【期末突破】浙江省2024年七年级（上）期末压轴题（全）分类归纳集训 含解析

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【期末突破】浙江省2024年七年级（上）期末压轴题分类归纳集训
应用题型
1．海曙中学需要采购一批办公桌，甲、乙两家器材公司都愿成为这批办公桌的供应商．经了解：两家公司生产的办公桌的质量和单价都相同，即每张办公桌400元，经洽谈协商：甲公司给出的优惠条件是所有办公桌按单价打九折，但校方需承担1000元的运费；乙公司的优恋条件是每张办公桌原价不变，公司承担运费，设海曙中学需要采购x张办公桌．
(1)学校去甲公司购买办公桌所付的总费用为 元，学校去乙公司购买办公桌所付的总费用为 元（以上两空都用含x的代数式表示）；
(2)学校计划购买20张办公桌，去哪家器材公司购买更合算？
(3)求学校购买的办公桌数量为多少时，去甲、乙两家器材公司购买所需费用相同．
2．随着春节的临近，两款“欢庆新春”主题盲盒在市场上热销．经调研，学校周边甲、乙两家文具店里这两款网红盲盒的原价一致，款盲盒原价为12元/个，款盲盒的原价为16元/个，但两家店都推出了相应的促销活动：
甲商店：款盲盒打八折促销，款盲盒打九折促销．
乙商店：这两款盲盒单买都不打折，但推出了盲盒大礼包进行促销，每一个大礼包由3个款盲盒和2个款盲盒组成，大礼包定价为56元/个．
(1)若要购买款盲盒6个，款盲盒5个，参加哪家店的促销活动总价更优惠？优惠多少元？
(2)某学校701班和702班打算在班会课举行迎新主题联谊活动，计划购买款盲盒30个，款盲盒个，若选择到甲商店购买与到乙商店购买盲盒所需的金额相同，求的值．
(3)已知甲、乙两家店相隔不远，若你是701班的班长，负责此次活动所需盲盒的购买事项，请在（2）的基础上，直接写出最为优惠的采购方案．
3．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴专车两种网约年，收费标准见下表：
出租车 滴滴专车
起步价：14元（3公里以内包括3公里） 超公里部分：超过3公里：元/公里 起步价：17元（5公里以内包括5公里） 超公里部分：里程费：元/公里；时长费：元/分钟
（注：车费=起步价+超公里部分费用；滴滴专车超公里部分费用=超公里里程费+超公里时长费；滴滴专车平均时速为60公里/小时）
(1)如果乘车里程为8公里，请分别算出乘坐出租车和滴滴专车的费用；
(2)若从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴专车省元，求甲、乙两地间的里程数；
(3)若滴滴专车下单有优惠活动：超过5公里，超公里部分的费用打八折．某人发现，从甲地到乙地（超过5公里）乘坐两种车的费用相同，求甲、乙两地间的里程数．
4．某移动公司推出两款“套餐”，计费方式如下：
套餐类别 套餐一 套餐二
通话不超时且流量不超量 通话200分钟及以下，流量20GB及以下，各种费用月费共计69元． 通话250分钟及以下，流量30GB及以下，各种费用月费共计99元．
通话超时或上网超量 通话超时部分加收0.15元/分；流量超量部分加收2.5元/GB． 通话超时部分加收0.12元/分；流量超量部分加收2元/GB．
(1)若某月小明通话时间为300分钟，上网流量为，则他按套餐一计费需要的费用是______元；按套餐二计费需要的费用是______元；
(2)若上网流量为，是否可能通话时间相同，按套餐一和套餐二的计费也相等？请你作出判断并说明理由．
(3)为迎接新春佳节到来，移动公司针对两款套餐推出限时优惠活动：套餐一对通话超时和上网超量部分的费用打8折；套餐二月费从99元降到90元．小明认为：“当通话超过250分钟，流量超过时，两款套餐费用差额为一确定的值．”你认为小明的判断正确吗？如果正确，请求出这一确定的值；如果不正确，请说明理由．
5．综合与实践：
【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量x（只） 1 2 3 4 5 6 …
总高度h（cm） 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 …
【数学思考】
（1）观察这些表格中数据的规律，用含x的代数式表示h；
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度．
【解决问题】
（3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？
6．取号等候在生活中常常发生，如医院取药、银行办理业务、就餐等，大家都希望能尽可能减少等候时间．某市商业街有一家网红奶茶店，上午9：00开门营业时，恰好第20人完成自主取号．已知奶茶店给每位顾客的服务时间为2分钟，到中午12：00，有一位顾客正好完成取号，此时有50人在等候．（假设：相邻两位顾客到店的时间间隔相同；奶茶店为上一位顾客服务完成后，再为下一位顾客服务；每位取号的顾客都买并且只买一杯奶茶）
(1)求相邻两位顾客前来买奶茶的间隔时间．
(2)小滨在奶茶店等候时，在不远处的一家鸡排店下了一单，此时49号顾客刚拿到奶茶，小滨是58号，他迅速骑上电动自行车，以12千米/小时的速度赶到鸡排店，立即取好鸡排，他以9.6千米/小时的速度返回奶茶店，到店时恰好轮到他取奶茶，求此鸡排店到该奶茶店的路程．（列方程解应用题）
7．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如下左图），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷度是什么意思 电费是如何计算的 第一档与第二档又有什么关系？
表1：宁波市居民生活用电标准（部分修改）
电压等级 普通电价（元/度） 峰谷电价（元/度）
峰时电价 谷时电价
第一档 年用电量不超过度的部分
第二档 年用电量超过度但不超过度的部分
第三档 年用电量超过度的部分
【解读信息】
通过互联网查询后获得上表（如表1）．小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为度，那么峰时用电量就是度，由于小江家年用电量处在第一档，故9月份电费为： ．
第一档年用电量的上限为度，所以截至9月底小江家已经用电2760－581＝2179度．不难发现，第二档所有电价均比第一档提高0.05元/度，第三档所有电价均比第一档提高0.3元/度．
【理解信息】
(1)若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元．（精确到）
(2)若采用峰谷电价计费，假设某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成 元．（用含有m的代数式表示）
【重构信息】
(3)月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为．请根据上述对话完成下列问题：
①通过计算判断：截至月底小江家的年用电量是否仍处于第一档？
