【高考题型分类突破】拓展培优05 圆锥曲线中常用的二级结论 2025年高考数学二轮专题复习 学案（含答案）

拓展培优(五) 圆锥曲线中常用的二级结论
　　圆锥曲线是数学高考的重点之一，题目往往思维量大、计算烦琐，如果掌握一些常用的二级结论，便能简化思维过程，提高解题速度和准确度，节约做题时间，从而轻松拿高分.
焦点弦的问题
典例1　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且|PF1|=4|PF2|，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　).
A.， B.，
C.，1 D.，1
根据椭圆的定义结合已知条件解出|PF2|=，|PF1|=，再根据焦半径的取值范围及椭圆的离心率e∈(0，1)，即可解出离心率的取值范围.
典例2　已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为(　　).
A.16 B.14 C.12 D.10
方法总结：
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，涉及离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识，集数学知识、思想方法和解题策略于一体.解决此类问题的关键：(1)熟悉常用结论，包括结论的推导方法(常用结论见下)；(2)设直线、联立方程、设而不求及应用韦达定理或点差法.
1.焦半径公式——坐标式
(1)如图1，椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，点P(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则椭圆的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算：
①|PF1|=a+ex0；②|PF2|=a-ex0(记忆：左加右减).
(2)如图2，双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，点P(x0，y0)为双曲线上的任意一点，则双曲线的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算：①|PF1|=|ex0+a|；②|PF2|=|ex0-a|(记忆：左加右减).
2.焦半径公式——角度式
(1)椭圆的焦半径公式
如图，已知直线l过左焦点F1，且与椭圆交于A，B两点，设∠AF1F2=α，则焦半径|AF1|=；|BF1|=；+=；|AB|=|AF1|+|BF1|=.最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
(2)双曲线的焦半径公式
如图，已知直线l过左焦点F1，且与双曲线左支交于A，B两点，设∠AF1F2=α，则焦半径|AF1|=；|BF1|=；+=；|AB|=|AF1|+|BF1|=.
(3)抛物线y2=2px(p>0)的焦半径公式
|AF|=，|BF|=(F为抛物线的焦点，AB为焦点弦，α为直线AB的倾斜角，且点A在x轴上方，点B在x轴下方).
3.焦点弦分比定值定理
(1)椭圆的焦点弦所在直线被椭圆及短轴所在直线(y轴)所分比之和为定值-.
如图，直线l过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1，l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M(0，t)，设=λ1，=λ2，则λ1+λ2为定值-.
(2)双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线(y轴)所分比之和为定值.
如图，直线l过双曲线-=1(a>0，b>0)的左焦点F1，l交双曲线于A，B两点，交y轴于点M(0，t)，设=λ1，=λ2，则λ1+λ2为定值.
(3)过抛物线的焦点弦所在直线被抛物线及顶点处的切线(y轴)所分比之和为定值-1.
如图，直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，l交抛物线于A，B两点，交y轴于点M(0，t)，
　　设=λ1，=λ2，则λ1+λ2为定值-1.
1.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，点M在椭圆E外，线段MF1与E相交于点P，若点P的坐标为(x，y)，证明：|PF1|=a+x.
2.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的短轴长为2，离心率为.点P(x0，y0)为椭圆C上的一个动点，直线PF1与椭圆C的另一个交点为A，直线PF2与椭圆C的另一个交点为B，设=λ1，=λ2.
(1)求椭圆C的方程.
(2)证明：λ1+λ2为定值.
等角的性质
典例3　设椭圆C：+=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(3，0).
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程.
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
方法总结：
圆锥曲线中证明角度相等常用的定理有角平分线定理、余弦定理、斜率等.解决方法如下：
1.将角度问题转化为斜率问题.设直线方程为y=kx+m时要讨论斜率是否存在；设直线方程为ty+m=x时要注意该方程无法表示倾斜角为0°的直线.
