湖北省荆州市荆州中学2024-2025学年高一上学期12月初测试数学试题（含答案）

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荆州中学2024级数学试题
12.5
一、单选题
1. 已知集合，下列选项中均为的元素的是（）
（1）（2）（3）（4）0
A. （1）（2） B. （1）（3） C. （2）（3） D. （3）（4）
2. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（）
A. 或 B.
C. 或 D.
3. 下列函数中，不能用二分法求零点的是（）
A. B.
C. D.
4. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）
A. B.
C. D.
5. 已知，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
6. 已知，，则的值为（）
A B. C. D.
7. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，）
A. 35 B. 37 C. 38 D. 39
8. 若是奇函数，则a和b的值分别为（）
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、多选题
9. （多选）下列说法正确的是（）
A. 已知方程解在内，则
B. 函数零点是
C. 函数的图象关于对称
D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上
10. 已知奇函数与偶函数满足：（其中e为自然对数的底数），则下列结论中正确的是（）
A.
B.
C
D. 当，时，恒有成立
11. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 的对称中心为
B. 的值域为
C. 在区间上单调递增
D. 的值为
三、填空题
12. 用二分法求函数在区间上的零点，若要求精确度为0.001，则至少进行______次二分．
13. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是_____________.
14. 定义为，的最大值，函数的最小值为.函数，如果函数有三个零点，则实数的取值范围为__________.
四、解答题
15. （1）若关于的不等式的解集是，求不等式的解集；
（2）已知两个正实数，满足，并且恒成立，求实数的取值范围.
16. 求下列函数的值域：
（1）；
（2）
17. 近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足.且销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示
10 15 20 25 30
50 55 60 55 50
（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域
（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值.
18已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
19. 已知函数（，）
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并给予证明；
（3）求关于的不等式的解集.
荆州中学2024级数学试题
12.5
一、单选题
1.
【答案】D
2.
【答案】C
3.
【答案】B
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】A
7.
【答案】A
8.
【答案】B
二、多选题
9.
【答案】ACD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】ACD
三、填空题
12.
【答案】11
13.【答案】
14.
【答案】
四、解答题
15.
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集以及韦达定理即可求得，再解不等式即可.
（2）利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可.
【详解】（1）不等式的解集是，
，是方程的两个根，
由韦达定理得：，，
即，
解不等式可得：或，
故的解集为或
（2）恒成立，，
，
当且仅当，即时等号成立，
解得，
则实数的范围是：.
16.
【分析】（1）根据二次函数的性质可得，即可根据对数函数的单调性求解，
（2）根据对数的运算性质可得，即可利用换元法，结合二次函数的性质求解.
【小问1详解】
由于的定义域满足，故，
进而可得，，
故
【小问2详解】
，
由于，令，则，
故，
故当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
故值域为.
17.
【解析】
【分析】（1）根据表格中数据的增减性，结合函数的单调性，可得答案；
（2）根据分段函数的性质，结合基本不等式，可得答案.
【小问1详解】
由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数
所以选择模型②，
由，可得，解得
由，解得
所以日销售量与时间的变化的关系式为.
【小问2详解】
由（1）知：
所以
即
当时，
由基本不等式，可得，
当且仅当时，即时等号成立，
当时，减函数，
所以函数的最小值为，
综上，当时，函数取得最小值441元.
18.
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明即可；
（2）设，可知函数为增函数，由，可得出，且有，将问题转化为二次函数在上的最值问题，利用二次函数的基本性质求解即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，关于原点对称，
，
因此，函数为奇函数.
【小问2详解】
设，由于函数为增函数，函数为减函数，
所以函数为增函数，当时，则，
且，则，
令，.
所以，，.
19.
【解析】
【分析】（1）根据对数的真数大于0求解即可；
（2）根据奇偶性的定义即可判断；
（3）分类讨论，时的单调性，列不等式组即可.
【小问1详解】
根据题意，函数，
所以，解可得，
所以函数的定义域为；
【小问2详解】
由（1）得函数的定义域为，关于原点对称，
因为函数，
所以，
所以函数为奇函数；
【小问3详解】
根据题意，，即，
当时，有，解得，此时不等式的解集为；
当时，有，解得，此时不等式的解集为.
所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
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