5.7 三角函数的应用（单元教学设计）

三角函数的应用（教学设计）
一、【单元目标】
1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
2.知道三角函数是刻画周期性现象的基本数学模型，能根据实际问题的条件分析数据、画散点图、观察图象，会用三角函数建立数学模型解决实际问题，提高数学应用意识．
3.使学生感受学习三角函数的应用的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．
重难点
1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
2.知道三角函数是刻画周期性现象的基本数学模型，能根据实际问题的条件分析数据、画散点图、观察图象，会用三角函数建立数学模型解决实际问题，提高数学应用意识．
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
本单元的内容是关于三角函数的应用，主要以实例的方式呈现，实例的情景往往与数学有一定距离，学生可能不太了解，比如弹簧振子的运动原理、交变电流的工作原理等，导致学习中出现困难．为此，在教学时，可以通过播放视频简单介绍背景，让学生对相关情境有所了解，然后分析背景，了解其变化规律．将这些问题抽象为数学问题，是学习的第二个难点．第三个学习难点是港口海水深度随时间呈周期性变化问题．在教学中，一方面可以充分利用信息技术工具让学生直观感受函数图象所反映的实际意义，帮助学生理解题意．另一方面，要注重求解策略，即先分析思路，搭建框架，整体把握问题，再进是求解细节．
四、【教学设计思路/过程】
课时安排：约1课时
教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．
教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型．
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
环节一、情景引入，温故知新
情景1：前面我们学习了三角函数图象和性质，了解到三角函数是刻画现实世界中周期性现象的理想模型．今天这节课开始，我们研究三角函数的应用．对于某些实际问题，三角函数是比较理想化的模型；而对于有些实际问题，三角函数却只能是在一定范围内近似地刻画它的变化规律的模型．
问题1：你能举出物理或生活中具有周期性现象的实例吗
【破解方法】学生经过思考和讨论之后，举出一些物理或生活中的实例，教师引导学生进行补充、梳理，再过渡到今天要解决的两个实例．
周期性现象的例子包括以下几方面：
（1）匀速圆周运动，如表的指针的转动、筒车旋转、摩天轮旋转等．
（2）物理学中的周期性现象，如钟摆、弹簧振子运动、发电机产生的交变电流等．
环节二、抽象概念，内涵辨析
问题2：某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
请你查阅资料，了解振子的运动原理．
振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移狔随时间狋的变化规律可以用函数y=Asin（ωt+φ ）来刻画．根据已知数据作出散点图，如图所示．
【破解方法】由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为，因此；振子振动的周期为，即，解得；再由初始状态振子的位移为，可得，因此．所以振子位移关于时间的函数解析式为，．
【归纳新知】函数中，，，的物理意义
1、简谐运动的振幅就是．
2、简谐运动的周期．
3、简谐运动的频率．
4、称为相位．
5、时的相位称为初相．
问题3：如图（1）所示的是某次实验测得的交变电流（单位：A）随时间沶（单位：S）变化的图象．将测得的图象放大，得到图（2）
（1）求电流i随时间t变化的函数解析式；
（2）当时，求电流．
请你查阅资料，了解交变电流的产生原理．
【破解方法】由交变电流的产生原理可知，电流随时间的变化规律可用来刻画，其中表示频率，表示振幅，表示初相．
由图（2）可知，电流最大值为，因此；电流变化的周期为，频率为，即，解得；再由初始状态的电流约为，可得，因此约为．
所以电流随时间变化的函数解析式是：．
当时，；当时，；
当时，；当时，；
环节三：例题练习，巩固理解
题型一：三角函数模型在物理学中的应用
【例1】弹簧振子的振动是简谐振动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（ ）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
s 0．1 10．3 1．7 20．0 17．7 10．3 0．1
A．， B．
C． D．，
【答案】D
【解析】设简谐振动的解析式为，其中
由表格可知：振幅，周期，过点，
由周期，且，可得，
由过点，可得，即，则，
可得，
所以简谐振动的解析式为．
故选：D．
【对点训练1】如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0．5s，则线长约为（ ）cm．（精确到0．1cm）
A．12．7 B．25．3 C．101．3 D．50．7
【答案】B
【解析】因为线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是， ，且取，
又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用，
所以函数的最小正周期为，即，解得，
即线长约为cm．
故选：B．
【对点训练2】如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，下列结论正确的是（ ）
A．小球的最高点和最低点相距 B．小球在 时的高度
C．每秒钟小球往复运动的次数为 D．从 到 ，弹簧长度逐渐变长
【答案】D
【解析】由题意弹簧挂着的小球上下振动，它相对于平衡位置的高度由关系式确定，
则小球的最高点和最低点相距平衡位置都是，故小球的最高点和最低点相距，A错误；
小球在 时的高度，B错误；
由知，最小正周期，则频率为，
则每秒钟小球往复运动的次数为，C错误；
由题意知当时，单调递减，时，小球在平衡位置，
因为且，故，所以即递减，
时，小球在平衡位置以上位置，时，小球在平衡位置以下位置，
即小球此时从平衡位置以上位置逐渐向平衡位置以下位置运动，故弹簧长度逐渐变长，D正确，
故选：D
题型二：三角函数模型的实际应用
【例2】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面给出了某港口在某天几个时刻的水深．
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0：00 5．0 9：00 2．5 18：00 5．0
3：00 7．5 12：00 5．0 21：0 2．5
6：00 5．0 15：00 7．5 24：00 5．0
（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1．5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？
（3）若船的吃水深度为4m，安全间隙为1．5m，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0．3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
【解析】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点，
根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，
则由已知数据结合图象可得，，，，
故．
由表中数据可知在0：00，6：00，9：00，12：00，15：00，18：00，21：00，24：00等时刻的水深分别是
【对点训练3】0m，7．5m，5．0m，2．5m， 5．0m，7．5m，5．0m，2．5m， 5．0m；
在整点时的水深近似为；1：00，5：00，13：00，17：00为6．3m；
2：00，4：00，14：00，16：00为7．2m；
7：00，11：00，19：00，23：00为3．7m；8：00，10：00，20：00，22：00为2．8m．
（2）由，得，
画出的图象（如图），