2.利用等角性质定理：
(1)椭圆等角定理：过椭圆+=1(a>b>0)长轴上任意一点N(t，0)(t≠0)的一条弦的端点与对应点G，0的连线所成的角被焦点所在直线平分.
(2)双曲线等角定理：过双曲线-=1(a>0，b>0)实轴上任意一点N(t，0)(t≠0)的一条弦的端点与对应点G，0的连线所成的角被焦点所在直线平分.
(3)抛物线等角定理：过抛物线y2=2px(p>0)对称轴上任意一点N(a，0)(a>0)的一条弦的端点与对应点G(-a，0)的连线所成的角被对称轴平分.
如果题目符合等角性质定理的条件，那么对于客观题可直接运用，对于主观题，可结合定理正向、逆向思维，加快解题进程.
已知点A是圆C：(x-1)2+y2=16上的任意一点，点F(-1，0)，线段AF的垂直平分线交AC于点P.
(1)求动点P的轨迹E的方程.
(2)若过点G(3，0)且斜率不为0的直线l交(1)中轨迹E于M，N两点，O为坐标原点，点B(2，0).问：x轴上是否存在定点T，使得∠MTO=∠NTB恒成立.若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
切线、切点弦方程
典例4　(1)已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，A是抛物线C上的一点，且点A在第一象限，若|AF|=4，则抛物线C在点A处的切线方程为(　　).
A.x-y-3=0 B.2x-y-1=0
C.x-y-1=0 D.x-y-2=0
(2)已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的一点处的切线方程为y-x-1=0，A，B为C上两动点，且|AB|=6，则AB的中点M到y轴的距离的取值范围为(　　).
A.[2，+∞) B.，+∞
C.[3，+∞) D.，+∞
(3)已知P(x0，y0)(x0≠0)是抛物线C1：y2=-4x上一点，过点P作抛物线C2：y2=4x的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，H为线段MN的中点，F为C2的焦点，则(　　).
A.若x0=-1，则直线MN经过点F
B.直线PH⊥y轴
C.点H的轨迹方程为y2=x
D.∠PFM=∠PFN
(1)设A(x1，y1)，先根据抛物线的定义解出A点坐标；接下来的思路有两条：一是运用抛物线上的点的切线方程结论直接求解；二是根据导函数的几何意义求出切线斜率，由点斜式写出方程.
(2)思路一：根据抛物线上的点的切线方程结论，求得p，接着设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，表示出点M到y轴的距离d，然后利用抛物线的定义，将其转化为两条焦半径的和，结合图形易得d≥2，从而得解.思路二：通过求导数，设切点，求出p=2.后同思路一.
(3)利用抛物线上的点的切线方程结论，先表示出切线方程，联立方程，得直线MN的方程为y0y=2(x0+x)，解得y=，从而得P，，可判定A，B；再由点H，，可得轨迹方程，判定C；由向量的坐标运算得cos∠PFM==，cos∠PFN=，判定D.
方法总结：
1.椭圆与切线
(1)点M(x0，y0)在椭圆+=1(a>b>0)上，过点M作椭圆的切线，切线方程为+=1.
(2)点M(x0，y0)在椭圆+=1(a>b>0)外，过点M作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为+=1.
(3)点M(x0，y0)在椭圆+=1(a>b>0)内，过点M作椭圆的弦AB(不过椭圆中心)，分别过A，B作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为+=1.
2.双曲线与切线
(1)点M(x0，y0)在双曲线-=1(a>0，b>0)上，过点M作双曲线的切线，切线方程为-=1.
(2)点M(x0，y0)在双曲线-=1(a>0，b>0)外，过点M作双曲线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为-=1.
(3)点M(x0，y0)在双曲线-=1(a>0，b>0)内，过点M作双曲线的弦AB(不过双曲线中心)，分别过A，B作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为-=1.
3.抛物线与切线
(1)点M(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)上，过点M作抛物线的切线，切线方程为y0y=p(x+x0).
(2)点M(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)外，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为y0y=p(x+x0).
