2024-2025学年浙江省杭州市高三（上）诊断数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年浙江省杭州市高三（上）诊断数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < < 4}， = { | 2 2 3 > 0}，则 ∩ =( )
A. ( 2, 1) B. (3,4) C. ( 1,3) D. ( 2, 1) ∪ (3,4)
2.已知复数 满足( 1) = 1，则 =( )
A. 1 + B. 1 C. 1 + D. 1
3.“ > 0”是“ > 0， > 0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知 = (1,1)， = (1,0)，若( + ) ⊥ ，则实数 =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
5.已知奇函数 ( )在(0, +∞)上是减函数，则 ( )可以是( )
1 1 1 1A. + B. C. 2 + D. 2
2 2
6.已知{ }是等比数列，且 1 = 1， 2 3 = 8， 是数列{ }的前 项和，则下列结论正确的是( )
A. 4 = 16 B. 5 = 32 C. = 2 1 D. +1 = 1
7.已知△ 的三个顶点在半径为2的球 的球面上， = 1， = 2，∠ = 60°，则三棱锥 的
体积为( )
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
2 3 2 3

8.已知函数 ( ) = cos( )( > 0)在( , )上单调，在(0, )上存在极值点，则实数 的取值范围是( )
3 2 3
4 2 4 2 4
A. (1,2) B. (1, ] C. ( , ) D. [ , )
3 3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， 且 = 3， = √ 5， = √ 2，则下列结论正确的是( )

A. △ 是锐角三角形 B. =
4
3
C. △ 的面积为 D. 的中线长为√ 5
2
10.已知定义域为 的函数 ( )满足对于任意 ， ∈ ，都有 ( + ) = ( ) (1 ) + (1 ) ( )，且
(1) = 1，则下列结论正确的是( )
第 1 页，共 7 页
A. (2) = 0 B. ( )的图象关于点(1,0)对称
C. ( )的图象关于直线 = 1对称 D. (2025) = 1
11.已知直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， 1 = 1， 1与平面 和平面 1 1所成角均为30°，则
下列结论正确的是( )
A. 直线 与平面 1 1所成角为30° B. 直线 1与平面 1 1所成角为45°
√ 15 √ 6
C. 点 到直线 1的距离为 D. 点 到平面 1 1的距离为 3 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 是等差数列{ }的前 项和，且 3 + 4 = 17，2 2 + 5 = 21，则 10 = ______．
13.已知函数 ( ) = log ( > 0, ≠ 1)的图象经过点(2, 1)，则不等式 ( ) < (2 1)的解集为______．
14.如图，扇形 的半径为1，圆心角∠ = 120°， 是扇形弧上的动点，
矩形 内接于扇形，则矩形 面积的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { |0 < log2 ≤ 1}， = { | = 2
}.
(1)求 ∩ ；

(2)若 ( ) = 2 + 是奇函数，当 ∈ ∩ 时，求 ( )的值域． 2
16.(本小题15分)
已知单调递增的等比数列{ }满足 4 2 = 12， 3 = 8．
(1)求{ }的通项公式；
(2)设 = ( 4) ( ∈ )， 是数列{ }的前 项和，若不等式 ≤ + 10恒成立，求实数 的取值范
围．
17.(本小题15分)
1
已知函数 ( ) = √ 3 cos2 + ， ∈ ，设锐角△ 三个角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．
2
(1)若 = √ 7， ( ) = 1，2 = 3 ，求 ， 的值；

(2)将函数 ( )的图象向左平移 个单位后得到函数 ( )的图象，若 ( ) = 0， = ( , )， =
3
( , )，求 的取值范围．
第 2 页，共 7 页
18.(本小题17分)
如图，三棱锥 中， ⊥ ， = = ，∠ = ∠ = 60°， 为 中点，点 满足 = ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的大小；
√ 7
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，请求出 的值；
7
若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ，令 1 > 0，过点( 1, ( 1))作曲线 = ( )的切线，交 轴于点( 2, 0)，再过( 2, ( 2))
作曲线 = ( )的切线，交 轴于点( 3, 0)，…，以此类推，得到数列{ }( ∈
).
(1)证明：数列{ }为等差数列；
(2)若数列{ ( )}的前4项和为(
2 + 1)( + 1)，求实数 1的值；
1
(3)当 > 0时，若 ( ) ≥ 3 2 + + 1恒成立，求实数 的取值范围．
2
第 3 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】145
1
13.【答案】{ | < < 1}
2
√ 3
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)由题意得 = { |0 < log2 ≤ 1} = { |1 < ≤ 2}， = { | > 0}，
∴ ∩ = (1,2]；

