2 0 2 4 - 2 0 2 5 学 年 度 上 学 期 高 二 1 2 月 份 教 学 质 量 检 测
数 学 试 卷(A)
(时问：120分钟，满分：150分) 第I 卷(选择题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1.数列0,3 · 是，3,号 ,…的一个通项公式为( )
A. (n∈N") B. (neN")
C. (n∈N) D. (n∈N")
2. 已知A(z,1,2),B(3,y,0), 若直线l的方向向量=(-1,-2,2)与直线
AB 的方向向量平行，则x+y=()
A.2 B.3 C.4 D.5
3. 在直角坐标平面内，与点P(-1,0)的距离为1,且与点Q(2,0)的距离为2的直线共 有 ( )
A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
4.设数列{a} 的通项公式为a=n -m,(nEN), 若数列a.}是递增数列，则正实
数t的取值范围为()
A.05.已知抛物线y=2r 的焦点到双曲,(b>0)的一条渐近线的距离为
则该双曲线的方程为()
(
1
)
6.已知动点P到定点A(-2,0),B(2,0) 的距离之和为4,直线/:y=k(x+1)-2 与动
点P 的轨迹有交点，则实数k的取值范围为()
7. 已知圆0:x +y =4 与x轴交于M,N 两点，点P 在直线/:x+y-4 √2=0 上，过圆 O上的任意两点S,T 分别向I作垂线，垂足为S,T, 以下说法错误的是( )
A. ∠SPT的最大值 B. 当ST为直径时，四边形SSTT面积的最大值为16
C.|PMI+|PNI 的最小值为6 √2 D.PM-PN 为定值
8.已知椭圆)的焦距为2c, 左、右焦点分别为F.F, 右顶点为
A, 上顶点为B. 点P为椭圆上的动点，若AB⊥BF, 则以下说法正确的是()
A.a.b,c 成等差数列
B.椭圆的离心
C.以 F 为圆心，AF 为半径的圆与桶圆有3个交点
D.△R PF 的外接四半径的最小值
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是()
A. 若向量a,6 共线，则与6所在直线平行
B. ”的必要不充分条件
C. 在空间直角坐标系Oagz中，点P(-1,2,3)关于面zOz 的对称点坐标为 P'(-1,-2,3)
D. 已知空间向量a,6,c, 则对于空间中任意一个向量节总存在实数工，y,z.
使得p=z+yb+zc
10.已知四边形ABCD是等腰梯形(如图1),AB=3,DC=1,∠BAD=45° .
DB⊥AB. 将△ADB 沿DB 折起，使得AB⊥BB (如图2),连结AC,AB, 设 M 是
AB的中点，下列结论中不正确的是()
图1 图2
A.BC⊥AD B. 点E 到平面AMC 的距离
C.EM// 平面ACD D. 四面体ABCE的外接球的体积
11.如图，棱长为2的正方体ABCD-4BGD 中 ，M 为DD 的中点，动点N在平面 ABCD 内的轨迹为曲线厂下列结论正确的是( )
A. 当MN⊥BN时，厂是一个点
B. 当MN 面A BC 时，厂是一条线段
(
B.
)
高二数学试卷第1页共6页 高二数学试卷第2页共6页 高二数学试卷第3页共6页
C. 当直线AV 与平面ABCD所成的角为60°时，厂是圆
D. 当直线AN 与平面ADD 4 所成的角为60°时，厂是双曲线
第Ⅱ卷(非选择题) 三 、填空题：本题共3小题，每小随5分，共15分.
12. 若直线I被两条直线l:z-y=0 与l x-y+2v2=0 所截得的线段的长为2 √2,则
1的何斜角可以是
13.如 图 ，AB 为圆柱下底面◎0的直径，C 是下底面圆周上一点，已知
OA=1. 圆柱的高为π.若点D 在圆柱表面上运动。且满足BC ·CD=0, 则 点D 的轨 迹所围成图形的面积为
14.如图，在边长为 √3的正△ABC 内部的两四，⊙0与⊙0外切，且◎0与AB,AC 两边相切，⊙O 与AB,BC 两边相切，则两圆的半径之和的最小值为
四 、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分)
如图，在四校柱ABCD-4BGD 中，四边形ABCD 是正方形，AM=6,AB=4, 设
高二数学试卷第4页共6页
CD=a.CB=b,C =.
