八上数学：2.7.3-二次根式的混合运算

(共30张PPT)
2.7 二次根式
第二章 实数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第3课时 二次根式的混合运算
学习目标
1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点）
2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点）
导入新课
问题引入
如果梯形的上、下底长分别为 cm, cm，高为 cm，那么它的面积是多少？
导入新课
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么
m(a+b+c)=ma+mb+mc；
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
复习引入
(ma+mb+mc)÷m=a+b+c
分配律
单×多
转化
前面两个问题的思路是：
思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
单×单
讲授新课
二次根式的混合运算
一
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
例1 计算：
解：
二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
归纳
解：
此处类比“多项式×多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
解：(1)原式
(2)原式
【变式题】计算：
有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
归纳
例2：计算：
解：
（1）
（2）
解法一：
（3）
你还有其他解法吗？
解法二： 原式=
解： (4)原式=
思考：还可以继续化简吗？为什么？
如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其它最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式.
提醒
二次根式的化简求值
二
问题：化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
解法一：
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
解法二：
原式=
把a=3，b=2代入代数式中，
原式
先代入后化简
先化简后代入
哪种简便？
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
方法总结
例3：已知 ，求
分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.
解：
变式训练：
已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.
解：
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
二次根式的应用
三
可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.
方法1：分割法
S1
S2
S3
S梯形ABCD=S1+S2+S3
通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，如图所示.
方法2：补图法
S1
S2
S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2
E
F
过点D作AB边的高DE，如图所示.
方法3：直接法
S梯形ABCD
E
归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．
例4：教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用.
分析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论.
解：贺卡的周长为
答：李欣的彩带够用.
本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．
方法总结
当堂练习
1.下列计算中正确的是（ ）
B
2.已知 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把 代入上式得
原式=
（1） ；
（2） ；
（3） .
解：
（1）
（2）
3.计算.
解：
（3）
＝10 .
4.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积.
解：由题意得，
即剩余部分的面积是
5.(1) 已知 ，求 的值；
解：x2-2x-3=(x-3)(x+1)
(2)已知 ，求 的值.
解：
6.阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：
方法二：
能力提升：

(1)请用两种不同的方法化简：
(2)化简：
解：(1)
课堂小结
二次根式混合运算
乘法公式
化简求值
分母有理化
化简已知条件和所求代数式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab