天津市第一中学2024-2025学年高三上学期统练数学试卷9（PDF版，含答案）

天津市第一中学 2024-2025 学年高三上学期统练数学试卷 9
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2,3,4,5}， = {1,2,4}， = {0,3,4}，则 ∩ ( ) =( )
A. {2,4} B. {2,5} C. {1,2} D. {0,2,4}
2.对于任意实数 ， ，“ 2 + 2 > 2 ”是“ 2 > 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.下列四个函数中，既是偶函数又在区间(0, )上为增函数的是( )
2

A. = B. = 2 C. = D. = cos
2
1
4.已知函数 ( ) = 2 + ，则曲线 = ( )在点( , ( ))处切线的斜率为( )
4 2 2

A. + 1 B. 1 C. D. + 1
4 4 4 2
5.设 = 30.1， = 3， = log0.13，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
4
6.已知函数 ( ) = + ， ( ) = 2 + ，若 1 ∈ [2,3]， 2 ∈ [2,3]，使得 ( 1) ( 2)，则实数 的取值
范围是( )
11 1
A. ( ∞, ] B. ( ∞,0] C. ( ∞, ] D. ( ∞, 4]
3 3

7.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0)在(0, )有且仅有2个极小值点，且在( , )上单调递增，则 的取值
6 3 2
范围为( )
5 29 5 11 17 29 17 11
A. [ , ] B. [ , ] C. ( , ] D. ( , ]
2 6 2 3 6 6 6 3
8.在△ 中， = 4， 是 边中点，线段 长为√ 3，∠ = 120°， 是 边上一点， 是∠ 的
角平分线，则 的长为( )
2 4 8
A. B. C. 2 D.
3 3 3
9.某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛
.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{ 8 }， 1 = 1100，则 11大约为(参考数据：1.1 ≈ 2.1，
1.19 ≈ 2.4，1.110 ≈ 2.6，1.111 ≈ 2.9)( )
A. 1240 B. 1260 C. 1280 D. 1290
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二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
1+
10.已知 为虚数单位，则 = ______．
1 2
11.设 34 48 8 = 17，那么 = ______．
3
12.已知向量 ， 满足| | = 2， = (3,0)，则向量 在向量 方向上的投影向量的坐标为(1,0)，则| | =
______．
6 2
13.已知 > > 0， + = 1，则3 的最小值为______．
+
14.在△ 中，∠ = 60°，| | = 3，点 为 的中点，点 为 的中点，若设 = ， = ，则 可
1
用 ， 表示为______；若 = ，则 的最大值为______．
3
| + | + | 1|, > 0
15.已知函数 ( ) = { 2 .若 = 1，则函数 = ( )的零点为______；若函数 = ( )的 + 2, ≤ 0
最小值为 ，则实数 的值为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 = (2 ) ．
(1)求角 的大小；
(2)设 = 2， = 3．
①求 的值；
②求sin(2 + )的值．
17.(本小题12分)

设函数 ( ) = ( + )2 + √ 3sin(2 + )．
2
(Ⅰ)求函数 ( )的最小正周期；
(Ⅱ)求函数 ( )的单调递增区间及对称轴；

(Ⅲ)在锐角△ 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 = ，求 ( )的取值范围．
3
18.(本小题12分)
已知等比数列{ }的公比 > 1， 1 + 2 + 3 = 14， 2 + 1是 1， 3的等差中项.等差数列{ }满足2 1 = 2，
4 = 3．
(Ⅰ)求数列{ }，{ }的通项公式；
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(Ⅱ) = ( ∈ )，求数列{ }的前 项和；
(Ⅲ)将数列{ }与数列{

}的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前2 项和．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = + 1．
(Ⅰ)讨论 ( )的单调性；
1 1
(Ⅱ)当 = 1时，求函数 ( )的最小值，并证明∑ =2 > ( ≥ 2, ∈
)；

(Ⅲ)当 > 0时，若关于 的不等式 ( ) > 在区间(0,+∞)上有解，求 的取值范围．
20.(本小题12分)
给定数列{ }，若对任意 ， ∈ 且 ≠ ， + 是{ }中的项，则称{ }为“ 数列”；若对任意 ，
∈ 且 ≠ ， 是{ }中的项，则称{ }为“ 数列”．
(Ⅰ)设数列{ }的前 项和为