(1)若CG⊥ 底面ABCD, 试用a,6,c 表示出空间的一个单位正交基底：(只写结果即
可 )
(2)若0是BD 的中点，且 ,求线段OD 的长
16. (本小题满分15分)
已知抛物线C:y =3z 的焦点为F, 斜率 的直线1与C 的交点为A,B, 与z 轴的交
点为P.
(1)若 |AF|+[BFI=3, 求直线l的方程： (2)若AP=3PB, 求 IABI.
17. (本小题满分15分)
数列(a 满 足a,=2a-1+2-1(n∈N",n≥2),a=81.
(1)求a,az,a 的值：
(2)是否存在一个实数2,使数列为等差数列 若存在，求出λ的值及a: 若 不存在，说明理由.
18. (本小题满分17分)
如图，E 是以AB 为直径的圆上一点，∠AOE=2∠EOB, 等腰梯形ABCD 所在的平面垂
直于⊙0所在的平面，且AB=2CD=4.
高二数学试卷第5页共6页
(1)求CD 与AE 所成的角：
(2)若异面直线DB 和AB 所成的角,求二面角D-EC-B 的平面角的正切值. 19. (本小题满分17分)
已知双曲线C )的两条渐近线分别为py=2x 和 y=-2r, 右
焦点坐标为( √5,0),0为坐标原点.
(1)求双曲线C 的标准方程：
(2)设M,N 是双曲线C 上不同的两点，Q 是MV 的中点，直线AMY、OQ 的斜丰分别为 k, 占，证明：k 如为定值：
(3)直线4z-y-6=0 与双曲线的右支交于点4B,(4 在B的上方),过点4,B,分别 作4,4的平行线，交于点P , 过点P 且斜率为4的直线与双曲线交于点4.B(4 在B 的上方),再过点4,B 分别作4.的平行线，交于点P, … , 这样一直操作下去，可以 得到一列点R,R.…Pn≥3,neN*. 证明：RB,…,P 共线.
高二数学试卷第6页共6页
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2024-2025学年度上学期高二12月份教学质量检测
数学试卷参考答案
一 、单项选择题：
1.C 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.D
8.D
【详解】对A, 如 图 ，
由题意，在RtOABF 中 ，a +a +b =(a+c) , 可 得b =ac, 故 A 错误；
对B, 由 b =ac 可 得c +ac-a =0, 即 e +e-1-0, 解 得 或 (舍去),故B 错误；
对C, 由椭圆的几何性质知，椭圆上到点F 距离最近的点只有一个，即右端点，所以不存在其它点P, 使 得|PF |=a-c, 故 C 错误；
对D, 由椭圆的几何性质知，当P 运动到椭圆短轴端点处(不妨取B 点),此时∠F PF 最大，由题意知
又DFPF 的外接圆半径 , 即DF PF 的外接圆半径的最小值为
, 故D 正确 . 故选：D
二 、多项选择题：
9.BC 10.AC
11.【答案】ACD
【详解】如图建立空间直角坐标，因为正方形的棱长为2,
则有D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B (2,2,2),D (0,0,2),又 M 为DD 的中点，所以M(0,0,1), 设N(x,y,0),
第 1 页 共 8 页
选 项A, 因 为MN=(x,y,-1),B N=(x-2,y-2,-2), 又 MN⊥B N,
所以MN·B N=x(x-2)+y(y-2)+2=0, 即 x +y -2x-2y+2=0, 也 即(x-1) +(y-D =0,
所以x=y=1, 此 时 ， 曲 线I 为 点N(1,1,0), 故 A 正确；
选 项B, 当 MN// 面 A BC 时 ，T 是连接AD 和 DC 中点的直线，故B 错误；
选项C, 易 知 平 面ABCD 的一个法向量为n=(0,0,1),MN=(x,y,-1), 所以当直线MN 与平面ABCD 所成的角为60°时，
,化简得. 此时曲线T 为 , 故C 正确；
选 项D, 易知平面ADD A 的一个法向量为i=(0,1,0),MN=(x,y,-1), 所以当直线MN 与平面ADD A 所成的角为60°时，
,化简得 此时曲线T 为 , 故D 正确；
故选：ACD.