(3)点M(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)内，过点M作抛物线的弦AB，分别过A，B作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为y0y=p(x+x0).
1.与抛物线x2=2y和圆x2+(y+1)2=1都相切的直线的条数为(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知直线y=x+m与抛物线C：y2=8x相切于点P，过P作两条斜率互为相反数的直线，这两条直线与C的另一个交点分别为A，B，直线y=2x-4与C交于M，N两点，则(　　).
A.m=4
B.线段AB中点的纵坐标为-4
C.直线AB的斜率为-1
D.直线PM，PN的斜率之积为4
3.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点P-1，-分别作直线l1，l2，直线l1与椭圆相切于第三象限内的点G，直线l2交椭圆C于M，N两点，若|PG|2=|PM|·|PN|，判断直线l2与直线OG的位置关系，并说明理由.
参考答案
拓展培优(五) 圆锥曲线中常用的二级结论
考向1　焦点弦的问题
典例1　D
【解析】(法一)因为|PF1|=4|PF2|，|PF1|+|PF2|=2a，所以4|PF2|+|PF2|=2a，故|PF2|=，|PF1|=.
因为|PF1|∈[a-c，a+c]，所以a-c≤≤a+c，
即1-e≤≤1+e，解得e≥，又因为椭圆的离心率e∈(0，1)，所以e∈，1.
(法二)设点P的坐标为(x0，y0)，因为|PF1|=4|PF2|，所以a+ex0=4(a-ex0)，整理得e=，因为0典例2　A
【解析】设l1的倾斜角为θ，不妨设θ∈，那么|AB|==，因为l1⊥l2，所以l2的倾斜角为θ++或θ-，|DE|==，求|AB|+|DE|的最小值，即求4+在0，上的最小值，因为4+=，所以令f(θ)=.
当sin θcos θ取得最大值，即θ=时，f(θ)取得最小值，最小值为f==16.
故|AB|+|DE|的最小值为16.
培优精练
1.解析　由题意可知|PF1|=，|PF2|=，
则-=4cx，
因为|PF1|+|PF2|=2a，即|PF2|=2a-|PF1|，
所以-(2a-|PF1|)2=4cx，整理得4a|PF1|=4a2+4cx，
所以|PF1|=a+x.
2.解析　(1)由题意知2b=2，得b=，又===，解得a=，
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)如图，由(1)知F1(-1，0)，F2(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则=(-1-x0，-y0)，=(x1+1，y1)，=(1-x0，-y0)，=(x2-1，y2)，
由=λ1，得所以
又点A(x1，y1)在椭圆上，所以+=1，即+=.
又+=1，所以+1-=，即(1+x0+λ1)2+3--3=0.
将其展开，得到-2+2(1+x0)λ1+(1+x0)2+3-=0，即-2+2(1+x0)λ1+2x0+4=0.
从而-(1+x0)λ1-x0-2=0，即(λ1+1)(λ1-2-x0)=0，
易知λ1>0，所以λ1-2-x0=0，得λ1=2+x0，
同理，由=λ2，得所以
又点B(x2，y2)在椭圆上，所以+=1，即+=.
又+=1，所以+1-=，即(1-x0+λ2)2+3--3=0.
将其展开，得到-2+2(1-x0)λ2+(1-x0)2+3-=0，即-2+2(1-x0)λ2-2x0+4=0.
从而-(1-x0)λ2+x0-2=0，即(λ2+1)(λ2-2+x0)=0，
易知λ2>0，所以λ2-2+x0=0，得λ2=2-x0，所以λ1+λ2=4，即λ1+λ2为定值.
考向2　等角的性质
典例3
【解析】(1)由题意得a2=3，b2=2，c2=a2-b2=1，所以c=1，则F(1，0).
当l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1.
联立直线与椭圆C的方程，得解得或
所以点A的坐标为1，或1，-.