由图象可得或．
故该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港．
（3）若，x时刻的吃水深度为，
由，得．
画出和的图象（如上图），
由图象可知当时，即6：42时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域．
【对点训练4】已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：
（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 1．5 1．0 0．5 1．0 1．5 1．0 0．5 0．99 1．5
经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象．
（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
【解析】（1）由表中数据知，所以．
由，，得．
由，，得，故，，
所以函数解析式为：．
（2）由题意知，当时才可对冲浪者开放，所以，
所以，所以，，
即，．
又因为，故可令
得，或，或．
所以在规定时间10：00至20：00之间，有5个小时可供冲浪者活动，即上午10：00至下午3：00．
题型三：三角函数在圆周中的应用
【例3】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，当时，筒车上的某个盛水筒位于点处，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足．已知筒车的轴心距离水面的高度为米，设盛水筒到水面的距离为（单位：米）（盛水筒在水面下时，则为负数）．

（1）将距离表示成旋转时间的函数；
（2）求筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒位于水面以下的时间有多长？
【解析】（1）由题意可知，由于，
所以得．
因为时，，
所以．
由，可求得，
从而．
所以，其中．
（2）当盛水筒位于水面以下时，应满足，即．
可列不等式，
解得．
因为，
所以当时，；
当时，；
当时，．
由，
可得盛水筒位于水面以下的时间有80秒钟．
【对点训练5】已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处．