，若 = 2 1，试判断数列{ }是否为“ 数列”，并说明理由；
(Ⅱ)设数列{ }既是等比数列又是“ 数列”，且 1 = 8， 2 ≥ 16，求公比 的所有可能值；
(Ⅲ)设等差数列{ }的前 项和为 ，对任意 ∈
， 是数列{ }中的项，求证：数列{ }是“ 数列”．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
1 3
10.【答案】 +
5 5
1
11.【答案】
7
12.【答案】√ 7
13.【答案】4√ 6 + 10
1 1 13
14.【答案】 +
4 2 24
15.【答案】1 2√ 3 2或2
16.【答案】解：(1) ∵ = (2 ) ，即 + = 2 ，
∴由正弦定理，可得 + = 2 ，即sin( + ) = 2 ，
∵ = sin( ) = sin( + )，
1
∴ = 2 ，结合 > 0，化简得 = ，
2

又∵ ∈ (0, )，∴ = ．
3
(2)① ∵ = 2， = 3，∴ 2 = 2 + 2 2 = 7，可得 = √ 7(舍负)；

2 3 √ 21②根据正弦定理 = ，得 = = = ，
√ 7 7
2√ 7
根据 < ，可知 为锐角， = √ 1 sin2 = (舍负)，
7
√ 21 2√ 7 4√ 3 1
可得 2 = 2 = 2 × × = ， 2 = 2 2 1 = ，
7 7 7 7
4√ 3 1 1 √ 3 5√ 3
∴ sin(2 + ) = 2 + 2 = × + × = ．
7 2 7 2 14
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17.【答案】解：(Ⅰ) ( ) = sin2 + cos2 + 2 + √ 3 2
= 2 + √ 3 2 + 1

= 2 (2 + ) + 1，
3
2
所以函数 ( )的最小正周期为 = = ；
2

(Ⅱ)令2 ≤ 2 + ≤ 2 + ， ∈ ，
2 3 2
5
可得 ≤ ≤ + ， ∈ ，
12 12
5
所以函数 ( )的单调递增区间是[ , + ]( ∈ )；
12 12

令2 + = + ， ∈ ，可得 = + ， ∈ ，
3 2 12 2

所以函数 ( )的对称轴为 = + ，( ∈ )；
12 2

(Ⅲ)锐角△ 中， = ，
3
2
+ =
3
所以 0 < < ，解得 < < ，
2 6 2
0 < <
{ 2
2 4
所以2 + ∈ ( , )，
3 3 3

故 ( ) = 2 (2 + ) + 1 ∈ (1 √ 3, 1 + √ 3)，
3
所以 ( )的取值范围是(1 √ 3, 1 + √ 3)．
18.【答案】解：(Ⅰ)已知等比数列{ }的公比 > 1， 1 + 2 + 3 = 14， 2 + 1是 1， 3的等差中项，
2
则{ 1
+ 2 + 3 = 14 { 1
+ 1 + 1 = 14 ，
2( 2 + 1) = 1 + 3 2( 1 + 1) = 1 +
2
1
因为 > 1，
解得： 1 = 2， = 2，
则 = 2
，
又数列{ }是等差数列，且2 1 = 2， 4 = 3，
设其公差为 ，
2 1 = 4则{ ，
1 + 3 = 8

解得{ 1
= 2
，
= 2
所以 = 2 ；
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(Ⅱ)数列{ }的前 项和记为 ，
则 = 1 + 2 + ，

因为 =
= ，
2 1
1 2
所以 = 0 + 1+. . . + 1， 2 2 2
1 2
=
20
+ 1 + ， 2 2 1
1 1 2
则 = 1 + 2+. . . + ， 2 2 2 2

1 1 1 1 +2
两式相减有 = 1 + 1 + 2 + + 1 = 2 ， 2 2 2 2 2 2
+2
所以 = 4
2 1
；
(Ⅲ)因为 = 2 ， = 2 ，
设新数列为{ }，
因为数列{ }与数列{ }都是递增数列，且 = 2 1 = 2
， +1 = 2 = 2
+1，
又因为(2 ) 2 1 = 2 1 ≥ 0，
所以数列{ }的前2
项由{ }中的前 项和{ }中的前2
项构成，

