海南省海口市实验中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷（PDF版，含答案）

海南省海口市实验中学 2024-2025 学年高一上学期第二次月考数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图， 为全集，集合 = { 1,0,2,3,6}，集合 = {2,3,5,7}，则阴影部分表
示集合( )
A. { 1,0,5,6,7} B. { 1,0,2,3,5,6,7)
C. {2,3} D. { 1,0,5,7}
( 3), > 3
2.已知函数 ( ) = {
2
，则 (5) =( )
3 2 , ≤ 3
A. 6 B. 2 C. 6 D. 10
2
3.已知 ∈ ，则“ 1 ≤ ≤ 2”是“ ≤ 0”的( )
+1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数 ( ) = 2 1 + 1( > 0且 ≠ 1)的图象过定点( )
A. (0,1) B. (0,2) C. (1,1) D. (1,3)
1
5.若 = 1.10.1， = log0.20.3， = log2 ，则( ) 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.已知 + = 0，函数 ( ) = 与函数 ( ) = log 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
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1 1
7.若 ( )对于任意实数 都有2 ( ) ( ) = 2 + 1，则 ( ) =( )
2
8 4
A. 3 B. 4 C. D.
3 3
1
8.设函数 ( ) = 2| | 2，则使得 ( ) > (3 1)成立的 的取值范围是( ) 1+
1 1 1 1
A. ( , ) B. ( ∞, ) ∪ ( , +∞)
4 2 4 2
1 1 1 1
C. ( , ) D. ( ∞, ) ∪ ( , +∞)
2 2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，不是相同函数的是( )
2 , ≥ 0
A. ( ) = | |与 ( ) = { 2 B. ( ) = 与 ( ) = √
2
, < 0
2 4
C. ( ) = log 23 与 ( ) = 2 3 D. ( ) = + 2与 ( ) = 2
10.下列命题为真命题的是( )
1
A. “ > 1”是“ < 1”的充分不必要条件

B. 命题“ < 1， 2 < 1”的否定是“ ≥ 1， 2 ≥ 1”
C. 若 > > 0， ≠ 0，则 2 > 2
2+5
D. 若 ∈ ，则函数 = 的最小值为2
√ 2+4
( ), ( ) ≥ ( )
11. ( ) = 3 2| |， ( ) = 2 2 ， ( ) = { ，则关于 ( )的说法正确的是( )
( ), ( ) < ( )
A. 最大值为3，最小值为 1
B. 最大值为7 2√ 7，无最小值
C. 增区间是( ∞, 2 √ 7)和(1, √ 3)，减区间是(2 √ 7, 1)和(√ 3, +∞)
D. 增区间是( ∞, 0)和(1, √ 3)，减区间是(0,1)和(√ 3, +∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知幂函数 ( ) = ( 2 2 2) 2 1的图象经过原点，则 的值是______．
1 1
13.已知函数 ( ) = log ( > 0，且 ≠ 1)在[ , ]上的最大值和最小值的差为2，则实数 的值为______． 27 9
14.某工厂在2020年排放废水200万吨，2021年增长率约为50%.如果不采取措施，未来排放废水量还将以此
增长率增长，从______年开始，该工厂排放废水量超过2000万吨. (参考数据： 2 ≈ 0.3010， 3 ≈ 0.4771)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
计算下列各式的值．
1 1 4
(1)( ) 2 + (√ 8)3 2(√ )0；
4
(2)log 1 + 25 + 4 + log23 log32.
16.(本小题15分)
已知集合 = { |1 ≤ 3 ≤ 27}，集合 = { |2 < < 1 }．
(1)当 = 1时，求 ∪ ，( ) ∩ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，且当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 2 ．
(1)画出函数 ( )( ∈ )的图象，并写出它的单调增区间；
(2)写出函数 ( )( ∈ )的解析式；
(3)若函数 ( ) = ( ) 2 + 2( ∈ [1,2])，求函数 ( )的最小值．
18.(本小题17分)
近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁、百般刁难，并不断
加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5 ，然而这并没有让华为却步.华为在2022年不仅净利润创下记录，
海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2025年利用新技术生产某
款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产 (千部)手机，需另投入成本 ( )
10 2 + 100 , 0 < < 40
万元，且 ( ) = { 10000 ，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机
701 + 9450, ≥ 40

