【高考题型分类突破】拓展培优02 平面向量数量积的最值与取值范围问题 2025年高考数学二轮专题复习 学案（含答案）

拓展培优(二) 平面向量数量积的最值与取值范围问题
　　平面向量数量积的最值与范围问题是一个热点也是一个难点.这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、取值范围.平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、取值范围问题的基本思想之一是数形结合.
定义法
典例1　已知O为平面直角坐标系的原点，向量=(1，3)，=(-2，-1)，=(1，
-2)，设M是直线OP上的动点，当·取得最小值时，=(　　).
A.1， B.-1，- C.(2，1) D.(-2，-1)
方法总结：
利用定义法求最值的一般步骤：(1)利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；(2)运用基本不等式、乘法公式、二次函数等相关知识求其最值；(3)得出结论.
在Rt△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=，C=，c=2，P是△ABC外接圆上的一点，则·(+)的最大值是(　　).
A.4 B.2+ C.3 D.1+
坐标法
典例2　如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC(包括端点)上一动点，则·的取值范围是(　　).
A.1，
B.1，
C.1，
D.，1
方法总结：
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系，并推导出关键点的坐标；(2)将平面向量的运算坐标化；(3)运用已学相关知识求解.
在四边形ABCD中，=2，且AD=CD=1，AD⊥CD，则·=　　　　.
基底法
典例3　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2，a=4，cos B=，动点M位于线段BC上，则·的最小值为(　　).
A.0 B. C.- D.-
方法总结：
(1)利用基底转化向量；(2)根据向量运算化简目标；(3)运用已学相关知识求解.
在平行四边形ABCD中，A=45°，AB=1，AD=，若=+x(x∈R)，则||的最小值为(　　).
A. B. C.1 D.
几何意义法
典例4　已知圆O是边长为2的正方形的内切圆，MN为圆O的一条直径，P为正方形四条边上的一个动点，则·的取值范围是　　　　.
方法总结：
题中向量具有典型几何意义时，考虑使用几何意义法：(1)结合条件进行向量关系推导；(2)利用向量之间的关系确定向量所表示的点的轨迹；(3)结合图形，确定临界位置，动态分析，求出范围.
已知平面向量a，b的夹角为30°，若|a|=2，则|b|+|a-b|的最小值为　　　　.
参考答案
拓展培优(二) 平面向量数量积的最值与取值范围问题
考向1　定义法
典例1　A
【解析】=+=(2，1)，M是直线OP上的动点，则可设=λ=(2λ，λ)，λ∈R，
则=-=(1-2λ，3-λ)，=+=(-1-2λ，2-λ)，·=5λ2-5λ+5=5λ-2+，所以当λ=时，·取得最小值，此时=1，.
培优精练　
A
【解析】如图，设Rt△ABC的外心为O，则O是AB的中点，
所以·(+)=2·=2(+)·=2+2·，
因为c=2，所以||=||=1，·=cos<，>，故·(+)≤2+2=4，当且仅当与同向时取等号.
考向2　坐标法
典例2　C
【解析】
如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0).设P(x，y)，则=(x，y).因为=(1，0)，所以·=x.
由题意知，圆O的半径r=.
因为点P在弧BC(包括端点)上，
所以1≤x≤+，所以·的取值范围是1，.
培优精练　3
【解析】
如图，建立平面直角坐标系，由题意可知，AD=DC=1，BC=2，则B(-2，0)，A(-1，1)，D(0，1)，
故=(1，1)，=(2，1)，
所以·=1×2+1×1=3.
考向3　基底法
典例3　C
【解析】由题意知·=(+)·=+·=+2||cos(π-B)=-2×||=||-2-，而0≤||≤4，
所以当||=时，·取得最小值，最小值为-.
培优精练　B
【解析】由=+x，可得||2=(+x)2=||2+x2||2+2x·
=1+2x2+2x×1×cos 45°=2x2+2x+1=2x+2+，
当x=-时，||2的值最小，|=，即||的最小值为.
考向4　几何意义法
典例4　
[0，1]
【解析】如图所示，考虑P是线段AB上的任意一点，=+，=+=-，
圆O的半径为1，由于P是线段AB上的任意一点，因此||∈[1，]，
所以·=(+)·(-)=-∈[0，1].
培优精练　
【解析】
设a=，b=，则a-b=，过点B作BH⊥OA于点H，A'为点A关于直线OB的对称点，如图.
由向量a，b的夹角为30°，得BH=OB，故|b|+|a-b|=||+||=||+||，
其最小值为点A'到OA的距离，所以|b|+|a-b|的最小值为.