三 、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 . 12.【答案】0°和90° 13.【答案】π
14.【答案】
【详解】如图1,设圆0与圆O '的半径分别为R,r, 圆 0 与 圆O '与边AB 的切点分别为点D,E, 过0'作
OF⊥OD, 垂足为F,
因为∠OAB=∠O'BA=30°, 所 以 A|O|=2|0D|=2R,|O'B|=2|0'E|=2r,|AD|=√3R,|BE|=√3r,
第 2 页 共 8 页
设G 为边BC 中点，则
因为圆0与圆O'是边长为√3的正三角形ABC内部的两圆，
所以，当圆O 为边长为√3的正三角形的内切圆时，R 取最大，r 取最小，如图2,
则 R, 即 , 所 以 ， 所以，在RtO'OF 中， |O'F|=√3(1-R-r),|o'0|=R+r,|OF|=R-r,
所以，[ √3(1-R-r)] +(R-r) =(R+r) , 即 3(R+r) -6(R+r)+3=4Rr,
因为,所以，2(R+r) -6(R+r)+3≤0, 解行
所 以 ，R+r 的最小值为 ,当且仅当R=r 时等号成立. 故答案为：
如图1 如图2
四、解答题：
15.【答案】(1) (答案不唯一);(2) √ 17.
【详解】(1) (答案不唯一) -------- -----5分
第3页共8页
(2)因为B D=B C+CD=-CC -CB+CD=a-b-c,
由题意知ld|=4,5=4,E=6,a.b=0,
--------------8分
所以BD =(a-b-c) =a +b +c -2a ·b-2a-c+2b ·c=68,-----------10 分
即 BD|=2√ 17, 所以 --------------13分
16【答案】1)12m-8y-1=0;(2)
(
·
)【解析】设直线l: ,A(x ,y),B(x ,y )
由题设得
所以 ----------------3分
由, 可 得 9x +12(-1Dx+4 =0,
由△>0得 且 -------------6分
从而, 得
所以L的方程为12x-8y-1=0.-------------8 分
( 2 ) 由AP=3PB 可 得y =-3y . .-------------10分
由 , 可 得y -2y+2t=0.
所以y +y =2.-------------12 分 从而 - 3y +y =2, 故 y =-1,y =3.
代入C 的方程得x =3, 14分
-----------15分
( 或ly -y |=4
即 ----------14分
----------15分)
第4页共8页
17.【答案】(1) a1 5 ，a2 13 ，a3 33 ； (2)存在， 1 ，an n 1 2n 1
【详解】（1）当 n 4 时，有a4 2a3 24 1 81 ，解得a3 33 ，┄┄┄┄┄┄2 分 当n 3 时，有a3 2a2 23 1 33 ，解得a2 13 ， ┄┄┄┄┄┄4 分
当n 2 时，有a2 2a1 22 1 13 ，解得 a1 5 ， ┄┄┄┄┄┄6 分
（2）方法一：假设存在实数 符合题意，
则 an an1 an 2an1 2n 1 1 1 必是与n 无关的常数，┄┄10 分
2n 2n1 2n 2n 2n
则 0 1 . ┄┄┄┄┄┄11 分
(
a
2
n
)故存在实数 1，使得数列 n 为等差数列， ┄┄┄┄┄┄12 分
又因为公差为 1，首项为 ，
即an n 1 2n 1 . ┄┄┄┄┄┄15 分
方法二：假设存在实数 ，使得数列 为等差数列，
(
2
2
)设公差为d ，又因为首项 5 ，
故 n 1d ，即 an 2n d n 1 2n ， 则an1 2n1 d n 2 2n1 n 2 ，┄┄┄┄┄┄9 分
由an 2an1 2n 1n 2 ，
即有 2n d n 1 2n 2 2n1 d n 2 2n1 2n 1 ，┄┄┄┄┄┄11 分
整理得d 2n 2n 1 ，
当 1 ，d 1 时，d 2n 2n 1恒成立，
当 时， n 1 n 1，符合要求， ┄┄┄┄┄┄13 分
有an 2n n 1 2n 1 n 1 2n 1 ，
