19.1.1 矩形的性质
【教学内容】
【教学目标】
知识与技能
1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
过程与方法
让学生动手操作如何将一个平行四边形变成一个矩形。
情感、态度与价值观
培养学生手脑共用的能力，养成学习习惯。
【教学重难点】
重点：矩形的性质．
难点：矩形的性质的灵活应用
【导学过程】
【知识回顾】
什么叫平行四边形？
2、平行四边形的性质有哪些？
3、平行四边形的判定方法有哪些？
【情景导入】
拿一个活动的平行四边形，轻轻拉动一个顶点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？当平行四边形移动到一个角是直角时，这时的图形是________形。
【新知探究】
探究一、
归纳：矩形定义：_________________________________叫做矩形(通常也叫_________)．
矩形的性质：
⑴定义： ，矩形具有平行四边形的一切性质。
⑵矩形性质定理1： ____________________________．
⑶矩形性质定理2：____________________________．
探究二、
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质
矩形的特殊性质
探究三、
例1 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
解： ∵ △AOB、 △BOC、 △COD
和△AOD四个三角形的周长和为86cm,
又∵AC=BD=13cm,
∴ AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD)
=86－4×13=34(cm)
即矩形ABCD的周长等于34cm。
…….
【知识梳理】
本节课你学习了什么知识？
【随堂练习】
1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（ ）．
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．
4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．19.3 正方形
【教学内容】课本119—120页内容。
【教学目标】
知识与技能
1、能说出正方形的定义和性质．
2、会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算．
过程与方法
经历探究正方形性质的过程，进一步发展学生的合理论证能力．
情感、态度与价值观
在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激发学生学习数学的热情．
【教学重难点】
重点：正方形的定义与性质．
难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题．
【导学过程】
【知识回顾】
1、什么是中心对称图形？
2、什么是轴对称图形？
3、矩形、菱形有什么性质？
【情景导入】
1、正方形是什么图形？
2、正方形的对称中心和对称轴分别是什么？
【新知探究】
探究一、
正方形的性质有哪些？
1、四条边都相等。
2、四个角都是直角。
3、对角线相等且互相垂直平分。
正方形的判定方法有哪些？
1、有一个角是直角的菱形是正方形
2、有一组领边相等的矩形是正方形。
探究二、
例1 如图，已知正方形ABCD,求∠ABD、 ∠DAC、 ∠DOC的大小。
解：∵ABCD是正方形
∴∠BAD=90°AB=AD ∠DOC=90°
又∵ ∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°
∴ ∠ABD=45°
同理∠DAC= 45°
探究三、
如何判断一个四边形是不是正方形？
…….
【知识梳理】
本节课你学习了什么知识？
【随堂练习】
1、求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
2、如图，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH．求证：四边形EFGH也是正方形．
3、已知正方形ABCD的边AB长为2厘米，求这个正方形的周长，对角线的长和面积。（长度精确到0.1厘米）
E
A
B
C
D
F
H
G 19.2.2菱形的判定
【教学内容】课本115—117页内容。
【教学目标】
知识与技能
探索菱形的判定定理；会用判定定理进行有关的论证和计算
过程与方法
培养学生的观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力
情感、态度与价值观
在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辩证唯物主义观点
【教学重难点】
重点： 菱形的判定定理的掌握和灵活运用
难点： 菱形的判定定理的掌握和灵活运用
【导学过程】
【知识回顾】
1、菱形的定义是什么？
2、菱形的判定方法1是什么？
3、求证四条边都相等的四边形是菱形。
【情景导入】
上节课我们学习了菱形的判定方法1，知道了四条边都相等的四边形是菱形。那么菱形有没有判定2呢？这节课咱们就来讨论这个问题：
【新知探究】
探究一、
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,当两根木条夹角成90度时，得到的是什么图形
探究二、
如何作一个两条对角线互相垂直的平行四边形。
1、作两条互相垂直的直线m,n，记交点为O.
2、以点O为圆心，适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA,OC
3、以点O为圆心，适当长为半径画弧，在直线n上截取相等的两条线段OB,OD
4、顺次连接所得四点，即得到一个对角线互相垂直且平分的平行四边形ABCD
和你的同伴交流一下，看看它是否也是一个菱形？
菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
探究三、
例5：已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC将于点E,F.求证：四边形AFCE是菱形。
证明：∵四边形ABCD是矩形。
∴AE∥CF
∴∠1=∠2
∵EF平分AC
∴OA=OC
又∵∠AOE=∠COF=90°
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF
∴四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形。
…….
