广东省惠州市博罗县2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学（含答案）

1
博罗县2024—2025学年度第一学期高一阶段性教学质量检测
数学试题
本试卷共4页，19小题；总分：150分，检测用时：120分钟
注意事项：
1.答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，则（）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 函数的定义域是（）
A. B. C. D.
4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）
A B.
C. D.
6. 不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（）
A. B. 或
C. 或
D. 或
7. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（）
A. 4 B. C. D.
8. 已知则下列选项错误的是（）
A.
B.
C
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的图象经过点，则（）
A. 的图象经过点 B. 的图象关于y轴对称
C. 在定义域上单调递减 D. 在内的值域为
10. 下列说法中，正确的是（）
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
11. 高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数．下列关于高斯函数的说法正确的有（）
A.
B. 若，则
C. 函数的值域是
D. 函数在上单调递增
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 二次不等式的解集为，则的值为_______.
13. 已知函数奇函数，且当时，，则______，当时，______.
14. 函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.已知函数图象成中心对称，则：__________.
四、解答题：本大题共5小题，其中15小题13分，16题与17题每小题15分，18题与19题每小题17分，共77分.
15. 已知函数
（1）求的值；
（2）在给出的坐标系中画出函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域.
16. 设集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
17. 如图，在周长为8矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，.
（1）求的周长；
（2）试用表示，并求的取值范围；
（3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且
（1）求的值；
（2）用定义法判定的单调性；
（3）求使成立实数的取值范围.
19. 对于集合M，定义函数对于两个集合，定义集合.已知
（1）写出和的值，并用列举法写出集合；
（2）用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；
（3）有多少个集合对，满足，，且？
博罗县2024—2025学年度第一学期高一阶段性教学质量检测
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】D
2.
【答案】B
3.
【答案】C
4.
【答案】A
5.
【答案】D
6.
【答案】D
7.
【答案】C
8.
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】AD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】ABD
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】6
13.
【答案】 ①. 1 ②.
14.
【答案】
四、解答题：本大题共5小题，其中15小题13分，16题与17题每小题15分，18题与19题每小题17分，共77分.
15.
【解析】
【分析】（1）判断并代入求出函数值.
（2）画出给定函数的图象，结合图象求出单调区间及值域.
【小问1详解】
函数，则，所以.
【小问2详解】
当时，，其图象是直线在轴及左侧部分；
当时，，其图象是抛物线在轴右侧部分，
函数的大致图象，如图：
函数的递增区间为，递减区间为，
当时，；当时，，
所以函数的值域是.
16.
【解析】
【分析】
（1）由集合描述求集合、，根据集合交运算求；（2）由充分不必要条件知 ，即可求m的取值范围.
详解】，
（1）时，，
∴；
（2）“”是“”的充分不必要条件，即 ，
又且，
∴，解得；
17.
【解析】
【分析】（1）通过证明,即可得到,,从而求出的周长.
（2）在利用勾股定理并结合（1）即可建立和的关系，根据题意即实际意义可求出的范围.
（3）将面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可.
【小问1详解】
依题意，，
则≌，于是,
因此，
所以的周长为定值4.
【小问2详解】
由折叠知，则，即,
由（1）知，即，则，
在中，由勾股定理得，
即，化简得，
而,，则且，即，
所以，.
【小问3详解】
在中,，，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以当时，的面积取得最大值，为.
18.
【解析】
【分析】（1）由函数在处有定义得，联立待定系数，再利用定义证明函数的奇偶性即可；
（2）按“区间取值——作差变形——符号判断”的步骤利用定义法判定即可得；
（3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，得，解得，
验证：当时，.
由题意，的定义域关于原点对称.
且任意，都有，
所以是奇函数，满足题意.
故.
【小问2详解】
在上是增函数.
由（1）知，，.
证明：设，且，
则，
，，，
，，
在上是增函数.
【小问3详解】
，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
则，
由（2）知在上是增函数，
所以，即，解得.
故实数的取值范围是.
19.
【解析】
【分析】（1）依据定义直接得到答案；
（2）根据题意可知：对于集合，①且，则；②若且，则.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出的最小值．
（3）由 ，且（△）△（△）=△求出集合所满足的条件，进而确定集合对（，）的个数．
试题解析：
【小问1详解】
，，.
【小问2详解】
根据题意可知：对于集合，
①且，则；
②若且，则.
所以要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.
所以当为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，取到最小值4.
【小问3详解】
因为，
所以.
由定义可知：.
所以对任意元素，，
.
所以.
所以.
由知：.
所以.
所以.
所以，即.
因为，
所以满足题意的集合对的个数为.
PAGE
第11页