故存在实数 1，使得数列 为等差数列，且an n 1 2n 1 . ┄┄┄┄┄┄15 分
第 5 页 共 8 页
18. 【答案】(1)30°(2)
【详解】(1)∵ABCD 为等腰梯形，∴CD//AB
所以异面直线AE 与CD 所成的角为∠BAE, -------------2分
又∵∠AOE=2∠EOB,∠AOE+∠EOB=180°,
第6页共8页
∴∠AOE=120°,
又OA=OE,∴∠BAE=30°
∴CD 与AE 所成角为30°
(2)取弧AB的中点F,CD
∵面ABCD⊥ 面ABE,OGC ∴OG⊥面ABE,
-------------4分
-------------6分
的中点G, 连 接OF,OG
面ABCD,OG⊥AB, 面ABCD∩ 面ABE=AB,
又∵F 为AB 的中点，∴OF⊥AB -----------8分
以0为原点，以OF,OB,OG 所在直线分别为x 轴 ，V 轴 ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系：
设OG的长为n(n>0), 则 A(0,-2,0),B(0,2,0),D(0,-1,n),E(√3,1,0), 所以AB=(0,4,0),DE=( √3,2,-n),
∴n =9, 又∵ n>0:n=3,∴D(0,-1,3)-------------10 分
设面DEC 的一个法向量为m=(r ,y ,zi),DC=(0,2,0),CE=(√3,0,-3)
则
第 7 页 共 8 页
令 ，则 ，
设面 的一个法向量为 ，
┄┄┄┄┄┄12
分
则
令 ，则 ， ┄┄┄┄┄┄14 分
设二面角 的平面角为 ，由 图可知
则 ，┄┄┄┄┄┄16 分
┄┄┄┄┄┄17 分
19.【答案】(1) x2 1 ； (2)证明见解析 (3)证明见解析
【详解】
（1）因为双曲线C 的两条渐近线分别为l1：y 2x 和l2：y 2x ，右焦点坐标为 , 0 ，
c
(
b
)所以 2 ，解得a 1, b 2 ， ┄┄┄┄┄┄2 分
a
a2 b2 c2
所以双曲线C 的标准方程为x2 1 ； ┄┄┄┄┄┄4 分
（2）证明：设M x1, y1 , N x2, y2 ，Q , ，
2 y1 (2)
x1 4 1
因为 M，N 为双曲线 C 上的两点，所以 2 ， ┄┄┄┄┄┄5 分
(
2
y
2
)x2 4 1
两式相减得 ，
整理得 ， ┄┄┄┄┄┄7 分
(
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
)则k1k2 y1 y2 y1 y2 y1 y2 4 ，得证； 8 分
2
（3）证明：设斜率为 4，与双曲线右支相交于Ak ，Bk 两点的直线方程为： y 4x mk mk 0 ，1 k n ，k N* ，
y 4x mk
联立 2 y2 ，消去y 并整理得12x2 8mk xmk (2) 4 0 ， ┄┄┄┄┄┄10 分
x 4 1
因为该方程有两个正根，则 0 ，解得mk 2 3 ，mk 2 3 （舍）
由韦达定理得xA xB 2mk , xA xB mk (2) 4 ， ┄┄┄┄┄┄12 分
k k 3 k k 12
直线AkPk 的方程为y yAk 2 x xAk ，
因为yAk 4xAk mk ，即 y 2x 6xAk mk ，┄┄┄┄┄① 直线BkPk 的方程为y yBk 2 x xBk ，
因为yBk 4xBk mk ，即 y 2x 2xBk mk ，┄┄┄┄┄②
(
k
2
)联立①②, 两式相加得yPk 3xAk xBk mk ，两式相减得xP 3xAk xBk ，┄┄┄┄┄┄14 分
因为xAk xBk ，则 yPk 3xAk xBk mk 3xAk xAk mk 2xAk ，
xP 3xAk xBk 3xAk xAk 2xA mk ， ┄┄┄┄┄┄16 分
k 2 2 k 3
所以xPk yPk ，则P1，P2，， n (P) 都在直线y x 上，故P1，P2，， n (P)共线. ┄┄┄┄┄┄17 分
第 8 页 共 8 页2024-2025 学年度上学期高二 12 月份教学质量检测
