八上数学：4.2-一次函数与正比例函数

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4.2 一次函数与正比例函数
第四章 一次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握一次函数、正比例函数的概念.（重点）
2.能根据条件求出一次函数的关系式．（难点）
导入新课
情景引入
如果设蛤蟆的数量为x，y分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数解析式吗？
y=x
y=2x
y=4x
y=kx
讲授新课
一次函数与正比例函数
一
在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子
(2)你能写出y与x之间的关系吗？
y=3+0.5x
情景一：某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所
挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
情景二：某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.
(1) 完成下表：
汽车行使路程x/km 0 50 100 150 200 300
油箱剩余油量y/L
60
54
48
42
36
30
(2) 你能写出y与x的关系吗
y=60－0.12x
上面的两个函数关系式:
(1)y=3+0.5x
(2) y=60－0.12x
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
当b=0时，称y是x的正比例函数.
大家讨论一下,这两个函数关系式有什么关系
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx;
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
练一练
方法总结
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
典例精析
例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的 一次函数,也是x的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得y=πx2,
y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水，
因而 y=15+5x,
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
例2：已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.
(1)若它是一次函数，求m的值；
(2)若它是正比例函数，求m的值．
解：(1) 因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，
所以 m2－24＝1且m－5≠0，
所以 m＝±5且m≠5，
所以 m＝－5.
所以，当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24
＋m＋1是一次函数．
(2)若它是正比例函数，求 m 的值．
解：(2)因为 y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，
所以 m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.
所以 m＝±5且m≠5且m＝－1，
则这样的m不存在，
所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为
正比例函数．
【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．
变式训练
(1)若 是正比例函数，则m= ；
(2)若 是正比例函数，则m= ；
-2
-1
m-2≠0，
|m|-1=1，
∴ m=-2.
m-1≠0，
m2-1=0，
∴ m=-1.
例3：我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式.
解: y=0.03×(x-3 500) (3500(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.
解:设此人本月工资是x元，则
19.2=0.03×(x-3500),
x=4140.
答:此人本月工资是4140元.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
如图，△ABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
解: (1)∵BC边上的高AD也是BC边上的中线，∴BD= 在Rt△ABD中，由勾股定理，得
即
∴h是x的一次函数，且
能力提升
（2）当h= 时，求x的值.
（3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？
解:
（2）当h= 时，有 .
解得x=2.
（3）∵
即 ∴S不是x的一次函数.
当堂练习
1.判断:
(1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数. （ ）
(2)y=80x+100 ，y是x的一次函数. （ ）
√
√
2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m 时，y是x的一次函数；当m 时，y时x的正比例函数.
≠2
=-2
3.已知函数y=(m-1)x｜m︱+1是一次函数，求m值；
4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值；
解：根据题意，得∣m∣=1,
解得m=±1，
但m-1≠0,即m≠1,
所以m=-1.
解：根据题意，得m2-9=0,
解得m=±3，
但m-3≠0,即m≠3,
所以m=-3.
5.已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求
y与x之间的函数关系式.
解：依题意，设y-3与x之间的函数关系式为y-3=kx，
∵x=4时，y=7，∴7-3=4k，解得k=1.
∴y-3=x，即y=x+3.
6.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.
（1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时）之间的函数关系式；
（2）求收割完这块麦田需用的时间.
解：（1）y=0.5x；
（2）把y=10代入y=0.5x中，得10=0.5x.
解得x=20，即收割完这块麦田需要20小时.
　7.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其
速度每秒增加2 m/s．
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：
s）的函数解析式;
解：小球速度v关于时间t的函数解析式为v=2t.
（2）求第2.5 s 时小球的速度；
（3）时间每增加1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？
解：
(2)当t=2.5时，v=2×2.5=5(m/s).
(3)时间每增加1 s，速度增加2 m/s，速度增加量不随着时间的变化而变化.
一次函数
一次函数的概念
课堂小结
正比例函数的概念
函数关系式的确定