浙江省宁波市海曙区古林镇初三数学强基试卷（含详解）

2024.11 古林初三数学强基考试
一、选择题 (每小题 5 分, 共 30 分)
1. 在智力竞答节目中,某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关, 两题均有四个选项, 此选手只能排除第 1 题的错误选项, 第 2 题完全不会, 他还有两次 “求助” 机会 (使用可去掉一个错误选项), 为提高通关概率, 他的求助使用策略为( )
A. 两次求助都用在第 1 题 B. 两次求助都用在第 2 题
C. 在第 1、第 2 题各用一次求助 D. 无论如何使用通关概率都相同
2. 下列命题正确的是( )
A. 三个点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧
C. 同弧或等弧所对的圆周角相等 D. 圆内接平行四边形一定是正方形.
3. 如图,半径为 的 的弦 ,且 于 ,连结 ,若 ,则半径 的长为( )
A. 1 B. C. 2 D.
题3 题4 题6
4. 如图,在 中,点 在 上,点 是 的中点,连接 并延长交 点 ,则 ( )
A. 2: 3 B. 2 :5 C. D. 3: 7
5. 已知抛物线 中, ; 方程 ( 有两根 ,其中 ,若 ,则一定有 ( )
A. B. C. D.
6. 如图, 中, 是 中点, 是以 为圆心,以 为半径的圆上的动点,连接 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 如图,在 中, 是边 上的点 (不与点 、 重合). 过点 作 交 于点 ; 过点 作 交 于点 是线段 上的点, 是线段 上的点, ,若已知 的面积,则一定能求出( )
A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积
二、填空题 (每小题 5 分, 共 30 分)
8. 点 均在二次函数 的图象上,则 的大小关系是_____(用“ ”连接).
9. 二次函数 的图象与一次函数 的图象没有交点,则 的取值范围是_____.
10. 如图,平行四边形 中, ,点 在边 上运动以 为圆心 为半径作 ,若 与平行四边形 的边有四个公共点,则 的长度满足条件是_____.
题10 题11 题12
11. 如图,平面直角坐标系中, ,点 为 轴上一点,连接 ,点 为 的中点,点 为射线 上一个动点,当 为直角三角形时,点 的坐标为_____.
如图,点 在线段 上,等腰 的顶角 ,点 是矩形 的对角线 的中点,连接 ,若 ,则 的最小值为_____.
三、解答题 (第 13 题 10 分, 第 14、15 题每题 15 分)
13. 如图, 中, 过 中点 且与 分别交于点 .
(1)求证: 直线 是 的切线;
(2)延长 交 于点 ,连结 ,求证: ;
(3)在(2)的条件下,若 ,求 的长.
14. 已知二次函数 ,记该函数在 上的最大值为 ,最小值为 ,已知 .
(1)当 时,求 的值；
(2)当 时,求 的值;
(3)已知 ( 为整数),若 为整数,求 的值.
15. 如图,点 是以 为直径的 上一点,过 的中点 作 于点 ,交 于点 ,连接 与 相交于点 .
(1)如图 1,若 也是 的直径,已知 ,求 的长.
(2) 如图 2.
① 求证: ;
② 若 ,求 的值.
图1 图2
2024.11 古林初三数学强基考全解全析
一、选择题 (每小题 5 分, 共 30 分)
1.全析：
若两次求助都用在第 1 题,则选手通关概率为 ;
若两次求助都用在第 2 题,则选手通关概率为 ;
若在第 1、第 2 题各用一次求助,则选手通关概率为 .
因此选 A.
2.全析：
A: 不在同一直线上的三个点确定一个圆;
B: 非直径的弦,平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧;
D: 圆内接平行四边形一定是矩形. 因此选 C.
3. 全析：
如下图所示,连结 ,
弦
,
又 ,
,
,
,
又 ,
,
,
又 为半径,
. 故选 C.
4全析：
如下图所示,过点 作 交 于点 ,
,
,
,
,
,
. 故选 A.
5全析：
解: 与 的两个交点为 , ①如下图所示,
此时 ,不符合题意, 舍去.
②如右图所示,
此时 ,
3如右图所示,
此时 ,不符合题意, 舍去.
故选 B.
6全析：
固定 ,则 ,
点的运动轨迹为阿氏圆.
如右图所示,圆 为 点的运动轨迹,
设 ,则 ,
当 运动到 点时,由 ,知 ,
当 运动到 点时,由 ,知 ,解得 ,
因此 ,
同理,如上图所示, 点的运动轨迹为阿氏圆 .
由 ,
结合 点与 重合时的位置可知 ,
在 固定的前提下,求 的最大值,只需 最小即可,
所以 ,故选 D.
7. 全析：
如图,延长 交 于点 ,连结 . 由相似容易知道, ,
而 ,故 ,
故 ,选 D.
二、填空题 (每小题 5 分, 共 30 分)
8全析：
二次函数开口向上,故与对称轴越近,函数值越大,又知对称轴为 ,故比较 、 三点到对称轴的距离可得 .
9全析：
即考虑方程 是否有解 并且满足 .
(i) ,得 .
(ii) ,得 ,此时对称轴为 ,
若 ,只需 ,解得 或 . 若 ,需 且 ,无解.
综上, 或 .
10全析：
动态地去看这个问题,让 不断增大,起初 较小时, 只与 有两个交点.直到如图 (1) 的情况, 恰好与 相切,此时 ,可解得 ,此时 恰好与平行四边形 的边有三个公共点. 当 略微增大时, 与 相交,此时 与平行四边形 的边有四个公共点.
直到如图 (2) 的情况, 恰好与 相切,此时 ,时 恰好与平行四边形
的边有五个公共点,同样当 略微增大时, 与 相交,公共点的个数就变为六个.
继续增大 ,直到如图 (3) 的情况, 恰好过点 和点 ,此时 恰好与平行四边形 的边有四个公共点,此后 再大一点便只有两个交点了.
综上, 或 .
11全析：
讨论直角:
(i) 若 为直角,则 ,故 或 (舍去)
(ii) 若 为直角,则直线 的函数表达式为 ,故
(iii) 若 为直角,则直线 的函数表达式为 ,故 (舍去) 综上 或(12,4).
12全析：
仔细分析,我们发现只有给出矩形 的边长 ,其他图形才可以确定下来,故而我们不难发现,随着 的变化,点 的轨迹是一条定直线 ( 的中垂线),如图所示,那么当 时, 取最小值,此时易算得 ,故 .
三、解答题 (第 13 题 10 分, 第 14、15 题每题 15 分)
13全析：
(1)连接 为 中点, 直线 是 的切线.
(2) 为 中点, .
(3)连接 , ,易得 , , , ,
,由弦切角定理得 ,
,
.
14全析：
(1)由题得该二次函数对称轴为直线 ,开口向上, 当 时有最小值,当 或4 时有最大值. ,解得 .
(2)当 时, ,
① 当 ,即 时, ,
,解得 .
② 当 时, ,
,解得 ,均不符题意,舍去.
③ 当 时, ,
,解得 ,均不符题意,舍去.
④ 当 时, ,
,解得 .
综上, 或 .
(3) ,解得 ,
故 都在对称轴右侧, ,
均为整数, .
.
15全析：
(1)当 为直径时, ,易得 ,
为 中点, ,在 Rt 中, .
(2)① 为直径, , , , . 为 中点, .
②如图,作 交 延长线于点 为 中点,易得 , ,由平行可得 ,设 ,由①得 ,
在 Rt 中, .