当点A的坐标为1，时，可得kAM==-，所以直线AM的方程为y=-(x-3)，整理可得x+y-3=0；
当点A的坐标为1，-时，可得kAM==，所以直线AM的方程为y=(x-3)，整理可得x-y-3=0.
综上所述，直线AM的方程为x+y-3=0或x-y-3=0.
(2)
(法一)当直线l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，结论成立.
当直线l与x轴不重合时，可设直线l的方程为x=my+1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得(2m2+3)y2+4my-4=0.
显然Δ>0，由韦达定理可知且x1=my1+1，x2=my2+1.
因为my1y2-(y1+y2)=---=0，
所以my1y2=y1+y2.
所以kMA+kMB=+====0，
所以直线MA，MB的倾斜角互补，
所以∠OMA=∠OMB.
综上所述，∠OMA=∠OMB.
(法二)当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)，k≠0，
联立y=k(x-1)和+=1，得(3k2+2)x2-6k2x+3k2-6=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1<，x2<，且x1+x2=，x1x2=，y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，
所以kMA+kMB=+=，
而2kx1x2-4k(x1+x2)+6k=(3k2-6-12k2+9k2+6)=0，进而kMA+kMB=0，
故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.
综上所述，∠OMA=∠OMB.
培优精练
【解析】(1)由圆C：(x-1)2+y2=16，可得圆心坐标为C(1，0)，半径r=4，
如图所示，线段AF的垂直平分线交AC于点P，
所以|PF|+|PC|=|PA|+|PC|=4>|FC|=2，
根据椭圆的定义，可知点P的轨迹是以F，C为焦点的椭圆，且2a=4，2c=2，
可得a=2，c=1，则b==，
所以动点P的轨迹方程为+=1.
(2)由题意知直线l的斜率不为0.
当直线l与x轴垂直时，无交点M，N，舍去.
当直线l与x轴不重合也不垂直时，设直线l的方程为y=k(x-3)，且k≠0，
由整理得(3+4k2)x2-24k2x+36k2-12=0，由Δ>0，解得-设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=，
根据椭圆的对称性，不妨令点M，N在x轴上方，且x2>x1，
假设存在T(t，0)，使得∠MTO=∠NTB恒成立，即tan∠MTO=tan∠NTB恒成立，显然x1可得kMT=-kNT，即kMT+kNT=0恒成立，即+=0恒成立.
又由+=，
得t(y1+y2)-x1y2-x2y1=0，
所以t======，
所以存在点T，0，使得∠MTO=∠NTB恒成立.
考向3　切线、切点弦方程
典例4　(1)A　(2)A　(3)ABD
【解析】(1)(法一)设A(x1，y1)，由x2=4y，得p=2，所以抛物线的准线方程为y=-1.
由抛物线的定义可得|AF|=y1+1=4，得y1=3，代入x2=4y，得x1=±2，
又点A在第一象限，所以x1=2，所以点A的坐标为(2，3)，
所以抛物线C：x2=4y在点A处的切线方程为2x=2(y+3)，即x-y-3=0.
(法二)同法一得A(2，3)，由x2=4y，得y=x2，所以y'=x，所以抛物线C在点A处的切线方程的斜率为×2=，
所以抛物线C在点A处的切线方程为y-3=(x-2)，即x-y-3=0.
(2)(法一)因为抛物线C：y2=2px(p>0)上的一点D(x0，y0)处的切线方程为y0y=p(x+x0)，即y0y=px+，整理可得y-x-=0，又由题意知该切线方程为y-x-1=0，所以可得y0=p=2，故C的方程为y2=4x.
如图，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M，，点M到y轴的距离d==-1=-1≥-1=2，
当且仅当线段AB经过点F时，等号成立.故AB的中点M到y轴的距离的取值范围为[2，+∞).
(法二)依题意知，切线的斜率为1，故切点必在第一象限，设切点为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，即，y0，由y=求导可得y'=，
则=1，即=1，化简得y0=p，故切点为，p，代入y-x-1=0中，解得p=2，故C的方程为y2=4x.