数学试卷参考答案
一、单项选择题：
1．C 2．D 3．C 4.A 5．B 6．C 7．D
8. D
【详解】对 A，如图，
由题意，在Rt ABF1中，a
2 a2 b2 (a c)2，可得b2 ac，故 A 错误；
2 5 1 5 1对 B，由b ac可得c2 ac a2 0，即e2 e 1 0，解得e 或 e （舍去），故 B 错误；
2 2
对 C，由椭圆的几何性质知，椭圆上到点F2距离最近的点只有一个，即右端点，所以不存在其它点 P ，使
得 PF2 a c，故 C 错误；
对 D，由椭圆的几何性质知，当 P 运动到椭圆短轴端点处（不妨取 B 点），此时 F1PF2 最大，由题意知
π c b
F1PF2 ， sin F1PF2 sin 2 F1BO 2sin F1BOcos F1BO 2 ，
2 a a
1 F1F2 c c a
2
R
又 F1PF2的外接圆半径 2 sin F PF sin F PF c b 2b ，即 F1PF2的外接圆半径的最小值为1 2 1 2 2
a a
a2
，故 D 正确. 故选：D
2b
二、多项选择题：
9. B C 10. AC
11．【答案】ACD
【详解】如图建立空间直角坐标，因为正方形的棱长为 2，
则有D(0,0,0), A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2)，又M为DD1的中点，所以M (0,0,1)，
设 N(x, y,0)，
第 1 页 共 8 页
选项 A，因为MN (x, y, 1)，B1N (x 2, y 2, 2)，又MN B1N ，
所以MN B1N x(x 2) y(y 2) 2 0，即 x
2 y2 2x 2y 2 0，也即 (x 1)2 (y 1)2 0，
所以 x y 1，此时，曲线 Γ为点N(1,1,0)，故 A 正确；
选项 B，当 时，Γ是连接 中点的直线，故 B 错误；
选项 C，易知平面 ABCD的一个法向量为n (0,0,1)，MN (x, y, 1) ，
所以当直线 MN与平面 ABCD所成的角为60 时，
MN n 1 3
有 sin60 cos MN ,n x
2 2 1
，化简得 y ，
MN n x2 y2 1 2 3
2 2 1
此时曲线 Γ为 x y ，故 C 正确；
3
选项 D，易知平面 ADD1A1的一个法向量为n (0,1,0)，MN (x, y, 1) ，
所以当直线 MN与平面 ADD1A1所成的角为60 时，
MN n y 3 2
有 sin60 cos MN ,n
y
2 2 ，化简得 x
2 1，
MN n x y 1 2 3
y2
此时曲线 Γ为 x2 1，故 D 正确；
3
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．【答案】 . 13．【答案】
3 3
14．【答案】
2
【详解】如图 1，设圆O与圆O 的半径分别为 R ， r ，圆O与圆O 与边 AB 的切点分别为点D, E ，过O 作
O F OD，垂足为F ，
因为 OAB O BA 30 ，所以 AO 2 OD 2R, O B 2 O E 2r ， AD 3R, BE 3r ，
第 2 页 共 8 页
3
设G 为边BC中点，则 AG ，
2
因为圆O与圆O 是边长为 3的正三角形 ABC内部的两圆，
所以，当圆O为边长为 3的正三角形的内切圆时， R 取最大， r 取最小，如图 2，
3 1 1 1 1
则3R AG ,3r R，即R , r ，所以，R, r
2 2 6
, ，
6 2
所以，在Rt O OF中， O F 3 1 R r ， O O R r ， OF R r，
2 2 2 2
所以， 3 1 R r R r R r ，即3 R r 6 R r 3 4Rr，
2
R r 2 3 3 3 3
因为Rr ，所以，2 R r 6 R r 3 0，解得R r ,
2 2 2
3 3 3 3
所以，R r 的最小值为 ，当且仅当R r 时等号成立. 故答案为：
2 2
四、解答题：
1 1 1
15.【答案】(1) a, b , c (答案不唯一)；(2) 17 .