【知识梳理】
本节课你学习了什么知识？
【随堂练习】
1.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等 的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形．
2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
3、如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB
交AC于点F.试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由。
A
B
C
D
E
F
⌒
1
⌒
2
O
A
B
C
D
E
F
1
2
3菱形的判定
【教学内容】课本113—115页内容。
【教学目标】
知识与技能
1、能说出菱形的定义和判定定理1．
2、能够根据菱形的定义和判定定理进行相关的论证和计算．
过程与方法
让学生在动手操作中理解菱形的判定定理1。
情感、态度与价值观
经历探究菱形判定条件的过程，通过操作、观察、猜想、证明的过程， 培养学生的科学探索精神．
【教学重难点】
重点：能够根据菱形的判定定理进行相关的论证和计算
难点：能够根据菱形的定义和判定定理进行相关的论证和计算
【导学过程】
【知识回顾】
1、菱形的定义 叫做菱形
2、菱形的性质
边：（1）菱形的两组对边 （2） 菱形的四条边
角：（1）菱形的两组对角分别 （2） 菱形的邻角
对角线： （1）菱形的两条对角线互相 （2）每一条对角线平分
【情景导入】
四条边都相等的四边形是菱形吗？
【新知探究】
探究一、
作一个四条边都相等的四边形
1、画两条等长的线段AB、AD。
2、分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交
点C。
3、连接BC、CD，就得到了一个四条边都相等的四边形
ABCD.
观察你所画的图形，它是菱形吗？
探究二、
例4 如图，在距形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点。求证：四边形DEFG是菱形。
证明：∵ABCD是距形。
∴AB=CD,AD=BC
又∵E,F,G,H是中点。
∴AE=BE=CG=DG
AH=BF=CF=DH
∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH
∴EH=EF=GH=GF
∴四边形DEFG是菱形。
…….
【知识梳理】
本节课你学习了什么知识？
【随堂练习】
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
几何语言：∵_____________,____________；∴四边形ABCD是菱形。
2、菱形的判定1：四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵_____________,_____________；∴四边形ABCD是菱形。
3、顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形 一定是 （ ）
Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．梯形
4、菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）
A．对角线相等． B．对角线互相平分．
C．对角线互相垂直． D．每条对角线平分一组对角．
5、四边相等的四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
6、菱形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7、求证：四条边都相等的四边形是菱形.（提示：先画一个菱形，写出已知、求
证，在证明
8、P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是 cm
A
B
C
D
E
F
G
H19.2.1菱形的性质
【教学内容】教材第112—113页内容。
【教学目标】
知识与技能
1、会归纳菱形的性质，并进行证明；
2、能运用菱形的性质定理和进行简单的计算与证明；
3．经历探索菱形性质的过程，培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。
过程与方法
让学生在猜想、观察中进行简单的计算与证明；
情感、态度与价值观
培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。
【教学重难点】
重点：菱形性质的运用。
难点：能进行简单的证明和计算。
【导学过程】
【知识回顾】
1、菱形的性质有哪些？
2.在菱形ABCD中，AB＝5， OA＝4，求这一菱形的两条对角线的长度和面积．
【情景导入】
你能根据菱形的边长和两边的夹角求出对角线的长吗？
【新知探究】
探究一、
例2.如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC，BD相交于点O，求这个菱形的对角线AC和 BD的长(结果保留根号）
解：∵ABCD是菱形
∴OB=OD,AB=AD
在△ABO和△ADO中
∵AO=AO,AB=AD,OB=OD
∴ △ABO≌△ADO
∴∠BAO=∠DAO=60°
在△ABC中
AB=BC, ∴∠BAO=60°
∴ △ABC为等边三角形。
∴AC=AB=2
在菱形ABCD中
∵AC⊥BD
∴△AOB为直角三角形
探究二、
例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分CD垂足为E。求：∠BCD的度数。
解：∵ AE垂直平分CD
∴CE=DE, ∠AED=∠AEC=90°,
在△ACE与 △ADE中
∵CE=DE, ∠AED=∠AEC=90°,
AE=AE
∴ △ACE≌ △ADE
∴AD=AC
又∵AD=CD
∴△ACD是等边三角形
∴∠ACD=60°
∴ ∠BCD=120°
…….
