核心考点通关 第二章第3节 一元二次方程及其应用 学案（含答案）2025年中考数学一轮教材梳理（陕西）

第3节　一元二次方程及其应用
　　近6年没有单独考查,常常在二次函数综合题中求抛物线与x轴的交点时涉及.
【回归教材·过基础】
【知识体系】
【知识清单】
知识点1一元二次方程的一般形式　轮考
一般形式:
温馨提示:注意方程的右边为0,方程左边每项前面都是“+”,其中① 为二次项系数,② 为一次项系数
知识点2一元二次方程ax2+bx+c=0的解法　常考
解法
温馨提示:一元二次方程的求根公式为⑧ ,当Δ=0时,方程根的情况为⑨　
知识点3根与系数的关系　轮考
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑩ ,x1x2=
温馨提示:应用根与系数的关系的前提是原方程有实数根
知识点4一元二次方程的应用　轮考
一元二次方程的应用
【真题精粹·重变式】
考向1一元二次方程的根及其解法
1.若x=-2是关于x的一元二次方程x2-ax+a2=0的一个根,则a的值为 ( ) A.1或4 B.-1或-4 C.-1或4 D.1或-4 2.用配方法解一元二次方程2x2-3x=1,下列配方正确的是 ( ) A.x-2= B.x-2= C.x-2= D.x-2= 3.一元二次方程x2-3x=0的根是 . 4.解方程:x2-4x-1=0.
考向2根的判别式、根与系数的关系的运用
5.【北师大九上P43习题2.5T2(1)改编】若关于x的一元二次方程mx2-4x-1=0有两个实数根,则m的取值范围是 ( ) A.m≤4且m≠0 B.m≥-4且m≠0 C.m≤-4 D.m≥-4 6.设x1,x2是方程2x2-4x-3=0的两个根,则x1+x1x2+x2的值是 .
7.已知关于x的方程x2-2mx+m2-9=0. (1)求证:此方程有两个不相等的实数根. (2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x1+x2=6,求m的值.
考向3一元二次方程的实际应用
8.【北师大九上P57复习题T15改编】如图,在一块长为12 m、宽为8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意,以下方程正确的是 ( ) A.12×8-12x-8x+2x2=77 B.12×8-12x-2×8x=77 C.(12-x)(8-x)=77 D.(8-x)(12-2x)=77 9.如图,小明同学用一张长为11 cm、宽为7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒,他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形,将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm,根据题意,可列出方程: .
10.为了加快数字化城市建设,某市计划新建一批智能充电桩,第一个月新建了301个充电桩,第三个月新建了500个充电桩,设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,根据题意,可列出方程: . 11.某地区为贯彻“人才强村”战略,加大了农技培训经费的投入,该地区2022年投入3 000万元,预计2024年投入4 320万元.求该地区这两年投入农技培训经费的年平均增长率. 12.九年级(1)班的全体同学在自主完成学习任务的同时,彼此关怀,全班每两个同学都通过一次电话,互相勉励,共同提高.如果该班共有48名同学,每两名同学之间仅通过一次电话,那么全班同学共通过多少次电话呢 我们可以用下面的方式来解决问题. 用点A1,A2,A3,…,A48分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学……第48名同学,把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图所示的模型表示:
(1)第四个图中y的值为 ,第五个图中y的值为 . (2)通过探索发现,通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为 ,当x=48时,对应的y= . (3)若九年级(1)班全体女生相互之间共通话190次,则该班共有多少名女生
参考答案
回归教材·过基础
知识清单
①a　②b　③降次　④完全平方　⑤b2-4ac　⑥-m　⑦-n　⑧x=　⑨有两个相等的实数根
⑩-　
真题精粹·重变式
1.B　2.A　3.x1=0,x2=3
4.解析:∵x2-4x-1=0,∴x2-4x=1,
∴x2-4x+4=1+4,
∴(x-2)2=5,
∴x=2±,
∴x1=2+,x2=2-.
5.B　6.
7.解析:(1)证明:∵Δ=(-2m)2-4×(m2-9)=4m2-4m2+36=36>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
(2)∵x1+x2=6,
∴2m=6,解得m=3.
8.C　9.(11-2x)(7-2x)=21　10.301(1+x)2=500
11.解析:设该地区这两年投入农技培训经费的年平均增长率为m.依题意得3 000(1+m)2=4 320,
解得m1=0.2=20%,m2=-2.2(不合题意,舍去).
答:该地区这两年投入农技培训经费的年平均增长率为20%.
12.解析:(1)10;15.
(2)∵1=,3=,6=,10=,15=,
∴y=,
当x=48时,y==1 128.
故答案为y=;1 128.
(3)依题意,得=190,
化简,得x2-x-380=0,
解得x1=20,x2=-19(不合题意,舍去).
答:该班共有20名女生.