江苏省常州市第一中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省常州市第一中学 2024-2025 学年高一上学期 11 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ > 1， 2 + 2 > 0”的否定为( )
A. > 1， 2 + 2 ≤ 0 B. ≤ 1， 2 + 2 ≤ 0
C. ≤ 1， 2 + 2 ≤ 0 D. > 1， 2 + 2 ≤ 0
4
2.已知集合 = { | = , ∈ }， = { | 1 ≤ ≤ 4}，则 ∩ =( )
+1
A. {1,2,4} B. {0,1,3} C. { |0 ≤ ≤ 3} D. { | 1 ≤ ≤ 4}
4
3.( )2+√ 2的值是( )
2√ 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.一元二次方程 2 + 4 3 = 0有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( )
A. < 0 B. > 0 C. < 2 D. > 1
5.已知 (√ + 2) = + 1，则 ( ) =( )
A. 2 4 + 5( ≥ 2) B. 2 4 + 3( ≥ 2)
C. 2 4 + 3( ≥ 0) D. 2 4 + 5( ≥ 0)
6.已知1 ≤ ≤ 2，3 ≤ + ≤ 4，则 的最大值为( )
15 9
A. B. C. 3 D. 4
4 2
2+
7.已知 > 0， > 0，且4 + = 1，则 的最小值为( )

A. 6√ 2 B. 4√ 2 C. 4 D. 6
8.已知[ ]表示不超过 的最大整数，集合 = { ∈ |0 < [ ] < 3}， = { |( 2 + )( 2 + 2 + ) = 0}，且
∩ ( ) = ，则集合 的子集的个数为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 18
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. = √ 1 + √ 1 与 = √ 1 2表示同一个函数
B. 已知函数 ( )的定义域为[ 3,1]，则函数 (2 1)的定义域为[ 1,1]
C. 函数 = + √ 1的值域为[0, +∞)
1 2
D. 已知函数 ( )满足 ( ) + 2 ( ) = ，则 ( ) = + ( ≠ 0)
3 3
10.已知 ， ∈ +，下列选项正确的是( )
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1 5
A. 若 + = 1，则 + 的最小值为
2
B. 若 + 3 = ，则 + 的最小值为4 + 2√ 3
C. 若 + 2 + = 4，则 + 2 的最小值为4√ 3 4
2 2 12 4√ 2
D. + 的最大值为
3 +2 +3 7
3
11.已知关于 的不等式 ≤ 2 3 + 4 ≤ ，下列结论正确的是( )
4
A. 当 < < 1时，不等式的解集为
B. 当 = 3时，不等式的解集可以表示为形式{ | ≤ ≤ }
4
C. 若不等式的解集恰为{ | ≤ ≤ }，则 = 4或 =
3
D. 若不等式的解集恰为{ | ≤ ≤ }，则 = 0且 = 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.已知集合 = { | < 1}， = { | 2 4 < 0}，则 ∩ = ______．