②月份谁家的用电量多，多了多少？
8．杭州市居民生活用天然气执行阶梯价格，具体如下表：
月用气量（单位：立方米） 价格（单位：元/立方米）
30以下（含30）
超出30且不超过50部分
超出50部分
注：不足1立方米记为1立方米．
冬季来临之前，居民小刘开始记录家里燃气使用情况，请根据小刘的记录解决问题：
(1)①10月份用气量为30立方米，需要交气费多少钱？
②11月份用气量为40立方米，需要交气费多少钱？
(2)12月份交了117元的气费，请计算他家12月份用了多少立方米的天然气．
(3)1月天气寒冷，小刘家开启燃气取暖，燃气量将会增加．小刘预估1月他家使用天然气的平均价格为元/，那么小刘家预估用气是多少立方米？
数轴动点问题
1．如图，数轴的单位长度为1，点A，B，C，D都在数轴上，且点A，B表示的数互为相反数．
（1）请在数轴上描出原点O的位置，并写出点A，C，D所表示的数．
（2）点P在数轴上，且．
①小温说：点P不可能在点A左侧．小温说得对吗？请说明理由．
②求所有满足条件的点P所表示的数．
2．已知点，，，在数轴上，（点在点的左侧），（点在点的左侧）．点，分别是线段，上的动点，记，两点之间的最小距离为，最大距离为．
(1)如图1，若点表示的数为，点表示的数为1，求，的值．
(2)如图2，若点表示的数为1，，求出此时点所表示的数．
(3)若，请直接写出的值（可用含的代数式表示）．
3．如图，已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，点C到点A和点B的距离相等，回答下列问题：
(1)点C表示的数是______．
(2)若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速移动，两点同时移动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间的距离．
(3)若点A以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速移动，点B以每秒一个单位长度沿数轴向左匀速移动，两点同时移动，求经过多长时间A，B两点距离为3个单位长度．
4．定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”．
(1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ．
(3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点．
①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？
②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值．
5．如图，在数轴上点A表示的数是，点B在点A的右侧，且到点A的距离是12；点 C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．
(1)点B表示的数是______；点C表示的数是______；
(2)若点P从点A出发，沿数轴以每秒8个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒．
①当P运动到C点时，点Q所表示的数是多少？
②当t为何值时，P、Q之间的距离为6？
6．如图（1），已知A，B为数轴上的两点，点O表示原点，点A表示的数为．动点C从A出发做匀速运动，动点D从B出发做匀速运动．

(1)若动点C向右运动，动点D向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整．
时间（秒） 0 1 2
C点在数轴上的位置所表示的数 _____
D点在数轴上的位置所表示的数 _____ 3 2
(2)若点D先出发2秒后，点C开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数．
(3)如图（2），若动点C，D以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点P以恒定速度和方向从点O出发运动．在运动过程中，如果点F为线段的中点，且，试求点P的运动方向和速度．
7．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数5，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数来表示．
例如：．
(1)求线段的长；
(2)以数轴上某点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，求点表示的数；
(3)若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，经过秒时，，求出的值．
角度探究问题
1．直线相交于点O，过点O作．
(1)如图（1），若，求的度数．
(2)如图（2），作射线使，则是的平分线．请说明理由．
(3)在图（1）上作，写出与的数量关系，并说明理由．
2．简答
(1)已知：如图1，点O为直线上任意一点，射线为任意一条射线．、分别平分和，则 ；
(2)已知：如图2，点O为直线上任意一点，射线为任意一条射线，其中，，求的度数；若，，其余条件不变，直接写出的度数；
(3)如图3，点O为直线上任意一点，是的平分线，在内，，，求的度数．
3．（1）如图①，是内的一条射线，分别平分．若，求．
（2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：如图①，若，则_______．
（3）已知直线相交于点O，若是外一条射线，且不与重合，分别平分，当时，求．（在备用图中画出示意图求解）
4．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为等差角．即若，则称和互为等差角．（本题中所有角都是指大于，且小于的角）
(1)若和互为等差角．当，则 ．当，则 ．
(2)如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点若与互为等差角，求的度数．
(3)再将纸片沿着对折（点在线段或上）使点落在点．如图，若点，，在同一直线上，且与互为等差角，求的度数．（对折时，线段落在内部）
5．综合与实践：利用折纸可以作出相等的角．如图，有长方形纸片，在上取一点O，以为折痕翻折纸片，点B落在点，以为折痕翻折纸片，点A落在点，分别连接．
(1)根据题意，____________，____________．
(2)记．
①如图1，若点恰好落在上，求的度数．
②如图2，折叠后的纸片间出现缝隙，点在的外侧，求的度数（用含有的代数式表示）．
③如图3，折叠后的纸片间出现重叠，点在的内部，求的度数（用含有的代数式表示）．
6．点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得．
