八年级下册：1.1.2-等边三角形的性质

(共18张PPT)
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 等边三角形的性质
学习目标
1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角
形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;
2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问
题.(重点、难点)
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？
导入新课
情境引入
讲授新课
等腰三角形的重要线段的性质
一
A
C
B
D
E
A
C
B
M
N
A
C
B
P
Q
上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？
猜想：底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.
你能证明你的猜想吗？
例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等．
A
C
B
E
已知:
求证:
BD=CE.
如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线．
1
2
猜想证明
D
∠2= ∠ACB(已知),
∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
证明：
又∵∠1= ∠ABC，
∴∠1=∠2(等式性质)．
在△BDC与△CEB中，
∠DCB=∠ EBC（已知），
BC=CB（公共边），
　∠1=∠2（已证），
∴
△BDC≌△CEB（ASA）．
∴
BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
A
C
B
E
1
2
D
又∵CM= ，BN=　 ，
例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等．
BM=CN．
求证:
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN
是△ABC两腰上的中线．
证明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
∴CM=BN．
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，
∴△BMC≌△CNB（SAS）．
∴BM=CN.
A
C
B
M
N
例3 证明: 等腰三角形两腰上的高相等．
BP=CQ．
求证:
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是
△ABC两腰上的高．
证明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB，
∴△BQC≌△CPB（SAS）．
∴BP=CQ.
A
C
B
P
Q
还有其他的结论吗
A
C
B
D
E
1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
（1）如果∠ABD= ∠ABC ，
∠ACE= ∠ACB，
那么BD=CE吗 为什么？
（2）如果∠ABD= ∠ABC ，
∠ACE= ∠ACB 呢
由此你能得到一个什么结论
议一议：
如果∠ABD= ∠ABC ，
∠ACE= ∠ACB ， 那么BD=CE吗
过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
BD=CE
BD=CE
BD=CE
2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)如果AD= AC,AE= AB,
那么BD=CE吗 为什么？
A
C
B
D
E
BD=CE
(2)如果AD= AC,AE= AB,
那么BD=CE吗 为什么？
BD=CE
由此你能得到一个什么结论
(3)如果AD= AC,AE= AB,
那么BD=CE吗 为什么？
BD=CE
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
等边三角形的性质
二
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
怎样证明这一定理了？
定理证明
已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
A
C
B
证明：在△ABC中，
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
B
C
D
A
E
例4：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 =
(180°－30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°.
当堂练习
A
C
B
D
E
1.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.
12
2.如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.
证明：
∵△ACM和△BCN都为等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60°，
∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2，
即∠ACN＝∠MCB.
∵CA＝CM，CB＝CN，
∴△CAN≌△CMB(SAS)，
∴AN＝BM.
3.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.
C
B
O
D
A
E
解：
∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.
∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
∵ A、O、D三点共线，
∴ ∠DOB=∠COA=120°，
∴ △COA ≌△DOB(SAS).
∴ ∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F,
∵ ∠EFB=∠AFO，
∴ ∠AEB=∠AOB=60°.
F
变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出∠AEB的大小吗？
D
C
A
B
E
O
方法与前面相同，∠AEB=60°.
课堂小结
等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：
底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.