天津市西青区杨柳青一中2024-2025学年高二（上）第二次适应性数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年天津市西青区杨柳青一中高二（上）第二次适应性
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知数列，，，，，，，，则该数列的第项是( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点，且点到的距离为，则该抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
6.在和之间插入个实数，，使得，，，，成等比数列，则的值为( )
A. B. 或 C. D.
7.已知圆：，圆：，动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列，，，则数列的前项和为( )
A. B.
C. D.
9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于，两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.数列的前项和为，，则它的通项公式为______．
11.已知圆：与圆：相交，则两个圆的公共弦方程为______，则两圆的公共弦长为______．
12.在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为______．
13.已知直线：恒过点，为坐标原点点的坐标为______；当点到直线的距离最大的，直线的方程为______．
14.已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为______．
15.某个软件公司对软件进行升级，将序列升级为新序列，中的第项为，若的所有项都是，且，，则 ______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
为等差数列的前项和，已知，．
求数列的通项公式．
求，并求的最小值．
17.本小题分
在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点．
求证：；
Ⅱ求平面与平面所成的二面角的正弦值；
Ⅲ在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知过点的双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是．
求双曲线的方程；
若直线与双曲线交于不同的两点，，线段的中点在圆上，求实数的值．
19.本小题分
已知等差数列与正项等比数列满足，，，且是和的等差中项．
求数列和的通项公式；
求数列的前项和；
设，记的前项和若对于且恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点点为坐标原点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；
Ⅲ若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最大值．
参考答案
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16.解：为等差数列的前项和，，．
，
解得，，
数列的通项公式．
．
时，的最小值为．
17.证明：Ⅰ，是的中点，，
又平面，，
点，平面，
平面，．
解：Ⅱ如图，以为原点，，为，轴，
建立如图所示的坐标系，
，，，
，，
，，，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面所成的二面角的平面角为，
则，．
平面与平面所成的二面角的正弦值为．
Ⅲ在棱上存在一点，设，且，
，解得，
，，，
直线与平面所成角为，
，
解得，
存在点符合条件，且是棱的中点．
18.解：设双曲线的方程是，
则，解得，
所以双曲线的方程是，即．
将，代入消去，并整理得．
设，，线段的中点为，
则，，
所以，．
因为点在圆上，
所以解得．
19.解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，
解得，
所以数列的通项公式为；
又是 和的等差中项，
则，即，
解得，故，解得负值舍去，
所以数列的通项公式为；
由得，
数列的前项和
，
由知，，
所以，
则，
相减可得，，即，
所以，
所以不等式，可化为，
因为，
所以，
则，
又，
所以当时，，
当，时，，
所以当且时，，
所以的取值范围．
20.解：Ⅰ因为左顶点为，所以，又，所以．
又，所以椭圆的标准方程为．
Ⅱ设直线的方程为，化简得，
，
，，，
点为的中点，的坐标为
则，直线的方程为，令，
得点坐标为，
假设存在定点，使得，
则，即恒成立，
恒成立，，．
定点的坐标为．
Ⅲ，的方程可设为，
联立得点的横坐标为，
，
当且仅当，即时取等号．
时．取得最大值，最大值为．
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