(1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数；
(2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分，
①若，求的度数；
②若，则的度数是 ；
(3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数．
7．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”．例如：和都有公共顶点和一条公共边，所以这两个角是“共边角”．
【问题解决】：
（）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是______°，这两个“共边角”的平分线的夹角度数为______°；
（）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是直角，则这两个角的平分线的夹角度数为______°．
（）若分别平分“共边角”和，试猜想与的关系，并以图或图为例说明理由．
【知识迁移】：
（）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”．例如：和都有公共端点，所以这两条线段是“共端点线段”若两条“共端点线段”的长度分别为和，则这两条线段的中点之间的距离为____．
8．东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为．

(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，当点F，，在同一直线上（即）时，探究和的数量关系，并说明理由．
(3)在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数．
角的旋转问题
1．如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，以相同的速度从出发，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，都停止运动．
(1)猜想：__________，并说明理由；
(2)已知射线始终平分，射线在内，且满足与互余．
①当秒时，__________；
②在运动过程中，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
2．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线，在的内部，且，则是的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
(1)如图1，，，若是的内半角，则_________ ；
(2)如图2，已知， 将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．若是的内半角，求的值；
(3)把一块含有角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出的值．
3．如图1，在直线上取一点O，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点O逆时针转动，当与第一次重合时停止．
(1)如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数；
(2)如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由；
(3)如图2，当时，若直角三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 秒．（直接写出结果）
4．学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题．
信息1 如下图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至6的位置再逆时针旋转至12，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示）
信息2 学校作息时间表 第一节 8：00~8：40 第五节 13：00~13：40
第二节 8：50~9：30 第六节 13：50~14：35
大课间 9：30~10：00 第七节 14：45~15：25
第三节 10：00~10：40 第八节 15：35~16：15
第四节 10：50~11：35 体活课 16：25~16：55
(1)如图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为______度．
(2)已知某天上午第一节为数学课．
①请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为______．
②若在这节数学课中，小明发现某一时刻，时针与分针刚好垂直，则这个时刻左边电子表盘上显示的时间是什么时候？
(3)若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间．
5．数学实验课上，同学们探究角度之间的关系．
(1)将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分．
①当分别为和时，求的度数；
②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由．
(2)如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含α，β的代数式表示．
6．综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将一直角三角板的直角顶点放在直线上，，是三角板的两条直角边，三角板可绕点任意旋转，射线平分．当三角板绕点旋转到图1的位置时，，试求的度数；

(1)数学思考：请你解答老师提出的问题．
(2)数学探究：老师提出，当三角板绕点旋转到图2的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由；
(3)深入探究：老师提出，当三角板绕点旋转到图3的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由．
7．【综合与实践】
线段和角有很多相似之处，如都可以度量，都能进行大小比较等．小滨根据“角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形”，研究了一个问题：
【操作发现】如图，射线从出发，绕着端点以每秒的速度逆时针旋转，回到位置时，停止旋转．当射线旋转24秒时到达位置，继续旋转30秒，到达位置，若平分，求的度数．
【特例研究】在上述条件下，若射线从出发，继续旋转秒，问是否存在，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
