八年级下册：1.1.4-等边三角形的判定

(共21张PPT)
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第4课时 等边三角形的判定及含30°角的
直角三角形的性质
学习目标
1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点)
2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点)
导入新课
观察与思考
观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？
思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些定理吗？
等边三角形的判定
一
讲授新课
A
B
C
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠ B,
∴ AC=BC.
∵ ∠ B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
证明：
定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，
∴∠A=60°(三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是60°.
A
C
B
60°
【验证】
等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定的条件
等边对等角
等角对等边
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
归纳总结
例1 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
典例精析
变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,
求证：△ADE是等边三角形.
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°.
∵ AD=AE,
∴ △ADE是等腰三角形
∴ △ADE是等边三角形.
又∵ ∠A=60°.
含30°角的直角三角形的性质
二
操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
30°
30°
你能说出所拼成的三角形的形状吗？
猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
30°
30°
30°
30°
合作探究
结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，
∠A=30°.
求证:BC= AB.
A
30°
B
C
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
猜想验证
30°
30°
∵ ∠ACB=90°, (已知)
∴∠ACD=90°，(平角意义)
在△ABC与△ADC中，
BC=DC，（作图）
　∠ACB=∠ACD，（已证）
AC=AC，（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AD=AB；
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知)
∴∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，(有一个角是60°的等腰三角
形是等边三角形)
∴BC= BD= AB． (等式性质)
30°
A
B
C
D
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD，
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：
在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°．
∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
推论：
归纳总结
C
B
A
D
例2 如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB
=15°, CD是腰AB上的高，求CD的长.
解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知)
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°，
∵∠ADC=90°，∴CD= AC=a．
（在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）
例3 已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．
求证:BD=
D
A
C
B
30°
证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°
∴BC= ∠B=60°．
∴∠BCD=30°，
∴BD=
∴BD=
1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.
9
当堂练习
2.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．
则AC=_____;BC=_______．
A
B
C
3
30°
6
3. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.
证明:
∵ AB=BC，
∴△ABC是等边三角形.
又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.
∴ ∠FDC=∠ABC=60°，
∴ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠EDF=∠FDC=60°，
又∵DF∥BA，
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC=　BD．
又∵BC= 　AB，
∴AB=BD．∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
4．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°, BC= AB．
求证：∠BAC=30°．
C
B
A
D
课堂小结
1.等边三角形的判定:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
三个角都相等的三角形是等边三角形．
2.特殊的直角三角形的性质:
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
3.数学方法：分类的思想．