当年能全部销售完．
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(1)求出2025年的利润 ( )(万元)关于年产量 (千部)的函数关系式(利润=销售额 成本)；
(2)2025年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
19.(本小题17分)
9
已知定义在 上的函数 ( ) = 3 ．
3
(1)若 ( ) = 8，求实数 的值；
(2)若对于任意的 ∈ [0,3]，[ ( ) 3] 3 + 12 ≥ 0恒成立，求实数 的取值范围；
2
(3)记 ( ) = (log3 )，若方程 (|3
2|) + 3 = 0有三个不同的实数解，求实数 的取值范围． |3 2|
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
√ 3
13.【答案】√ 3或
3
14.【答案】2026
1 1 4 3 4
15.【答案】解：(1)( ) + ( 8) 2( )0 = 4 + 2 ×2 √ 3 √ √ 2 3 2 = 2 + 4 2 = 4；
4
1
(2)log 1 + 25 + 4 + log23 log32 = 0 + lg(4 × 25) +
2
23 × = 10 + 1 = 2 + 1 = 3． 23
16.【答案】解：(1)因为1 ≤ 3 ≤ 27，所以30 ≤ 3 ≤ 33，即0 ≤ ≤ 3，
所以集合 = { |0 ≤ ≤ 3}， = { | < 0或 > 3}，
当 = 1时，集合 = { | 2 < < 2}，
所以 ∪ = { | 2 < ≤ 3}，
( ) ∩ = { | 2 < < 0}；
(2)由已知可得集合 是集合 的真子集，
1
所以当集合 是空集时，2 ≥ 1 ，所以 ≥ ，
3
1
当集合 是不是空集时，2 < 1 ，所以 < ，
3
2 ≥ 0
又集合 是集合 的真子集，所以{ ，解得 ≥ 0，
1 ≤ 3
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1
所以0 ≤ < ，
3
综上，实数 的取值范围为[0, +∞)．
17.【答案】解：(1)如图，根据偶函数的图象关于 轴对称，可作出 ( )的图象，
，
则 ( )的单调递增区间为( 1,0)，(1, +∞)；
(2)令 > 0，则 < 0，∴ ( ) = 2 2
∵函数 ( )是定义在 上的偶函数，
∴ ( ) = ( ) = 2 2
2 + 2 , ≤ 0
∴解析式为 ( ) = { 2 ； 2 , > 0
(3) ( ) = 2 2 2 + 2，对称轴为 = + 1，
当 + 1 ≤ 1时， (1) = 1 2 为最小；
当1 < + 1 ≤ 2时， ( + 1) = 2 2 + 1为最小；
当 + 1 > 2时， (2) = 2 4 为最小；
1 2 , ≤ 0
∴ ( ) = { 2 2 + 1,0 < ≤ 1．
2 4 , > 1
18.【答案】解：(1)根据题意可得 ( ) = 700 ( ) 250
10 2 + 600 250,0 < < 40
= { 10000 ，
( + ) + 9200, ≥ 40

∴ 2025年的利润 ( )(万元)关于年产量 (千部)的函数关系式为：
10 2 + 600 250,0 < < 40
( ) = { 10000 ；
( + ) + 9200, ≥ 40

(2)由(1)可知：当0 < < 40时， ( ) = 10( 30)2 + 8750 ≤ 8750，
当且仅当 = 30时，等号成立；
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10000 10000
当 ≥ 40时， ( ) = ( + ) + 9200 ≤ 2√ + 9200 = 9000，

10000
当且仅当 = ，即 = 100时，等号成立，

又8750 < 9000，
∴ ( )的最大值为 (100) = 9000，
∴ 2025年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是900万元．
19.【答案】解：(1)若 ( ) = 8
9
，则3 = 8， 3
所以(3 )2 + 8 × 3 9 = 0，
所以(3 + 9)(3 1) = 0，
所以3 = 9(舍)，或3 = 1，
解得 = 0．
(2)若对于任意的 ∈ [0,3]，[ ( ) 3] 3 + 12 ≥ 0恒成立，
9
所以若对于任意的 ∈ [0,3]，[3 3] 3 + 12 ≥ 0恒成立， 3
所以若对于任意的 ∈ [0,3]，(3 )2 3 3 + 3 ≥ 恒成立，
所以只需要 ≤ [(3 )2 3 3 + 3] ， ∈ [0,3]即可，
令 = 3 ， ∈ [1,27]，
所以 ≤ [ 2 3 + 3] ， ∈ [1,27]，
令 = 2 3 + 3， ∈ [1,27]，
3 3 2 3 3当 = 时， = ( ) 3 × ( ) + 3 = ， 2 2 2 4
3
所以 ≤ ．
4
(3) ( ) = (log ) = 3 3
9 9
3
3 3
= ，

2
所以方程 (|3 2|) +
|3
3 = 0，
2|
为|3
9 2
2| + 3 = 0， |3 2| |3 2|
令 = |3 2|， ≥ 0，
9 2
所以方程为 + 3 = 0，即 2 3 9 + 2 = 0，

2
若方程 (|3 2|) + 3 = 0有三个不同的实数解， |3 2|
结合函数 = |3 2|的图象可知
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方程 2 3 9 + 2 = 0在 ∈ [0, +∞)上，有两个不等的实数根 1, 2，
结合图象，根的情况可设为：0 < 1 < 2, 2 = 0 或 0 < 1 < 2, 2 = 2 或 0 < 1 < 2, 2 > 2，
9 27
当0 < 1 < 2, 2 = 0时，2 9 = 0 得 = , 2 1 = ，不符合题意； 2
5 23
当0 < 1 < 2, 2 = 2时，4 6 9 + 2 = 0 得 = , 1 = ，不符合题意； 4 4
当0 < 1 < 2, 2 > 2时，
9 + 2 > 0 9
所以{ ，解得 > ．
4 6 9 + 2 < 0 2
9
综上所，实数 的取值范围为( , +∞)．
2
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