8．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
(1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针方向旋转至图2的位置，求的度数；
(2)如图3，将图1中的三角板绕点O按每秒的速度逆时针方向旋转α度（）．
①若经过t秒后线段在的内部，且，求t的值；
②在三角板转动时，射线同时绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角板停止转动时，射线也停止转动．经过t秒直线恰好平分，请直接写出满足条件的t的值．
9．如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于）
(1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°；
(2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）
(3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数．
10．【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”例如，如图，，，则，称射线是射线的友好线；同时，由于，称射线是射线的友好线．
【知识运用】
(1)如图，，射线是射线的友好线，则为多少度；
(2)如图，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线、、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．请直接写出所有答案；
参考答案
应用题型
1．(1)；
(2)学校计划购买20张办公桌，去乙器材公司购买更合算
(3)学校购买的办公桌数量为25时，去甲、乙两家器材公司购买所需费用相同
【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，理解题意找到相等关系是解题的关键．
（1）根据协商方案列代数式求解；
（2）把分别代入（1）中的代数式，求解，再比较大小．
（3）根据“甲、乙两家器材公司购买所需费用相同”列方程求解．
【详解】（1）解：学校去甲公司购买办公桌所付的总费用为：元，
学校去乙公司购买办公桌所付的总费用为：（元，
故答案为：，；
（2）解：解：当时，
甲公司：，
乙公司：，
，
∴选择乙公司更合算
答：学校计划购买20张办公桌，去乙器材公司购买更合算；
（3）解：根据题意：，
解得：，
答：学校购买的办公桌数量为25时，去甲、乙两家器材公司购买所需费用相同．
2．(1)乙商店购买更优惠，优惠1.6元
(2)
(3)去乙商店购买10个盲盒大礼包，去甲商店购买10个款盲盒
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是找到题目中的数量关系，列出式子．
（1）根据总价=单价数量，分别计算出在甲、乙商店购买盲盒所需的费用，进行比较即可得出答案；
（2）先列出在甲商店购买盲盒所需的费用为，在乙商店购买盲盒时，所需的费用为，再根据“选择到甲商店购买与到乙商店购买盲盒所需的金额相同”列出方程，求解即可；
（3）由（2）得在甲商购买30个款盲盒和30个款盲盒的金额与在乙商店购买同数量的盲盒金额是相等的，另一方案是在乙商店购买10个大礼包后，在甲商店购买10个盲盒，由于甲商店单独购买盲盒比乙商店优惠，由此可得出最优惠的采购方案．
【详解】（1）解：在甲商店购买时，费用为：（元），
在乙商店购买时，则需要购买2个大礼包，再单独购买1个盲盒，费用为：（元），
，（元），
在乙商店购买更优惠，优惠1.6元．
（2）解：在甲商店购买盲盒时，费用为：，
，
在乙商店购买时则需要购买大礼包数量为：（个），单独购买盲盒数量为：（个），
在乙商店购买盲盒的费用为：，
由题意得，解得，
．
（3）解： 由（2）得，在甲商店购买30个款盲盒和30个款盲盒的金额与在乙商店购买的金额是相等的，费用为（元），
若在乙商店购买10个大礼包后，剩余的10个款盲盒到甲商店购买，则费用为：（元），
，
最优惠的采购方案是：去乙商店购买10个盲盒大礼包，去甲商店购买10个款盲盒．
3．(1)出租车：元；滴滴专车：元
(2)甲、乙两地间的里程数为15公里
(3)甲、乙两地间的里程数为公里
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题目所给的收费标准以及题目中的等量关系列出方程是解题的关键．
（1）根据题目所给的收费标准计算即可；
（2）设甲乙两地的里程数为，出租车的费用滴滴专车的费用，根据等量关系列出方程求解即可；
（3）设甲乙两地的里程数为，出租车费用滴滴专车费用，根据等量关系列出方程求解即可．
【详解】（1）解：出租车：（元）
滴滴专车：（元）
（2）解：由题意可知，甲、乙两地里程数超过5公里，则设甲、乙两地间的里程数为公里，
由题意得
解得
答：甲、乙两地间的里程数为15公里．
（3）解：设甲、乙两地间的里程数为公里，由题意得
解得
答：甲、乙两地间的里程数为公里．
4．(1)96.5；105
(2)当分钟时，套餐一和套餐二的计费相等，见解析
(3)正确，两款套餐费用差额为定值5元
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，分类讨论．
（1）根据表格分别计算套餐一个套餐二的费用，作答即可；
（2）设通话时长为t分钟，分类讨论：①，②，③，分别计算即可；
（3）设通话时长为m分钟，上网流量为，分别计算套餐一和套餐二的费用，然后作差即可求解．
【详解】（1）按套餐一计费需要的费用：（元）
按套餐二计费需要的费用：（元）
故答案为：；105；
（2）设通话时长为分钟，
①当时，由题意得，，
，不合题意，舍去；
②当时，由题意得，
，
解得，不合题意，舍去；
③当时，由题意得，
，
解得，符合题意．
综上所述，当分钟时，套餐一和套餐二的计费相等．
（3）设通话时长为分钟，上网流量为，由题意得：
套餐一优惠后费用：；
套餐二优惠后费用：；
费用差为，
两款套餐费用差额为定值5元．
5．（1）（2）这摞杯子的总高度为（3）一摞最多能叠22个杯子，可以一次性放进柜子里
【分析】本题考查数字类规律探究，列代数式，代数式求值．解题的关键是得到每增加一个碗，高度增加．
（1）根据表格可知：每增加一个碗，高度增加，列出代数式即可；
（2）把代入（1）中的代数式，求值即可；
（3）令，求出的值即可．
【详解】解：（1）由表格可知：每增加一个碗，高度增加，
∴；
（2）当时，，
∴这摞杯子的总高度为；
（3）当时，，
∴，
∴一摞最多能叠22个杯子，可以一次性放进柜子里．
6．(1)相邻两位顾客前来买奶茶的间隔时间为1.5分钟