4 4 6
1 1 1
【详解】（1） a, b , c ； (答案不唯一) ┄┄┄┄┄┄5 分
4 4 6
（2）因为B1D B1C CD CC1 CB CD a b c ，
由题意知 a 4， b 4， c 6 ，a b 0 ，
π π
a c b c 4 6cos 12 4 6cos 12， ┄┄┄┄┄┄8分
3 3
2
所以 B D (a b c)2 a2 b 21 c
2 2a b 2a c 2b c 68，┄┄┄┄┄┄10分
1
即 B1D 2 17 ，所以DO B1D 17 . ┄┄┄┄┄┄13分
2
第 3 页 共 8 页
4 13
16. 【答案】（1） ；（2） | AB |
3
3
【解析】设直线 l : y x t, A x1, y1 , B x2 , y2 ．
2
3 3
由题设得F , 0 ，故 | AF | | BF | x1 x2 ，
4 2
所以 ．┄┄┄┄┄┄3分
3
y x t
由 2 ，可得9x
2 12(t 1)x 4t2 0，
2
y 3x
由 得 ，且 ┄┄┄┄┄┄6分
从而 ，得 ，
所以 l 的方程为 ．┄┄┄┄┄┄8分
（2）由 AP 3PB可得 y1 3y2．┄┄┄┄┄┄10分
3
y x t
由 2 ，可得 y
2 2y 2t 0．
y2 3x
所以 y1 y2 2．┄┄┄┄┄┄12分
从而 3y2 y2 2 ，故 y2 1, y1 3．
1
代入C 的方程得 x1 3, x2 ．┄┄┄┄┄┄14分
3
4 13
故 | AB | ．┄┄┄┄┄┄15分
3
（或
┄┄┄┄┄┄14分
┄┄┄┄┄┄15分）
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17.【答案】(1) a 5， a 13，a 33； (2)存在， 1，an n 1 2
n 1
1 2 3
4
【详解】（1）当n 4时，有a4 2a3 2 1 81，解得a3 33，┄┄┄┄┄┄2分
3
当n 3时，有a 2a 2 1 33，解得a3 2 2 13， ┄┄┄┄┄┄4分
当 n 2时，有a2 2a1 2
2 1 13，解得a1 5， ┄┄┄┄┄┄6分
（2）方法一：假设存在实数 符合题意，
a a a 2a 2n 1 1
则 n n 1 n n 1 1 必是与n无关的常数，┄┄10分
2n 2n 1 2n 2n 2n
1
则 0 1n ． ┄┄┄┄┄┄11分 2
a
故存在实数 1，使得数列 n n 为等差数列， ┄┄┄┄┄┄12分
2
又因为公差为 1，首项为 ，
a n 1 2n即 n 1 . ┄┄┄┄┄┄15分
an
方法二：假设存在实数 ，使得数列 n 为等差数列，
2
a 5
设公差为d ，又因为首项 1 ，
21 2
an 5 5 故 n 1 d n nn ，即 an 2 d n 1 2 ， 2 2 2
5
a 2n 1 d n 2 2n 1则 n 1 n 2 ，┄┄┄┄┄┄9分
2
a 2a n由 n n 1 2 1 n 2 ，
5 n n 5
即有 2 d n 1 2 2 2
n 1 d n 2 2n 1 2
n 1，┄┄┄┄┄┄11分
2 2
整理得 d 2n 2n 1，
当 1， d 1时， d 2n 2n 1恒成立，
an 5 1当 时， n 1 n 1n ，符合要求， ┄┄┄┄┄┄13分 2 2
5 1
a 2n n n有 n n 1 2 1 n 1 2 1，
2
an n
故存在实数 1，使得数列 n 为等差数列，且an n 1 2 1 . ┄┄┄┄┄┄15分
2
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18．【答案】（1）30°（2）
【详解】（1） 为等腰梯形，
所以异面直线 AE 与 所成的角为 BAE ， ┄┄┄┄┄┄2分
又 AOE 2 EOB, AOE EOB 180 ，
AOE 120 ， ┄┄┄┄┄┄4分
又OA OE， BAE 30 .
