面积的关系即可依次判断，利用数形结合分析问题是解题的关键．
【详解】、由图可知大正方形图案的面积为，边长为，
∴，故A正确，不符合题意；
、由图可知中间小正方形的边长为，面积为4，则，即 ，故B正确，不符合题意；
、∵，，、b为正数且，
∴，，
∴，故C正确，不符合题意；
、由和，可得：
，故D错误，符合题意．
故选：D．
15．
【分析】本题考查了多项式除以单项式，分别用多项式的各项除以单项式，再把所得结果相加即可求解．
【详解】解：原式，
故答案为：
16．
【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的运算规则是解题的关键．先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【详解】解： ，
“”内应填写．
故答案为：．
17． 3 50
【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂的运算以及逆运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据规定计算即可．
（2）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴．
（2）∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：3；50．
18．1012
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的乘法法则、解不等式组，先表示出，，从而得出，结合满足的整数有且只有3个得出，解不等式组即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，，
，
为正整数，
，
满足的整数有且只有3个，
整数的值为，，，
，
，
，
故答案为：．
19．
【分析】本题考查整式的规律，根据题意得到规律求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，如图所示，
，
第四条斜线所在位置数字规律是：是上一行之前第三斜线的数字之和，
即含项的系数为：，
故答案为：．
20．D
【分析】本题考查了公因式．确定公因式的系数，取各项系数的最大公因数；确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其指数最低的，由此确定公因式即可．
【详解】解：多项式的公因式是，
故选：D．
21．D
【分析】本题考查因式分解的定义．多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可．
【详解】解：A、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；
B、右边括号内不是整式，是分式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；
D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
22．C
【分析】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键．
【详解】解：设，
则，
∴，
解得：，
故选C．
23．B
【分析】本题考查了因式分解的定义，对各多项式进行因式分解即可求出答案．
【详解】解：A．不能因式分解，故本选项不符合题意；
B．，能因式分解，故本选项符合题意；
C．不能因式分解，故本选项不符合题意；
D．不能因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
24．B
【分析】本题考查因式分解的应用，将利用平方差公式法进行因式分解，进而得出结论即可．
【详解】解：，
∴的值总能被4整除；
故选：B．
25．A
【分析】本题考查因式分解的实际应用，将进行因式分解后，即可得出结果．
【详解】解：，
∴甬道的宽度是3m，
故选 A．
26．
【分析】本题考查因式分解，熟记平方差公式和完全平方公式是解答的关键．
（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）提公因式a即可求解；
（3）利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）．
故答案为：；；．
27． 4 14
【分析】本题考查了提公因式法，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将，整体代入解答．
（1）直接提取公因式，进而将已知代入求出即可；
（2）将原式利用完全平方公式变形进而代入已知求出即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴
；
故答案为：4
（2）∵，，
∴
；
故答案为：14
28．
【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，
解得，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
29．①③④
【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式变形求解即可，
【详解】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②不正确；
因为，
∴，即：，
∴，，
∴，；故③正确；
当时，即，
，
∵，
∴，
∴当时，，即最小值为2，故④正确．
30．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握公式法和提取公因式法是解题的关键．
（1）直接运用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，然后再运用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
31．(1)，
(2)最小值为
(3)，理由见解析
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了完全平方公式以及因式分解的相关知识点，掌握公式的形式以及因式分解的各种方法是解题关键．
（1）将各式配凑成完全平方即可求解；
（2）结合（1）可得，即可得出答案；
（3）根据二次原点式“和谐数对”的定义可知，移项进行因式分解即可求解．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：有（1）可得：，
∴“二次原点式”有最小值，
故答案为：最小值为；
（3）解：，理由如下：
∵a与b是二次原点式的一组“和谐数对”，
∴，
即：，
∵，
∴，
即：．
32．任务1：；任务2：方案2的教育经费较多，理由见解析
【分析】本题考查了完全平方式，正确理解素材，掌握配方法是解题关键．
任务1：仿照素材1，利用配方法分解因式即可；
任务2：由题意可知，连续投入两次后，方案1的教育经费为，方案2的教育经费为，作差后利用完全平方式求解即可．
【详解】解：任务1：
；
任务2：方案2的教育经费较多，理由如下：
由题意可知，连续投入两次后，方案1的教育经费为，方案2的教育经费为，
，
，
，
，
方案2的教育经费较多．
33．(1)2
(2)不存在整数，使得，理由见解析
【分析】本题主要考查了新定义，因式分解，多项式的系数：
（1）根据新定义可得，即可求解；
（2）由（1）得：，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
即，
∴；
故答案为：2
（2）解：不存在整数，使得，理由如下：
由（1）得：，
即，
∴，
∴不存在整数，使得．
34．(1)40是“和谐数”，理由见解析
(2)“和谐数”能被8整除，理由见解析
(3)是 “和谐数”，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是：
（1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案；
（2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案；
（3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”．
【详解】（1）解：设，
解得，
∴40是“和谐数”；
（2）解：“和谐数”能被8整除，
理由：
，
∵k是正整数，
∴能被8整除，
∴能被8整除，
∴“和谐数”能被8整除；
（3）解：∵是“和谐数”，
∴，
∴，
∴．
∵是“和谐数”，即是“和谐数”，
∴可设，其中k为正整数，
∴，
∴，
∴
．
∵k为正整数，
∴和为两个连续正奇数，
∴为“和谐数”．
35．(1)；
(2)号长方体需要个，号长方体需要个，
，
(3)．
【分析】（）根据图立方体的体积求法即可；
（）根据题中的给定的长方体组合把计算即可；
（）先把因式分解，然后据此分解即可；
此题考查了因式分解的应用，解题的关键是利用几何体的体积进行因式分解及数形结合思想的应用．
【详解】（1）根据题意可知：，
故答案为：；
（2）号长方体需要个，号长方体需要个，
；
（3）由题意得：，
由上可知：，
∴，整理得：，
∵且与两个大小不同正方体的棱长，
∴，
∴，则，
∵为整数，则为平方数，
∴，
∴．
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