八年级下册：1.3.1-线段的垂直平分线

(共27张PPT)
1.3 线段的垂直平分线
第一章 三角形的证明
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 线段的垂直平分线
1.理解线段垂直平分线的概念；
2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）
3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点）
学习目标
导入新课
问题引入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
观察： 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
●
●
l
A
A′
D
2
1
(A)
讲授新课
线段垂直平分线的性质
一
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
知识要点
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
探究发现
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.
(A)
(B)
B
A
P
l
活动探究
猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
　证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　　又 AC =CB，PC =PC，
　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　　∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
验证结论
微课--证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
总结归纳
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　)
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
典例精析
C
解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
B
10cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
逆
命
题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
线段垂直平分线的判定
二
想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论
（1）当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，
∴点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
∵PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，
∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直线PC是线段AB的垂直平分线，
此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
微课--线段垂直平分线的逆命题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
总结归纳
例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
你还有其他证明方法吗？
利用三角形的全等证明
证明：延长AO交BC于点D，
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，
∴△ABO≌△ACO（SSS）.
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．
∵OB＝OC ，OD＝OD ，
∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.
∴BD＝CD.
∴直线AO垂直平分线段BC.
试一试：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）.
∴ OE是CD的垂直平分线.
当堂练习
1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是
（　　　）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有　　　　种.
无数
3.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③
4.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
5.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴
点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB与CD相交于点O，
∴
AO=BO.
课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上