(2)由题意得 ( ) = 2 + 的定义域为 ，且 ( )是奇函数， 2
1
∴ (0) = 1 + = 0，∴ = 1， ( ) = 2 ，经检验合题意， 2
1 3 15
∵ ( ) = 2 在(1,2]上单调递增， (1) = ， (2) = ， 2 2 4
3 15
∴当 ∈ ∩ 时， ( )的值域为( , ]．
2 4
16.【答案】解：(1)设单调递增的等比数列{ }的公比为 ，
由 4 2 = 12， 3 = 8，可得 1
3 1 = 12，
2
1 = 8，
1
解得 1 = = 2或 1 = 32， = (舍去)， 2
∴ = 2 ( ∈
)；
(2)由(1)可得 = ( 4) × 2 ( ∈ )，
∴ = ( 3) × 2 + ( 2) × 22 + + ( 5) × 2
1 + ( 4) × 2 ，
第 4 页，共 7 页
∴ 2 = ( 3) × 2
2 + ( 2) × 23 + + ( 5) × 2 + ( 4) × 2 +1，
4(1 2 1)
上面两式相减可得 = 6 + 2
2 + 23+. . . +2 1 + 2 ( 4) × 2 +1 = 6 + ( 4) × 2 +1，
1 2
整理得 = ( 5) × 2
+1 + 10，
所以对于任意的 ∈ ，不等式( 5) × 2 +1 + 10 ≤ ( 4) × 2 + 10恒成立，
即不等式( 2) + (10 4 ) ≥ 0对于任意的 ∈ 恒成立，
2 ≥ 0 8
∴ { ，解得2 ≤ ≤ ，
2 + 10 4 ≥ 0 3
8
∴实数 的取值范围是[2, ]．
3
√ 3 1
17.【答案】解：(1)由题意得 ( ) = 2 2 = sin(2 )，
2 2 6

∴ ( ) = sin(2 ) = 1，
6

∵ 0 < < ，∴ = ，
2 3
∵ 2 = 3 ，由正弦定理可得2 = 3 ，
9 2 3 1
∵ = √ 7，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = + 2 2 × × × = 7，
4 2 2
∴ = 2， = 3；

(2)由题意得 ( ) = ( + ) = sin(2 + ) = 2 ，
3 2
∴ ( ) = 2 = 0，

∵ 0 < < ，∴ = ，
2 4
3
∴ = + = cos( ) = cos(2 )，
4

0 < <
2 3 √ 2 3
而{ 3 ，故 < < ，∴ < 2 < ，∴ < cos(2 ) ≤ 1，
0 < < 4 2 4 4 4 2 4
4 2
√ 2
∴ 的取值范围为( , 1]．
2
18.【答案】解：(1)证明：连接 ，
∵ = ，∠ = 60°，
∴△ 是正三角形，得 = = ，
同理可得 = ，
∴ = ，又 = ，∴ ⊥ ，
∵ = ，∴ ⊥ ，
第 5 页，共 7 页
∵ ⊥ ，
1
∴ = = ，结合 ⊥ ，
2
得 2 = 2 + 2，
∴ 2 = 2 = 2 + 2 = 2 + 2，
∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 在平面 内，
∴ ⊥平面 ；
(2)由(1)得 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建
立如图所示的空间直角坐标系，
设 = √ 2，则 (1,0,0)， (0,1,0)， (0, 1,0)， (0,0,1)，
∵ = ，∴ ( 1,1,1)，
= (0,0,1)是平面 的一个法向量，
⊥
设 = ( , , )是平面 的一个法向量，则{ ，
⊥
2 = 0
即{ ，取 = 1，得 = (1,0,1)，
+ = 0

√ 2
∴ cos < , >= = ，
| || | 2
∴由题意知二面角为钝角，故二面角 的大小为135°；
(3)假设存在点 ，设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = = ( , 0, )，
∴ = + = ( 1 , 1, )，
∵直线 与平面 所成角的正弦值为√ 7，
7

1 1
∴ |cos < , > | = | | = =
| || | √ 2 2 √ 7
，
√ 2× (1+ ) +1+
第 6 页，共 7 页
1 3
∴ = 或 = (舍去)，
2 2
1
∴ = ．
2
19【. 答案】解：(1)证明：根据已知得曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程为 ( ) = ′( )( )，
所以 = ( )，
设 = 0，所以 = 1，那么 +1 = 1，所以

+1 = 1( ∈ )，
因此{ }是以 1为公差， 1 = 2为首项的等差数列；
(2)根据第一问已知可得 = 1( ∈ +1 )，
(
因此 +1
) 1= +1 = ，
( )
1
因此{ ( )}是以 为公比， ( 1)为首项的等比数列，
1 3( 4 1)
其前4项的和为 = 1 3( 2 + 1)( + 1) = ( 2 + 1)( + 1)，
1
因此实数 1 = 3；
1
3+ +1
(3)原不等式等价于 ≥ 2 2 在(0, +∞)上恒成立，
1
3+ +1 ( 2)( 22 +2 +2 2
)
设函数 ( ) = 2 ， > 0，则导函数 ′( ) = 2 3 ，
设函数 ( ) = 2 + 2 + 2 2 ， > 0，所以导函数 ′( ) = 2( + 1 ) < 0，
因此函数 ( )在(0, +∞)上递减，因此 ( ) < (0) = 0，
设 ′( ) < 0，所以 > 2；设导函数 ′( ) > 0，所以0 < < 2，
7 2
因此函数 ( )在(0,2)上递增，在(2, +∞)上递减，因此 ( ) ≤ (2) = ，
4
7 2
因此实数 的取值范围为[ , +∞)．
4
第 7 页，共 7 页