以下同法一，可得AB的中点M到y轴的距离的取值范围为[2，+∞).
(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则过点M的切线方程为y1y=2(x1+x)，过点N的切线方程为y2y=2(x2+x)，
由题意知这两条切线交于点P(x0，y0)，则
从而直线MN的方程为y0y=2(x0+x).
若x0=-1，则直线MN经过点F(1，0)，A正确.
因为点M，N在C2上，所以
所以由
解得y=，
即y0=，从而x0=，即P，.
因为H为线段MN的中点，所以H，，
所以PH⊥y轴，B正确.
因为点H，，==-x0=，=y0，
所以点H的轨迹方程为y2=x(x≠0)，C错误.
因为=(x0-1，y0)，=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)，
所以·=(x0-1，y0)·(x1-1，y1)=x0x1-x1-x0+1+y0y1=x0x1-x1-x0+1+2(x0+x1)=(x0+1)(x1+1).
又|MF|=x1+1，所以cos ∠PFM==，
同理可得cos ∠PFN=，从而∠PFM=∠PFN，D正确.故选ABD.
培优精练
1.D
【解析】设直线与抛物线x2=2y相切的切点坐标为t，t2，由y=x2求导得y'=x，
因此抛物线x2=2y在点t，t2处的切线方程为y-t2=t(x-t)，即tx-y-t2=0，
依题意，此切线与圆x2+(y+1)2=1相切，于是=1，解得t=0或t=±2，所以所求切线的条数为3.故选D.
2.BCD
【解析】对于A，由得x2+(2m-8)x+m2=0，
由Δ=(2m-8)2-4m2=0，解得m=2，故A错误；
对于B，由m=2，得x2-4x+4=0，故x=2，y=2+2=4，故P点坐标为(2，4)，
设lPA：y=k(x-2)+4，则lPB：y=-k(x-2)+4，k≠0，
联立lPA与抛物线的方程，得消去x可得ky2-8y+32-16k=0，
Δ=64-4k(32-16k)=64(k-1)2>0，即k≠1，则有yA+4=，即yA=-4，
同理可得yB=--4，故==-4，故B正确；
对于C，kAB=====-1，故C正确；
对于D，由题意可得kPM====，
同理可得kPN=，则kPM·kPN=·=，
联立lMN与抛物线的方程，得消去x可得y2-4y-16=0，
故yM+yN=4，yMyN=-16，
即有kPM·kPN===4，故D正确.故选BCD.
3.解析　(1)由题意得解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)直线l2与直线OG平行.证明如下：
显然直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y+=m(x+1).
由得(4m2+1)x2+(8m2-12m)x+4m2-12m+1=0.
因为直线l1与椭圆相切，
所以Δ=(8m2-12m)2-4(4m2+1)(4m2-12m+1)=4(28m2+12m-1)=0，
解得m=-或m=.
因为直线l1与椭圆相切于第三象限内的点G，所以m=-，所以2x2+8x+8=0，xG=-2，
所以yG=-(xG+1)-=-1，
所以点G的坐标为(-2，-1)，直线OG的斜率为，|PG|2=.
当直线l2的斜率不存在时，|PM||PN|=，所以|PG|2≠|PM|·|PN|.
当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y+=k(x+1)，M(x1，y1)，N(x2，y2).
由得(4k2+1)x2+(8k2-12k)x+4k2-12k+1=0，
直线l2交椭圆C于M，N两点，Δ=4(28k2+12k-1)>0，
所以k<-或k>，所以x1+x2=，x1x2=.
|PM|==|x1+1|，同理得|PN|=|x2+1|，
所以|PM|·|PN|=(1+k2)|x1+1||x2+1|=(1+k2)|x1x2+(x1+x2)+1|=(1+k2).
所以(1+k2)=，解得k=或k=-，
又k<-或k>，所以k=，所以直线l2与直线OG平行.