(2)鸡排店到该奶茶店的路程为千米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）根据已知条件，上午9：00开门营业到中午，推出共营业3小时即分钟；根据奶茶店给每位顾客的服务时间为2分钟，推出180分钟可服务人；根据上午9：00开门营业时，恰好第20人完成自主取号，推出已经排队等候的需要服务的有20人，那么我们可以设相邻两位顾客前来买奶茶的间隔时间为，已知到中午，有一位顾客正好完成取号，此时有50人在等候，则推出关系式为，对其进行求解即可推出答案．
（2）根据已知条件，49号顾客刚拿到奶茶，小滨是58号，他赶到鸡排店再返回奶茶店，到店时恰好轮到他取奶茶，推出他往返的时间为分钟，即0.3小时，那么我们可以设小滨去鸡排店所用时间为，则返回奶茶店所用时间为；根据路程=速度时间，推出，对其进行求解即可推出小滨去鸡排店所用的时间；根据路程=速度时间，已知速度以12千米/小时的速度赶到鸡排店和前往鸡排店的时间，进而推出鸡排店到该奶茶店的路程；
【详解】（1）由题意可得，上午9：00开门营业到中午，共营业3小时，
即(分钟)，
∵奶茶店给每位顾客的服务时间为2分钟，
∴分钟可服务(人)，
∵上午9：00开门营业时，恰好第20人完成自主取号，
∴已经排队等候的需要服务的有20人，
设相邻两位顾客前来买奶茶的间隔时间为，已知到中午，有一位顾客正好完成取号，此时有50人在等候，
则，
解得：(分钟)，
故相邻两位顾客前来买奶茶的间隔时间为1.5分钟．
（2）由题可得，49号顾客刚拿到奶茶，小滨是58号，赶到鸡排店再返回奶茶店，到店时恰好轮到他取奶茶，
∴往返时间：(分钟)，即0.3(小时)，
设小滨去鸡排店所用时间为，那么返回奶茶店所用时间为，
，
解得：．
∴鸡排店到该奶茶店的路程为(千米)．
7．(1)
(2)
(3)①小江家月份的用电量必定超过第一档；②小江家用电量多，比小北家多用度．
【分析】（1）电价乘用电量即可得；
（2）用电量为1度，则有，即可得；
（3）①假设小江家月的用电量未超过第一档，即可求出该月最多支付电费，根据，即可得小江家月份的用电量必定超过第一档；②设小江家月份用电量为x度， 进行计算得，
即可得．
【详解】（1）解：（元），
故答案为：．
（2）解：用电量为1度，则有（元），
故答案为：．
（3）解：①假设小江家月的用电量未超过第一档，那么该月最多支付电费：
（元），
∵，
∴小江家月份的用电量必定超过第一档；
②设小江家月份用电量为x度，
，
解得，
（度），
即小江家用电量多，比小北家多用度．
【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系，列出一元一次方程，正确计算．
8．(1)①75元；②103元；
(2)他家12月份用了45立方米的天然气；
(3)小刘家预估用气是220立方米．
【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
（1）①用月用气量乘以价格即可； ②把30立方米气费加上超出30且不超过50部分的10立方米气费相加即可；
（2）设他家12月份用了x立方米的天然气，根据交了117元的气费得：，即可解得答案；
（3）设小刘家预估用气是y立方米，根据使用天然气的平均价格为元/得：，可解得答案．
【详解】（1）解：①∵（元），
∴10月份用气量为30立方米．需要交气费75元；
②∵（元），
∴11月份用气量为40立方米，需要交气费103元；
（2）∵（元），
∴12月份交了117元的气费，用气量小于50立方米，
设他家12月份用了x立方米的天然气，
根据题意得：，
解得，
∴他家12月份用了45立方米的天然气；
（3）设小刘家预估用气是y立方米，而天然气的平均价格为元/，
∴，
根据题意得：，
解得，
∴小刘家预估用气是220立方米．
数轴动点问题
1．（1）-2，1，-4；（2）①小温说得对，理由见解析；②0或4．
【分析】（1）根据题意，可得原点O在点A右侧两个单位长度上，据此求解即可；
（2）①小温说得对，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧，点左侧时，分别讨论即可；②分两种情况：当点在 之间时，当点在点右侧时，分别讨论即可．
【详解】解：（1）∵点A，B表示的数互为相反数，A，B在数轴上的距离是4个单位长度，
则，原点O在点A右侧两个单位长度上，
如下图示，
则点A，C，D所表示的数分别是：-2，1，-4；
（2）①小温说得对，理由如下：
如图1所示，
当点在点左侧时，
；
如图2所示，
当点在点右侧，点左侧时，
，
∵，，
∴
综上所述，点不可能在点左侧，小温说得对；
②如图3所示，
当点在之间时，
,
∴点所表示的数是0；
如图4所示，
当点在点右侧时，
，
，
∴，
∴
∴点所表示的数是4；
综上所述，所有满足条件的点所表示的数是：0或4．
【点睛】本题考查了数轴的性质，线段的运算，熟悉相关性质是解决本题的关键．
2．(1)，
(2)表示的数为或7
(3)或0
【分析】本题考查了一元一次方程应用以及数轴上动点问题．根据题意得出相等关系是解答本题的关键．
（1）根据数轴直接计算结果即可．
（2）分情况讨论，在的左侧，与线段有重合部分，在的右侧，列出方程计算结果即可．
（3）分情况讨论，线段与无重合部分和线段与有重合部分两种情况进行计算即可．
【详解】（1）解：，．
（2）解：①如图1，在的左侧，设表示的数为，则表示的数为，
由题意可得：，解得，此时表示的数为．
②如图2，
当线段与线段有重合部分则，不符合题意．
③如图3，
在的右侧，设表示的数为，则表示的数为，
由题意可得：，解得，此时表示的数为7．
表示的数为或7．
（3）解：线段与无重合部分时；
线段与有重合部分时，
或0．
3．(1)
(2)
(3)3秒或5秒
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用数轴表示有理数，数轴上两点的距离；
设点表示的数是，根据点到点，点的距离相等列方程求解即可；
先根据时间路程速度，求出运动时间，再根据路程速度时间求解即可；
分两种情况①运动后的点在点右边3个单位长度；②运动后的点在点左边3个单位长度；列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设点表示的数是，
根据题意得，
解得，
故答案为：．
（2）解：设运动的时间为秒，则点、点表示的数分别为、，
根据题意得，
解得，
当时，，
∴点表示的数是，
∴，
∴，两点间的距离是．
（3）解：设经过秒，两点距离为个单位长度，则点、点表示的数分别为、，
根据题意得或，
解得或，
∴经过3秒或5秒，两点距离为3个单位长度．
4．(1)不是
(2)3或6或9或18
(3)或4或10；②或8或10或13
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差，
（1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答；
（2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可；
