八年级下册：1.1.3-等腰三角形的判定与反证法

(共21张PPT)
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
1.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；（重点、难点）
2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明；（重点）
学习目标
复习引入
导入新课
问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？
等腰三角形的两底角相等(简写成 ‘‘等边对等角”)．
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成 ‘‘三线合一”)
问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？
题设：一个三角形是等腰三角形
结论：相等的两边所对应的角相等
思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等.
3cm
3cm
讲授新课
等腰三角形的判定
一
A
B
C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
互动探究
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
AB=AC
你能验证你的结论吗？
在△ABD与△ACD中，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC是等腰三角形.
结论验证：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简称“等角对等边”).
等腰三角形的判定定理：
在△ABC中，
∵∠B=∠C,
应用格式：
∴AB=AC(等角对等边).
A
C
B
总结归纳
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗
例1 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
典例精析
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
证明 ∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴ ∠ADE=∠AED.
∴△ADE为等腰三角形.
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.
A
B
C
反证法
二
C
A
B
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时, AB与AC要么相等,要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C,
但已知条件是 ∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，
因此AB≠AC.
小明是这样想的:
你能理解他的推理过程吗
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
总结归纳
用反证法证题的一般步骤
1. 假设: 先假设命题的结论不成立;
2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与
定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题
的结论正确.
例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC．
求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．
【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A,∠B,∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．
典例精析
证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
当堂练习
E
2
1
A
B
C
D
72°
36°
③如果AD=4cm，则
1.已知:如图,∠A=36°，
∠DBC=36°，∠C=72°,
①∠1= , ∠2= ；
②图中有 个等腰三角形；
BC= cm；
72°
36°
3
4
个等腰三角形.
④如果过点D作DE∥BC,
交AB于点E,则图中有
5
2. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.
A
B
C
D
E
O
证明:
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ ∠ABD =∠DBC= ，
∠ACE =∠ECB= .
∴ ∠DBC =∠ECB，
∴ △OBC是等腰三角形.
又∵ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠ABC =∠ACB，
3.求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知:
直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证:
l3与l2相交.
l1
l2
l3
P
经过直线外一点,有且只有一条直线
与已知直线平行
假设不成立
l3与l2 不相交
l3∥l2
l1∥l2
假设____________,那么_________.
这与“______________________________________ ________________”矛盾.
所以___________,即求证的命题正确.
证明:
因为已知_________,
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
课堂小结
等腰三角形的判定
等角对等边
有两个角相等的三角形是等腰三角形
反证法
先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.