CD与 AE 所成角为 30°. ┄┄┄┄┄┄6分
（2）取弧 AB 的中点F ，CD的中点G ，连接
， ， ， ，
，
又 为 的中点， ┄┄┄┄┄┄8分
以O为原点，以 所在直线分别为 x轴， y 轴， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系：
设OG的长为 ，则 A 0, 2,0 , B 0,2,0 , D 0, 1,n , E 3,1,0 ，
所以 AB 0,4,0 , DE 3,2, n ，
AB DE 8 1
所以cos ，
3 | AB || DE | 4 n2 7 2
n 3， D 0, 1,3 ┄┄┄┄┄┄10分
设面 的一个法向量为 ，
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则
令 ，则 ， ┄┄┄┄┄┄12分
设面 的一个法向量为 ，
则
令 ，则 ， ┄┄┄┄┄┄14分
设二面角 的平面角为 ，由图可知
则 ，┄┄┄┄┄┄16分
┄┄┄┄┄┄17分
y2
19.【答案】(1) x2 1； (2)证明见解析 (3)证明见解析
4
【详解】
（1）因为双曲线C 的两条渐近线分别为 l1：y 2x和 l2：y 2x，右焦点坐标为 5,0 ，
c 5
b
所以 2 ，解得a 1,b 2， ┄┄┄┄┄┄2分
a
a
2 b2 c2
y2
所以双曲线C 的标准方程为 x2 1； ┄┄┄┄┄┄4分
4
x
（ ）证明：设M x , y , N x , y ，Q 1
x2 y1 y2
2 1 1 2 2 , ，
2 2
y22 1
x 1 1 4
因为 M，N为双曲线 C上的两点，所以 ， ┄┄┄┄┄┄5分
y
2
x2 22 1
4
两式相减得 ，
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整理得 ， ┄┄┄┄┄┄7分
y1 y2
y1 y2 2 y1 y2 y1 y
则 k1k2
2 4，得证； ┄┄┄┄┄┄8分
x1 x x x2 1 2 x1 x2 x1 x2
2
（3）证明：设斜率为 4，与双曲线右支相交于 Ak，Bk 两点的直线方程为：
y 4x mk mk 0 ，1 k n，k N* ，
y 4x mk
2 2
联立 y2 ，消去 y并整理得12x 8mk x mk 4 0， ┄┄┄┄┄┄10分
x
2 1
4
因为该方程有两个正根，则 0，解得mk 2 3 ，mk 2 3 （舍）
2m m2 4
由韦达定理得 x x k , x x k ， ┄┄┄┄┄┄12分 Ak Bk A B3 k k 12
直线 AkPk 的方程为 y yA 2 x x ， k Ak
因为 yA 4xA mk ，即 y 2x 6xA mk ，┄┄┄┄┄① k k k
直线B y y 2 x xkPk 的方程为 B B ， k k
因为 yB 4xB mk ，即 y 2x 2xk k B mk k ，┄┄┄┄┄②
3xA xB
联立①②，两式相加得 yP 3xA xB mk ，两式相减得 x k k ，┄┄┄┄┄┄14分 k k k Pk 2
2m
因为 x x k
2m m
，则 y 3x x m 3x x k m 2x kAk B ，k P3 k
Ak Bk k Ak Ak k A3 k 3
2m
3x k
3x x A
k xA k
A B 3 m ， k ┄┄┄┄┄┄16分 x k kP 2x k A2 2 k 3
所以 xP yP ，则P，P， ，P 都在直线 y x1 2 n 上，故P，Pk k 1 2， ，Pn 共线．┄┄┄┄┄┄17分
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