（3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可；
熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）假设点P是线段的中点，
∴，
∴线段的中点不是该线段的“倍距点”，
故答案为：不是；
（2）当点C在线段上时，，
若，则，
若，则；
当点C在线段延长线上时，，则，则
当点C在线段延长线上时，，则；
故答案为：3或6或9或18；
（3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点，
∴点C表示的数为11，
①由题意得，，
∴，
若点为的“倍距点”，
则或，
即，解得或10；
或，解得（负舍）；
综上，的值为或4或10；
②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，
∴，
∵点为的“倍距点”，
∴则或，
即或，
解得或8或10或13．
5．(1)10，2
(2)①9；②或
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）先由求出点B表示的数为10，再设点C表示的数是x，列方程求出x的值即可；
（2）①由题意可知，点P表示的数是，点Q表示的数是，求出点P运动到点C时t的值，即可解决问题；
②当P、Q两点之间的距离为6时，则可以按点P与点Q在相遇前距离为6或相遇之后距离为6，分别列方程求解即可．
【详解】（1）∵，
∴点B表示的数是10，
设点C表示的数是x，
根据题意得：，
解得：，
∴点C表示的数是2，
故答案为：10，2．
（2）点P表示的数是，点Q表示的数是，
①当点P运动到点C时，
则，
解得：
当时，，
∴点Q表示的数是9．
②当P、Q两点之间的距离为6时，
则或，
解得：或，
答：当或时P、Q之间的距离为6．
6．(1)，；
(2)；
(3)点P向右运动，且运动速度为个单位/秒．
【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，利用表格得出点C，点D的运动速度，根据距离时间速度，求出距离，即可解题．
（2）本题考查一元一次方程的实际应用，设C点的运动秒后，两点相遇，根据点C的运动距离点D总的运动距离，建立方程求解，即可得到相遇时间，再推出点C的运动距离，即可解题．
（3）本题考查一元一次方程的实际应用，以及线段中点的定义，设点P的运动速度为个单位/秒，运动时间为秒，表示出，，，根据题意分以下两种情况讨论，①点P向右运动，②点P向左运动，根据以上两种情况通过建立方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，点C向右运动的速度为：个单位/秒，
当时间为2秒时，C点在数轴上的位置所表示的数为：，
点D向左运动的速度为：个单位/秒，
当时间为0秒时，点D在数轴上的位置所表示的数为：，
故答案为：，；
（2）解：由动点D从B出发可知，点B表示的数为，
设C点的运动秒后，两点相遇，
根据题意有：，
解得：，
C点运动的距离为，
两点相遇时的位置所表示的数为：；
（3）解：设点P的运动速度为个单位/秒，运动时间为秒，
下面分情况讨论：
①点P向右运动，
有，，，
点F为线段的中点，
，
，
，整理得，解得，
即点P向右运动，且运动速度为个单位/秒；
②点P向左运动，
有，
，
，整理得，解得（不合题意，舍去），
综上所述，点P向右运动，且运动速度为个单位/秒．
7．(1)8
(2)点表示的数是
(3)当点在的右边时，；当在的左边时，
【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，深入理解对折的意义和分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
（1）用点表示的数减去点表示的数就是线段的长；
（2）先求出对折后点表示的数，然后根据对折的性质求出点表示的数即可；
（3）分两种情况：当点在的右边时，当在的左边时，分别列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：点表示数，点表示数5，
；
（2）解：对折后，点在点的右边，且，
点表示的数是，
点表示的数是；
（3）解：点以每秒1个单位长度的速度向左运动秒，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动秒，
运动后表示的数是，
运动后表示的数是，
①当点在的右边时，
，，
，
，
；
②当在的左边时，，，
，
，
，
综上所述，当点在的右边时，；当在的左边时，．
角度探究问题
1．(1)
(2)见解析
(3)或，理由见解析
【分析】本题考查垂线，角平分线，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等等知识．
（1）根据垂直的定义进行计算即可；
（2）根据垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等可得答案；
（3）根据垂直的定义，平角的定义以及对顶角相等、同角的余角相等，分两种情况进行计算即可．
【详解】（1）解：∵．
∴，即，
∵，
∴；
（2）解：∵．
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即是的平分线；
（3）解：或，
理由如下：
①当在下方，如图，

∵，
∴，即，
∵．
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
②当在上方，如图，
∵，
∴，
∵．
∴，
∴．
2．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系是解答本题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到；
（2）根据，，，和平角的定义即可得到结论；
（3）设，则，，，由OD是的平分线，得到，根据已知条件列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：、分别平分和，
，，
，
，
，
，
，
．
（2），，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
（3）解：设，则，，，
是∠的平分线，
，
，
，
，
，
解得：，
．
3．（1）；（2）；（3）或
【分析】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是：
（1）首先假设，然后用表示，再根据，两条角平分线，推出即可；
（2）首先假设，然后用表示，再根据，两条角平分线，用表示即可；
（3）分三种情况讨论，第一种：在上，第二种：在下侧，之间，第三种：在之间，即可得到．
【详解】解：设，
则，
平分，平分，
；
（2）设，
则，
平分，平分，
，
故答案为：；
（3）①当在上，即在之间，
设，
则，
平分，平分，
；
②当在直线下方，且在之间时，
，
；
