北京101中学2024-2025学年高二（上）统考数学试卷（三）（含答案）

2024-2025学年北京101中学高二（上）统考数学试卷（三）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知直线：，：若，则实数( )
A. 或 B. C. D. 与
3.“”是“直线：和直线：垂直”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知为直线：上的动点，点满足，记的轨迹为，则( )
A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为 D. 是两条平行直线
5.已知实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值( )
A. B. C. D.
7.若圆锥曲线：的离心率为，则( )
A. B. C. D.
8.已知直线过点，且在轴截距是在轴截距的倍，则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
9.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.笛卡尔、牛顿研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法，其中正确的是( )
A. 该曲线关于轴对称
B. 该曲线关于原点对称
C. 该曲线不经过第三象限
D. 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上若，则直线的方程为______．
12.若直线与：交于，两点，则面积的最大值为______，写出满足“面积最大”的的一个值______．
13.已知抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于，两点，，的中点横坐标为，则 ______．
14.已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为______，若，则 ______．
15.已知双曲线：，请从以下四个条件中任选两个条件，使双曲线存在且唯一确定，并根据所选条件求双曲线的渐近线方程．
焦距为；
经过点；
焦点到渐近线的距离为；
离心率为．
你选择的两个条件是______，得到的双曲线的渐近线方程是______．
16.若直线被圆：所截的弦长不小于，则在下列曲线中：
与直线一定有公共点的曲线的序号是______写出你认为正确的所有序号
三、解答题：本题共1小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设过点的直线不与坐标轴垂直与椭圆交于不同的两点，，与直线交于点点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形求证：直线过定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：Ⅰ因为椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，
不妨设椭圆的方程为，
因为以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为，
所以且，
又，
联立，
解得，，，
则椭圆的方程为；
Ⅱ证明：不妨设直线的方程为，，，
令，
解得，
即，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
不妨设的中点为，
此时，
所以，
因为四边形为菱形，
所以点为的中点，，
则直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，
解得，
即，
不妨设，
此时，，
即，
所以直线的方程为，
即．
故直线过定点．
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