【知识梳理】
本节课你学习了什么知识？
【随堂练习】
1、菱形的周长为4，一个内角为60，则较短的对角线长为 （ ）
A．2 B． C．1 D．2
2、若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．1
3、如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC= （ ）
A．35° B．45° C．50° D．55°
4、如图3，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是__________________（只填一个你认为正确的即可）．
5、已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB = 6，∠BDC = 30，则菱形的面积为_______________．
6、四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4，BD=8，则这个菱形的面积是________．
7、菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：BD=4：3，那么对角线AC=______cm.
8、在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．
（1）求的周长；
（2）点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：．
B
A
D
C
O
B
A
D
C
O
E
A
Q
D
E
B
P
C
O19.2.1 菱形的性质
【教学内容】课本110—112页内容。
【教学目标】
知识与技能
1、让学生动手探索菱形的定义，以及和平行四边形的联系与区别；
2、会用菱形的性质进行有关的论证和计算；
3、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；
过程与方法
经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察 推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力.
情感、态度与价值观
从学生已有的知识出发，通过欣赏观察、动手操作、讨论交流、归纳总结，感受身边的数学，感受合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，同时感受到数学的和谐美、对称美，激发学习数学的激情，树立学好数学的信心。
【教学重难点】
重点：菱形的定义、性质及其应用。
难点：菱形性质的探求和应用
【导学过程】
【知识回顾】
平行四边形的性质有哪些？
2、矩形的性质是什么？
【情景导入】
把一张矩形纸片对折再对折，沿虚线剪开，可得到一个什么图形？
【新知探究】
探究一、
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形是特殊的平行四边形,它有不同于平行四边形的特殊性质：
①、菱形的四边相等；
②、菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；
③、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
由此我们可得到菱形的性质定理：
1、菱形的四条边都相等。
2、菱形的对角线互相垂直。
探究二、
例1 在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形。
解：在菱形ABCD中
∵ ∠B+ ∠BAD=180°
∠BAD=2∠B
∴ ∠B=60°
在菱形ABCD中
∵AB=BC（菱形的四条边相等）
∠B=60°
∴ △ABC是等边三角形
探究三、
为什么伸缩型的衣帽架和电动门要用到菱形？
伸缩自如，收拢后长短一样；如果换成平行四边形，则伸长的长度不能到最大，且伸缩不如前者灵活。
…….
【知识梳理】
本节课你学习了什么知识？
【随堂练习】
1、选择题：
（1）菱形具有而矩形不一定有的性质是 ( )
A、 对角线互相平分 B、四条边都相等
C、对角相等 D、邻角互补
（2）菱形具有而矩形也具有的是( )
A.四个角都相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线相等 D.对边平行且相等
3. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5， OA＝4，求这一菱形的两条对角线的长度和面积．
4、已知，菱形的一个内角为120度，且平分这个内角的一条对角线为8厘米，求这个菱形的周长。
5、菱形ABCD的面积为96㎝2对角线AC的长为16㎝，求另一条对角线BD的长。
（S=对角线乘积的一半）
A
B
C
D
D
A
B
O
C19.1.1 矩形的性质
【教学内容】
【教学目标】
知识与技能
1、掌握矩形的概念和性质。
2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3、渗透运动联系、从量变到质变的观点．
过程与方法
情感、态度与价值观
【教学重难点】
重点：矩形的性质．
难点：矩形的性质的灵活应用．
【导学过程】
【知识回顾】
矩形的性质有哪些？
1、---------------------------------
2、----------------------------------
【情景导入】
如果告诉你矩形的长和宽，你能求出对角线上的高吗？
【新知探究】
探究一、
例2 在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,BE⊥AC,垂足为E，试求BE的长？
解：在矩形ABCD在，∠ABC=90°
探究二、
例3 在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AE垂直且平分BO垂足为E，BD=15cm,求AC,AB的长。
解：∵ABCD是矩形，
∴AC=BD=15
∵AE垂直平分BO，
∴AB=AO=7.5
即AC的长为15cm，AB的长为7.5cm
…….