③当在直线下方，且在之间时，
由②得，，
；
综上所述，或．
4．(1)；或；
(2)的值为或；
(3)．
【分析】（）利用“等差角”定义即可求解；
（）由与互为等差角，分当；当时，两种情况即可；
（）由点、、在同一直线上，且与互为等差角，即可求解；
本题考查了角度和差及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想．
【详解】（1）∵和互为等差角，当，则，
∴当，，
∴或，解得：或，
故答案为：，或；
（2）∵与互为等差角，
当时，，
∴，
∵翻折得，
∴，
∵，
∴，
解得：，
当时，
，可得．
综上所述，的值为或
（3）∵点、、在同一直线上，且与互为等差角，
∴，，
∵，，
∴，
∴，得．
5．(1)，；
(2)①；②，③．
【分析】本题考查的是轴对称的性质，角的和差运算，平角的定义，熟记轴对称的性质是解本题的关键；
（1）由轴对称的性质可得答案；
（2）①由，，结合，可得，从而可得答案；②由，，可得；③由，，结合，可得答案．
【详解】（1）解：由折叠可得：
，；
（2）①如图，由折叠可得：，，
又，
，
，
②如图，
∵，
∴，，
∴；
③如图，
∵，
∴，，
∴，
∴．
6．(1)
(2)①；②
(3)或
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键．
（1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解；
（2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解；
（3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可．
【详解】（1）解：∵，
，
平分，
，
，
故答案为：；
（2）解：①
，
平分平分，
，
；
②，
，
平分平分，
，
，
故答案为：；
（3）解：当在内部时，如图：
平分，
，
，
，
平分，
；
当在外部时，如图：
平分，
，
，
，
平分，
，
综上可知，的度数是或，
7．（）或，或；（）或；（）选择图或图，猜想：，理由见解析；（）或．
【分析】本题考查了新定义，以及角平分线的有关计算，根据题意画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
（）分的角在的内部和外部两种情况求解即可；
（）分两种情况求解即可；
（）利用角平分线性质分图或图分别说明；
（）分点位于点间和点位于点外两种情况求解即可．
【详解】解：（1）解：如图，， ，
∴则，
∴；
如图，，，
∴，
∴；
故答案为：或，或；
（2）分别是，的平分线，，如图，
∵分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴；
如图，
∵分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：或；
（）我选择图：
猜想：．
理由如下：
∵分别平分和，
∴，，
∴，
，
；
我选择图：
猜想：．
理由如下：
∵分别平分和，
∴，，
∴，
；
（）当点位于点间时，如图，，，
∴，
∴；
当点位于点间外，如图，，，
∴，
∴；
故答案为：或．
8．(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查折叠的性质，角的和差，一元一次方程的应用，掌握分类讨论是解题的关键．
（1）根据折叠的性质解题即可；
（2）根据折叠的性质计算即可解题；
（3）分三种情况分别画图，列方程进行计算解题．
【详解】（1）解：由折叠可得：，，
∴；
（2）解：，理由为：
由折叠可得：，，
∴，
∴；
（3）如图1所示，由折叠可得：，，
∴
，
当时，，
解得；
如图3，，
当时，，
解得：；

如图4所示，，
当时，，
解得：；

综上所述，的度数为或或时，和中，当其中一个角是另一个角的3倍时．
角的旋转问题
1．(1)180，理由见解析
(2)①60；②，理由见解析
【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，余角的定义：
（1）根据题意可得，再由，即可求解；
（2）①根据题意可得，再由余角的定义，即可求解；②根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，再由余角的定义，可得，然后分别求出与的度数，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
根据题意得：，
∵，
∴；
故答案为：180
（2）解：①当秒时，，
∵与互余，
∴；
故答案为：60
②，理由如下：
如图，
根据题意得：，
∵射线始终平分，
∴，
∵与互余，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．(1)
(2)
(3)t的值为或30或90或
【分析】本题主要考查角的相关计算：
（1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数；
（2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值；
（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可．
【详解】（1）解：∵是的内半角，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由旋转性质可知：，
∴，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：，
∴α的值为；
（3）解：①如图4所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
②如图所示，此时是的半角，
由旋转性质可得：，
∴，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
③如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
④如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或30或90或．
3．(1)
(2)，理由见解析
(3)25.2或54
【分析】（1）因为和互余，，可得，所以，已知，可得的度数；
（2），因为，所以，即，可得与的数量关系；
（3）分在直线上方、不在直线上方两种情况讨论．
【详解】（1）解：和互余，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3）解：设旋转的时间为秒，
①在直线上方时，
，，
，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
解得：，
②不在直线上方时，
，，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：25.2或54．