所以∑2 =1 = 1 + 2 + + 2 = ( 1 + 2 + + ) + ( 1 + 2 + + 2 )
= (2 + 4 + 8 + + 2 ) + (2 + 4 + + 2 +1 2 )
= (2 +1 2) + (2 + 4 + + 2 +1 2 )
= 2 +1 2 + 4 2 +1 + 2 + 2
= 4 (2 3) 2 + 2 2．
19.【答案】解：(Ⅰ)易知 ( )的定义域为(0,+∞)．
1 1
可得 ′( ) = =

当 ≤ 0时， ′( ) < 0恒成立， ( )单调递减，
当 > 0时，
1
当0 < < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；

1
当 > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，

综上所述：当 ≤ 0时， ( )在(0,+∞)上单调递减；
1 1
当 > 0时， ( )在(0, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增；

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(Ⅱ)证明：当 = 1时， ( ) = + 1，
由(Ⅰ)可知 ( )在(0,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = ，
所以当 = 1时，函数 ( )的最小值为 ，
因为 + 1 ≥ ，
即 ≤ 1，
当 ≥ 2时，0 < < 1 < ( 1)，
即0 < < ( 1)，
1 1
此时 > > 0
( 1)
令 = ，
1 1 1 1
可得 > = ， ≥ 2，
( 1) 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 + + + > + + + + = 1 = ，
2 3 1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 1
则当 ≥ 2时， + + + > ，
2 3
1 1即∑ =2 > ( ≥ 2, ∈
)；

(Ⅲ)若关于 的不等式 ( ) > 在区间(0,+∞)上有解，
即 ( ) ( 1) < 0在(0,+∞)上有解，
1
因为 > 0，由(Ⅰ)知当 = 时，即( ) = 1 + ，
令 = ，
此时 ≥ 1 + ，
则 ( 1) < 0在 ∈ [1 + ,+∞)上有解，
令 ( ) = ( 1)，函数定义域为 ，
可得 ′( ) = 1，
当 < 0时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以当 = 0时， ( )取得极小值，极小值 (0) = 2 < 0，
又 (1) = 0， ( 2) = 2 + 3 > 0，
所以存在 0 ∈ ( 2,0)，使得 ( 0) = 0，
所以当 > 1或 < 0时， ( ) > 0，当 0 < < 1时， ( ) < 0，
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此时需满足1 + < 1，
即0 < < 1时，满足题意．
故 的取值范围为(0,1)．
20.【答案】解：(Ⅰ)因为 = 2
1，
当 ≥ 2时， = 1 = 2
1，
当 = 1时， 1 = 1 = 1也成立，
所以 = 2
1，
对任意 ， ∈ 且 ≠ ， = 2 1 × 2 1 = 2 + 2 = + 1，
所以{ }是“ 数列”；
(Ⅱ)因为 1 = 8， 2 ≥ 16，数列{ }是等比数列，
所以 = 8
1，且 ≥ 2，
由已知得 = 8 1 × 8
1 = 64 + 2也为数列中的项，
令 = ( ∈ )，得8 1 × 8 1 = 8
1，
即64 + 2 = 8 1，
即得8 + 1 = ，
所以 +1 = 8，
因为 ≥ 2且 + 1 ∈ ，
故 的所有可能值为2，2√ 2，8．
(Ⅲ)证明：设数列{ }的公差为 ，所以存在 ∈
，对任意 ∈ ， = ，
( 1)
即 1 + = 1 + ( 1) ， 2
当 = 0时，则 1 = 0，故 = 0，此时数列为“ 数列”；
( 1)
当 ≠ 0时， = ( 1) 1 + + 1，
2

取 = 2，则 = 1
1 + 2，所以 ≥ 1， 1 ∈ ，

1 ( 3)当 = 1时， = + 2均为正整数，符合题意，
2

当 1
( 1)
∈ 时， = ( 1) 1 + + 1均为正整数，符合题意，
2

所以 1 ≥ 1， 1 ∈ ，


设 1 = ， ≥ 1， ∈ ，即 = ，
1
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所以任意 ， ∈ 且 ≠ ， + = + ( + + 2) ，
显然 + + 2 ∈ ，所以 + 为数列中的项，
所以{ }是“ 数列”．
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