【知识梳理】
本节课你学习了什么知识？
【随堂练习】
1、在矩形的ABCD中，E是AD边上一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系。
2、如图在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，∠AOB=60°,AB=3.6,求AC与BD的长（精确到0.1）
3、如图，将矩形纸片折叠，先折出折痕(对角线)BD，再折使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长。
A
B
C
D
E
∟
A
B
C
D
O
E
O
A
B
C
D
A
B
C
D
G19.1.2 矩形的判定
【教学内容】
【教学目标】
知识与技能
1、能运用矩形的判定定理进行简单的计算与证明．
2、能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明．
过程与方法
让学生在合作中体会各种判定方法之间的内在联系。
情感、态度与价值观
通过逻辑推理，培养学生数学研究和发现的能力。
【教学重难点】
重点：能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明．
难点：能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明．
【导学过程】
【知识回顾】
1、矩形的两条邻边分别是5、2，则它的一条对角线的长是______．
2、已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
【情景导入】
如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD,和BCD组成的M,N分别为BC,AD边的中点，猜想：四边形BMDN是什么图形？
【新知探究】
探究一、
例5 如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD,和BCD组成的M,N分别为BC,AD边的中点，求证：四边形BMDN是矩形。
探究二、
例6 如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB交AG于点E，求证：四边形ADCE是矩形。
…….
【知识梳理】
本节课你学习了什么知识？
【随堂练习】
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）．
A．AB∥CD，AB=CD，AC=BD B．∠A=∠B=∠D=90°
C．AB=BC，AD=CD，且∠C=90° D．AB=CD，AD=BC，∠A=90°
2．已知点A、B、C、D在同一平面内，有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD， ④BC=AD，⑤AC=BD，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出（直接填写序号）_______3 个，能使四边形ABCD是矩形
3、已知：如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．
4．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．请回答问题并说明理由：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
A
B
C
D
M
N
证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形。
∴∠AOB=∠CDB=60°
又∵M,N是BC,AD边的中点。
∴BN⊥AD,DM⊥BC, ∠BDM=30°
∴∠DNB=∠DMB=90 °
∠MDN=∠ADB+∠BDM=90°
∴四边形BMDN是矩形(三个角都是直角的四边形是矩形）
A
B
C
D
M
N
证明：∵AB=AC,AD⊥BC
∴∠B=∠ACB,BD=CD
又∵AG是∠FAC的平分线，
∴AE∥BC
又∵ DE∥AB
∴四边形ADCE是平行四边形
∴AE=BD,AB=DE
∴AC=DE,AE=DC
又∵AE∥DC
∴四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
A
B
C
D
E
F
G19.1.2 矩形的判定
【教学内容】
【教学目标】
知识与技能
1、在对矩形性质认识的的基础上，探索并掌握矩形的判别方法；
2、 规范推理的书写格式；
3、应用矩形定义、判定等知识，解决简单的实际问题。
过程与方法
通过对逆命题的猜想，操作验证，逻辑推理，体现数学研究和发现的过程，学会数学思考的方法。
情感、态度与价值观
通过对逆命题的猜想，操作验证，逻辑推理，体现数学研究和发现的过程，学会数学思考的方法。
【教学重难点】
重点：矩形的判定。
难点：矩形的判定及性质的综合应用。
【导学过程】
【知识回顾】
矩形的性质是什么？
1、矩形的四个内角都是直角；
2、矩形的两条对角线相等。
【情景导入】
我们知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形。除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？
【新知探究】
探究一、
判定1：三个内角是直角的四边形是矩形。
已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°。 求证：四边形ABCD是矩形。
探究二、
判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
证明： ABCD中
AB=DC,BD=CA,AD=DA
∴△BAD≌△CDA(SSS)
∴∠BAD=∠CDA
∵AB∥CD
∴∠BAD +∠CDA=180°
∴∠BAD＝90°
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）
探究三、
例4 如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点， 且AE＝BF＝CG＝DH。
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AO=BO=CO=D0
∵ AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
∵OE+OG=OF+OF
即EG=FH
∴四边形EFGH是平行四边形（对角线相等的平行四边形是矩形）
…….
【知识梳理】
本节课你学习了什么知识？
【随堂练习】
1、我们把__________叫做矩形．
2、矩形是特殊的____________，所以它不但具有一般________的性质，而且还具有特殊的性质：（1）_________；（2）___________．
3、矩形既是______图形，又是________图形，它有_______条对称轴．
4、矩形的两条邻边分别是5、2，则它的一条对角线的长是______．
5、已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
B
C
D
E
F
G
H
O
A