( +1)
13.已知 > 0， > 0，且 + = 3，若 ≤ 2 + + 1对任意的 > 0， > 0恒成立，则实数 的取
1
值是______．
14.已知 ( ) = 2 + ，设集合 = { | ( ) = }，集合 = { | ( ( )) = }，若 ，则实数 的取值
范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设集合 = { | 1 ≤ + 1 ≤ 6}， = { | 1 < < 2 + 1}．
(1)当 = 3时，求 ∩ 与 ∪ ；
(2)当 时，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
设集合 = { | 1 ≤ ≤ 2}，集合 = { |2 < < 1}．
(1)若 ≠ ，且“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围；
(2)若 ∩ ( )中只有一个整数，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数 ( 1) = 2 4 + 6．
(1)求 ( )的解析式；
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(2)在区间[ 2,2]上， = ( )的图象恒在 = + 2 + 1图象的下方，试确定实数 的取值范围；
(3)求函数 ( )在区间[ 1, ]上的最小值 ( )．
18.(本小题17分)
两县城 和 相距20 ，现计划在两县城外以 为直径的半圆弧 上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市
的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 和城 的总影响度为对城 与对城 的影响度之和.记 点到城
的距离为 ，建在 处的垃圾处理厂对城 和城 的总影响度为 .统计调查表明垃圾处理厂对城 的影响
度与所选地点到城 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城 的影响度与所选地点到城 的距离的平方成
反比，比例系数为9．
(1)若垃圾处理厂建在圆弧 的中点处，求垃圾处理厂对城 和城 的总影响度；
(2)求垃圾处理厂对城 和城 的总影响度的最小值．
19.(本小题17分)
已知有限集 = { 1, 2, , }( ≥ 2， ∈ )，如果 中的元素 ( = 1,2, … , )满足 1 + 2 + + = 1 ×
2 × × ，就称 为“完美集”．
(1)判断：集合{ √ 2 √ 3, √ 2 + √ 3}是否是“完美集”，并说明理由；
(2) 1、 2是两个不同正数，且{ 1, 2}是“完美集”，求证： 1、 2至少有一个大于2；
(3)若 为正整数，求所有的“完美集” ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】{ | 2 < < 0或 < < 2}
2
13.【答案】( ∞, 1) ∪ [5，+∞)
14.【答案】[ 1,3]
15.【答案】解：(1) = { | 1 ≤ + 1 ≤ 6} = { | 2 ≤ ≤ 5}，
当 = 3时， = { |2 < < 7}，
所以 ∩ = { |2 < ≤ 5}， ∪ = { | 2 ≤ < 7}；
(2)因为 ，分以下两种情况讨论：
当 = 时， 1 ≥ 2 + 1，
解得 ≤ 2，
1 < 2 + 1
当 ≠ 时，由 可得{ 1 ≥ 2 ，
2 + 1 ≤ 5
解得 1 ≤ ≤ 2，
综上所述，实数 的取值范围是{ | ≤ 2或 1 ≤ ≤ 2}．
16.【答案】解：(1)由“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，得 是 的真子集，
1 1
又 ≠ ， = { | 1 ≤ ≤ 2}，因此 1 ≤ 2 < 1，解得 ≤ < ，
2 2
1 1
所以实数 的取值范围是[ , ).
2 2
(2)由 = { | 1 ≤ ≤ 2}，得 = { | < 1或 > 2}，
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2 < 1 3
由 ∩ ( )中只有一个整数，得 ≠ ，因此{ ，解得 ≤ < 1， 3 ≤ 2 < 2 2
3
所以实数 的取值范围是[ , 1)．
2
17.【答案】解：(1)由 ( 1) = 2 4 + 6，
则 ( ) = [( + 1) 1] = ( + 1)2 4( + 1) + 6 = 2 2 + 3，
即 ( ) = 2 2 + 3；
(2)在区间[ 2,2]上， = ( )的图象恒在 = + 2 + 1图象的下方，
即 ∈ [ 2,2]， 2 2 + 3 < + 2 + 1恒成立，即 ∈ [ 2,2]，2 > 2 + 2恒成立，
1
令 ( ) = 2 + 2， ∈ [ 2,2]，其对称轴方程为 = ，
2
1 1
则 ( )在( 2, )上单调递减，在( , 2)上单调递增，
2 2
又 ( 2) = 8， (2) = 4，故 ( ) = ( 2) = 8，
则有2 > 8，即 > 4，实数 的取值范围为(4, +∞)；
(3) ( ) = 2 2 + 3 = ( 1)2 + 2，
则 ( )的对称轴为 = 1，
当 ≤ 1时， ( )在[ 1, ]上单调递减，
故 ( ) = ( ) = 2 2 + 3；
当 1 < 1 < ，即1 < < 2时，
( )在( 1,1)上单调递减，在(1, )上单调递增，
则 ( ) = (1) = 2；
当 1 ≥ 1，即 ≥ 2时， ( )在[ 1, ]上单调递增，
故 ( ) = ( 1) = ( 1)2 2( 1) + 3 = 2 4 + 6；
2 2 + 3, ≤ 1
综上所述， ( ) = {2,1 < < 2 ．
2 4 + 6, ≥ 2
18.【答案】解：(1)点 在以 为直径的半圆上，所以∠ = 90°，
由 = 20， = ，可得 2 = 400 2，
4 9
由题意可得 = + (0 < < 20)，
2 400 2
因为垃圾处理厂建在弧 的中点处，
4 9
所以 = + = 0.065，
200 400 200
即所求总影响度为0.065．
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4 9 4×(400 2)+9 2 5( 2+320)
(2)由(1)知 = 2 + = = ， 400 2 2(400 2) 2(400 2)
令 2 + 320 = ∈ (320,720)，则 2 = 320，
5 5 5
所以 = = = , ∈ (320,720)，
( 320)×(720 ) 2 230400+1040 230400 ( + )+1040

230400 230400
因为 + ≥ 2√ × = 2 × 480 = 960，

230400
当且仅当 = ，即 = 480, = 4√ 10时等号成立，取得最小值，

5 5 1
此时 = 230400 ≥ = = 0.0625，
( + )+1040 960+1040 16

所以垃圾处理厂对城 和城 的总影响度的最小值为0.0625．
19.【答案】解：(1)不是完美集，理由如下：
由( √ 2 √ 3) + ( √ 2 + √ 3) = 2√ 2，( √ 2 + √ 3)( √ 2 √ 3) = 1，
则集合{ √ 2 √ 3, √ 2 + √ 3}不是“完美集”．
证明：(2)由 1， 2 > 0，则 1 + 2 ≥ 2√ 1 2，当且仅当 1 = 2时取等号，
由题意可知 1 ≠ 2， 1 + 2 > 2√ 1 2，
由题意可得 1 2 > 2√ 1 2，可得 1 2 > 4，
由 1， 2为正整数， 1， 2至少有一个大于2．
解：(3)不妨设 1 < 2 < 3 < < ，
由 1 2 3 = 1 + 2 + 3 + + < ，得 1 2 3 1 < ，
当 = 2时， 1 < 2，又由 为正整数，所以 1 = 1，
于是1 + 2 = 2，则 2无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当 = 3时， 1 2 < 3，只能 1 = 1， 2 = 2，则 3 = 3，
于是“完美集” 只有一个，为{1,2,3}．
当 ≥ 4时，由 1 2 3 1 ≥ 1 × 2 × 3 × × ( 1)，
即有 ( 1)( 2) = 2 + 4 2 = ( 2)2 + 2 < 0，
又由( 1)( 2) ≤ 1 × 2 × 3 × × ( 1)，则 < 1 × 2 × 3 × × ( 1)，
故矛盾，所以当 ≥ 4时不存在完美集 ，
综上所述，“完美集” 为{1,2,3}．
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