八年级下册：1.3.2-三角形三边的垂直平分线及作图

(共21张PPT)
1.3 线段的垂直平分线
第一章 三角形的证明
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图
1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能
够运用其解决实际问题.(重点)
2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.
学习目标
导入新课
复习引入
A
B
C
D
1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
2.线段的垂直平分线的作法.
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
讲授新课
三角形三边的垂直平分线的性质
一
合作探究
画一画：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
怎样证明这个结论呢
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.
思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂直平分线上
证明：连接PA，PB，PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC
（线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）.
∴PB=PC.
∴点P在BC的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
B
C
A
P
l
n
m
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
归纳总结
应用格式：
∵　点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴　PA =PB=PC．
A
B
C
P
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
做一做
尺规作图
二
做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A1
D
C
B
A
a
h
(D)
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
　　这样的等腰三角形有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．
如图所示，这些三角形不都全等．
(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
　　这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
例 已知：线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
N
M
D
C
B
a
h
A
作法：
1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB，AC.
△ABC就是所求作的三角形.
典例精析
1.已知直线l和其上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
P
●
l
试一试
A
B
C
P
已知：直线 l 和 l 上一点P．
求作：PC⊥ l ．
作法：
1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求 l 的垂线．
l
B
A
作法：
2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
(1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂直距离R为半径作圆，交直线 l 于A，B.
(2)分别以A、B为圆心，大于R的长
为半径作圆，相交于C、D两点.
(3)过两交点作直线 l ',此直线为
l 过P的垂线.
P ●
C
D
当堂练习
1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° 　　B．70°
C．60° D．50°
C
B
A
D
E
C
2.下列说法错误的是 ( )
A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点
B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边
C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等
D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
D
【解析】选D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称，等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴对称，一般三角形不是轴对称图形，D选项没有说明三角形的形状，所以D选项说法错误.
3.如图所示，在△ABC中，∠B＝22.5°,AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F,并与BC边上的高AE交于G.
求证：EG＝EC.
F
A
B
C
E
G
D
证明:连接AD.∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB,∴∠DAB＝∠B＝22.5°,
∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.
∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°,
∴AE＝DE.又∵DF⊥AC,
∴∠DFC＝∠AEC＝90°,
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°,
∴∠CAE＝∠CDF,
∴△DEG≌△AEC(ASA),
∴EG＝EC.
F
A
B
C
E
G
D
4.已知：线段a.
求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.
作法：
（1）作直线l.
（2）在直线l上任取一条线段DE.
（3）作线段DE的垂直平分线MN交DE于C.
（4）在射线CE上截取CA=a,
在射线CM上截取CB=a.
（5）连接AB.
△ABC就是所求作的三角形.
课堂小结
1.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.
A
B
C
P
a
b
c