【高考题型分类突破】拓展培优01 三角函数中ω，φ的取值范围问题 2025年高考数学二轮专题复习 学案（含答案）

拓展培优(一) 三角函数中ω，φ的取值范围问题
　　三角函数是高考的必考考点，其中求ω，φ的取值范围是热门考点.考查内容主要是函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等知识的综合，需要考生能够熟练运用三角函数的基本性质和图象.根据近几年新高考的考查情况，此类问题多在单选题与多选题中出现，难度较大.
根据单调性求ω的取值范围
典例1　已知函数f(x)=cosωx+(ω<0)在，π上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　).
A.-，- B.-，0 C.-，- D.-，-
方法总结：
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)在[x1，x2]上单调递增(或递减)，求ω的取值范围的步骤：
(1)根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2-x1≤T=，求得0<ω≤；
(2)以单调递增为例，利用[ωx1+φ，ωx2+φ] -+2kπ，+2kπ(k∈Z)，解得ω的取值范围；
(3)结合第一步求出的ω的取值范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围.
将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)，纵坐标不变，得到函数f(x)的图象.已知函数f(x)在区间，上单调递增，则ω的取值范围为　　　　.
根据图象平移求ω的取值范围
典例2　将函数y=2sinωx-(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则ω的最小值为　　　　.
方法总结：
结合图象平移求ω的取值范围
(1)平移后的函数图象与原图象重合：平移长度为原函数周期的整倍数；平移前的函数f(x)=平移后的函数g(x).
(2)平移后的函数图象与新图象重合：平移后的函数f(x)=新的函数g(x).
(3)平移后的函数图象与原图象关于y轴对称：平移前的函数f(x)=平移后的函数g(-x).
(4)平移后的函数图象与原函数图象关于x轴对称：平移前的函数f(x)=平移后的函数-g(x).
(5)平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中.
将函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则ω的最小值为(　　).
A.2 B.3 C.4 D.6
根据零点求ω的取值范围
典例3　已知函数f(x)=2sinωx+·sinωx+(ω>0)在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是(　　).
A.， B.， C.， D.，
方法总结：
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若区间上至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值.
若f(x)=sinωx+(ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则ω的取值范围为(　　).
A.， B.， C.， D.，
根据最值和极值求ω的取值范围
典例4　已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0，0<φ<的图象过点(0，1)，且在区间(π，2π)内不存在最值，则ω的取值范围是(　　).
A.0， B.， C.0，∪， D.0，∪，
方法总结：
根据三角函数的最值或值域求解参数问题时，要灵活运用整体的思想，将问题转化到基本函数y=sin x，y=cos x，y=tan x上，借助函数图象的性质来处理会更加明了.注意对ω正负的讨论.
已知ω>0，函数f(x)=sinωx++3cosωx+在(0，2π)上恰有3个极大值点，则ω的取值范围为(　　).
A.， B.， C.， D.，
参考答案
拓展培优(一) 三角函数中ω，φ的取值范围问题
考向1　根据单调性求ω的取值范围
典例1　A
【解析】函数f(x)=cosωx+(ω<0)的最小正周期T=，∴π-≤×，即-2≤ω<0.当x∈，π时，ωπ+<ωx+<ω+，
依题意知-π+2kπ≤ωπ+<ω+≤2kπ，k∈Z，解得-+2k≤ω≤-+4k，k∈Z，又-2≤ω<0，∴k=0，∴ω∈-，-.
培优精练　0，∪，3
【解析】将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度得到函数y=sinx+的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的(ω>0)(纵坐标不变)，
得到函数y=f(x)=sinωx+的图象，
∵函数y=f(x)在区间，上单调递增，
∴≥-，即≥，解得0<ω≤4，　①
又+<ωx+<+，
∴k∈Z，解得-+4k≤ω≤+k，k∈Z，　②
由①②可得ω∈0，∪，3.
考向2　根据图象平移求ω的取值范围
典例2　6
【解析】将函数y=2sinωx-(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，得到y=2sinωx+-=2sinωx+-和y=2sinωx--=2sinωx--的图象，
因为两个函数图象的对称轴重合，所以----==kπ，k∈Z，
所以ω=6k，k∈Z，因为ω>0，所以当k=1时，ω取得最小值，最小值为6.
培优精练　B
【解析】由题意得sinωx-=sinωx-=sin ωx，则=2kπ，k∈Z，解得ω=3k，k∈Z，结合ω>0，得ω的最小值为3.
考向3　根据零点求ω的取值范围
典例3　B
【解析】因为sinωx+=sinωx++=sinωx++cosωx+，
所以f(x)=2sinωx+sinωx++cosωx+
=2sin2ωx++2sinωx+cosωx+
=sin2ωx+-cos2ωx++1
=sin2ωx-+1，
因为0≤x≤π，ω>0，所以-≤2ωx-≤2πω-，因为f(x)在[0，π]上恰有3个零点，所以≤2πω-<，解得≤ω<.
培优精练　A
【解析】∵ω>0，x∈(0，π)，∴ωx+∈，ωπ+，又函数f(x)=sinωx+(ω>0)在区间(0，π)上有且只有两个零点，∴2π<πω+≤3π，解得<ω≤.
考向4　根据最值和极值求ω的取值范围
典例4　D
【解析】∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0，1)，
∴f(0)=2sin φ=1，得sin φ=，
又0<φ<，∴φ=，∴f(x)=2sinωx+，
令ωx+=+kπ，k∈Z，得x=+，k∈Z，
∴当x=+，k∈Z时，函数f(x)=2sin(ωx+φ)取得最值.
∵f(x)在区间(π，2π)内不存在最值，
∴k∈Z，解得+k≤ω≤+，k∈Z，且ω>0，
∴ω的取值范围是0，∪，.
培优精练　C
【解析】f(x)=sinωx++3cosωx+=2sinωx+，
因为f(x)在(0，2π)上恰有3个极大值点，由0又函数y=sin x的极大值点满足x=+2kπ，k∈Z，所以<2ωπ+≤，又ω>0，解得<ω≤.