（1）试确定在时刻时，点离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过100m的时间有多长？
【解析】（1）如图所示，以摩天轮所在面为坐标平面，以摩天轮的中心点为原点，轴和轴分别平行和垂直于地平面，建立直角坐标系，
点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动，在时间内所转过的角度为，可得与的夹角为，
于是，点的纵坐标．
因此点离地面的高度．
（2）根据题意，令，可得，
因为，所以，解得，
因此在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时间有．
环节四：小结提升，形成结构
问题4：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：
（1）利用三角函数刻画一个周期性现象的基本步骤有哪些 求解实际问题的方法给你怎样的启示
【破解方法】在回顾本节课所学内容和学习经历，感悟数学思想方法的基础上进行梳理总结，帮助学生积累解决实际问题的经验．
六、【教学成果自我检测】
环节五：目标检测，检验效果
1．健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg和60~89mmhg，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmhg），为时间（min）．给出以下结论：
①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内
③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为某人的血压满足函数式，
又因为，所以，即，
即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg，故①正确；
因为收缩压为mmhg，舒张压为mmhg，均超过健康范围，
即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；
对于函数，其最小正周期（min），
则此人的心跳为次/分，故④正确；
故选：C
2．车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F （单位：辆/分钟）与时间t （单位：分钟）的函数关系式为，则车流量增加的时间段是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，得，
因为，
所以当 时，函数 的单调递增区间为；
当 时，函数的单调递增区间为．
因为，
所以车流量在时间段 内是增加的，
故选：C．
3．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，现根据刘徽的《重差》测景一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°，且，则该球体建筑物的高度约为（　　）

A．100m B． C． D．
【答案】A
【解析】设球的截面圆心为O，连接OB，OC，设球的截面圆的半径为R，
由圆的切线的性质可得：，，
则，，
所以，可得，
即，
又因为，
，所以，
所以，
所以球的直径．
故选：A．
4．如图，已知某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中，，），那么12时温度的近似值（精确到1℃）是（ ）
A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃
【答案】C
【解析】由题意，，
，，
，又，所以，
所以，
时，（）．
故选：C．
5．海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（ ）（要考虑船只驶出港口需要一定时间）
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深（米） 5．0 7．5 5．0 2．5 5．0 7．5 5．0 2．5 5．0
A．至 B．至
C．至 D．至
【答案】C
【解析】由题意得，函数的周期为，振幅，所以，
又因为达到最大值，
所以由，可得，
所以，所以函数的表达式为，
令，解得，所以在可安全离港，
故选：C
6．已知某摩天轮的半径为，其中心到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
【答案】B
【解析】设游客到地面的距离为，设关于转动时间（单位：分钟）的函数关系式为，
则，，可得，
函数的最小正周期为，则，
当时，游客位于最低点，可取，
所以，，
由，即，可得，
所以，，解得，
因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有分钟．
故选：B．
7．
如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以为原点，以与水平平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，动点每秒钟逆时针转过，则盛水筒的高度与时间的关系是 ．

【答案】．
【解析】因为时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，
所以，
又因为动点每秒钟逆时针转过，
所以t秒后，则，
所以则盛水筒的高度与时间的关系是，
故答案为：
8．如图，一根绝对刚性且长度不变 质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 ．

【答案】
【解析】由函数的图象，可得，解得，所以，
又由，可得，解得
因为，所以，所以，
由区间的区间长度为，即区间长度为个周期，
当区间在同一个单调区间时，不妨设，可得
则，
因为，可得，当或时，取最小值；
当区间在不同一个单调区间时，不妨设，可得，
此时函数在上先增后减，此时，
不妨设，则
，
．
综上可得，最小值为．
故答案为：．
9．某一天时的温度变化曲线近似地满足，其中表示时间，表示温度，则这一天中时的最大温差为 度．
【答案】20
【解析】当时，，则当时，，当时，，
所以这一天中时的最大温差为度．
故答案为：20
10．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深（米） 7．5 5．0 2．5 5．0 7．5 5．0 2．5 5．0
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．
（1）根据以上数据，求出函数的表达式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4．25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该货船在一天内什么时间段能安全进出港口？
【解析】（1）由表格知，，则，，
函数的周期，则，即有，又，
即，而，则，
所以．
（2）货船需要的安全水深为米，则当时就可以进港，
由，得，解得，
即，而，因此当时，；当时，，
所以货船应在0时至4时或12时至16时进出港．
【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容．
环节六：布置作业，应用迁移
作业：教科书第249页习题5．7第1、2、3题．
【设计意图】巩固所学的利用三角函数刻画简谐运动的方法，提高学生应用意识，发展数学建模素养．
七、【教学反思】