江苏省常州一中2024-2025学年高一（上）段考数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省常州一中高一（上）段考数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.的值是( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B.
C. D.
6.已知，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知表示不超过的最大整数，集合，，且，则集合的子集的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 与表示同一个函数
B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 函数的值域为
D. 已知函数满足，则
10.已知，，下列选项正确的是( )
A. 若，则的最小值为
B. 若，则的最小值为
C. 若，则的最小值为
D. 的最大值为
11.已知关于的不等式，下列结论正确的是( )
A. 当时，不等式的解集为
B. 当时，不等式的解集可以表示为形式
C. 若不等式的解集恰为，则或
D. 若不等式的解集恰为，则且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则 ______．
13.已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的取值是______．
14.已知，设集合，集合，若，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
当时，求与；
当时，求实数的取值范围．
16.本小题分
设集合，集合．
若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围；
若中只有一个整数，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求的解析式；
在区间上，的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围；
求函数在区间上的最小值．
18.本小题分
两县城和相距，现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为对城与对城的影响度之和记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为统计调查表明垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为．
若垃圾处理厂建在圆弧的中点处，求垃圾处理厂对城和城的总影响度；
求垃圾处理厂对城和城的总影响度的最小值．
19.本小题分
已知有限集，，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
判断：集合是否是“完美集”，并说明理由；
、是两个不同正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于；
若为正整数，求所有的“完美集”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.，
14.
15.解：，
当时，，
所以，；
因为，分以下两种情况讨论：
当时，，
解得，
当时，由可得，
解得，
综上所述，实数的取值范围是或．
16.解：由“”是“”的必要不充分条件，得是的真子集，
又，，因此，解得，
所以实数的取值范围是
由，得或，
由中只有一个整数，得，因此，解得，
所以实数的取值范围是．
17.解：由，
则，
即；
在区间上，的图象恒在图象的下方，
即，恒成立，即，恒成立，
令，，其对称轴方程为，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，，故，
则有，即，实数的取值范围为；
，
则的对称轴为，
当时，在上单调递减，
故；
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
则；
当，即时，在上单调递增，
故；
综上所述，．
18.解：点在以为直径的半圆上，所以，
由，，可得，
由题意可得，
因为垃圾处理厂建在弧的中点处，
所以，
即所求总影响度为．
由知，
令，则，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，取得最小值，
此时，
所以垃圾处理厂对城和城的总影响度的最小值为．
19.解：不是完美集，理由如下：
由，，
则集合不是“完美集”．
证明：由，，则，当且仅当时取等号，
由题意可知，，
由题意可得，可得，
由，为正整数，，至少有一个大于．
解：不妨设，
由，得，
当时，，又由为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，只能，，则，
于是“完美集”只有一个，为．
当时，由，
即有，
又由，则，
故矛盾，所以当时不存在完美集，
综上所述，“完美集”为．
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