【点睛】本题考查了角的计算，解一元一次方程，两个角互余，两个角互补，解题的关键是注意分类讨论．
4．(1)105
(2)①画图见详解；； ②8 时 04分
(3)电子表盘显示的时间是 时 分；
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟表角，角平分线的定义；
（1）根据时针和分针中间有三个半大格，计算即可；
（2）①根据题意画出图形，根据钟表读出时间即可求解；
②设时针与分针垂直时， 显示的时间是 8 时分，根据角度的和差进行计算即可求解；
（3）根据题意，分别画出图形，只有当分针超过分钟时，符合题意，进而根据指向，与点构成度，建立方程，即可求解．
【详解】（1）解：表盘上一大格的角度是，
如图1中为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时间是，
时针和分针中间有三个半大格，所成的夹角为 ；
故答案为：105；
（2）①在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置如图：

该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为
②解：设时针与分针垂直时， 显示的时间是 8 时分．
则，
解得，
依题意电子表盘面不足一分钟的部分不显示，
所以电子表盘显示的时间是 8 时 04分；
（3）解：如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；

设显示的时间是 12时分．则
解得：
∴电子表盘显示的时间是 时 分；
如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；则重合，
∴，不合题意，舍去；

如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角，则重合，
∴，不合题意，舍去；

如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；则重合，
∴，不合题意，舍去；

综上所述，电子表盘显示的时间是 时 分；
5．(1)①当时，；当时，；②当在内转动时，的度数保持不变；理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合．
（1）①先求出，根据角平分线定义得出，，再分别根据时，当时，求出结果即可；
②先求出，根据角平分线定义得出，，求出，即可得出答案；
（2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，，求出，得出．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
当时，，
则，，
∴；
当时，，
则，，
∴；
②当在内转动时，的度数保持不变；理由如下：
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：当在内转动时，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
6．(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的定义、余角的概念，邻补角的性质，掌握角平分线的定义、邻补角的性质是解题的关键．
（1）根据余角的概念求出，根据角平分线的定义求出，再根据邻补角的概念计算即可；
（2）仿照（1）的作法解答即可；
（3）根据角平分线的定义、邻补角的概念用表示出，结合图形用表示出，两式相加得到答案．
【详解】（1），，
，
平分，
，
；
（2）．
理由如下：，
，
平分，
，
；
（3）．
理由如下：平分，
，
①，
，
，
②，
①②，得．
7．操作发现：；特例研究：存在秒或秒时，使得
【分析】本题考查了一元一次方程的应用和角度计算，找到相等关系是解题的关键；
操作发现：根据“路程速度时间”计算求解；
特例研究：根据“”列方程求解．
【详解】解：操作发现：由题意得：
平分
特例研究：存在；，
或
解得：，或，
∴存在秒或秒时，使得．
8．(1)
(2)①秒；②秒，秒，秒
【分析】（1）由已知先求出的度数，由旋转的度数可以求出的度数；
（2）①根据，结合，然后列方程求解即可；
②分三种情况讨论，分别设未知数列方程，据此求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
由旋转可知，
∴；
（2）解：①由（1）得，
∵，
∵，
∴，
解得：秒；
②情况一：由（1）得，如下图，
延长，当直线恰好平分锐角，
∴，
∴，
解得：秒；
情况二：如下图，
当平分，
∴，
∴，
解得：秒；
情况三：如下图，
当平分，
∴，
∴，
解得：秒；
∴三角板绕点O的运动时间为5秒或20秒或35秒．
【点睛】本题考查了角的计算，图形的旋转，角平分线的定义及一元一次方程的应用，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
9．(1)100
(2)，
(3)
【分析】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据可得答案；
（2）先分别表示出，，然后根据，求解即可；
（3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴
；
故答案为：100；
（2）如图，
∵，，，
∴，，
∵，，
∴，；
（3）①当时，如图，
∵，
∴，，
∵，，
∴
；
②当时，如图，
∵，
∴，
，
∴
．
综上所述：的度数为．
10．(1)35°
(2)①存在，秒或30秒；②秒或秒或30秒或36秒
【分析】（1）根据“友好线”的含义即可完成；
（2）①分两种情况：与相遇之前，根据减去、旋转的角度的和等于列出方程即可；与相遇之后，根据、旋转的角度的和减去等于列出方程即可；②分相遇前与相遇后两种情况：相遇前又分两种情况：是的“友好线”；是的“友好线”；相遇后也分两种情况：是的“友好线”；是的“友好线”；根据“友好线”的含义即可求得t的值．
【详解】（1）解：∵射线是射线的“友好线”，且，
∴ ．
（2）射线与重合时，（秒）
①存在
当的度数是时，，，
有两种可能：
若在相遇之前，则，即，
；
若在相遇之后，则，即，
；
综上所述，当秒或30秒时，的度数是．
②相遇之前：
（I）如图1，
是的“友好线”时，则，
即，
；
（II）如图2，
是的“友好线”时，则，
即，
；
相遇之后：
（III）如图3，
是的“友好线”时，则
即，
；
（Ⅳ）如图4，
是的“友好线”时，则
即，
；
所以，综上所述，当秒或秒或30秒或36秒时，、、OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”．
【点睛】本题是材料阅读题，考查了角的运算，角的旋转定义，解一元一次方程等知识，读懂题目提供的材料，正确分类解决是本题的关键