【高考题型分类突破】微专题01 子数列与增减项的问题 2025年高考数学二轮专题复习 学案（含答案）

微专题01 子数列与增减项的问题
　　子数列问题(包括数列中的奇偶项、公共项数列以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.
子数列问题
典例1　(1)(2020年新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为　　　　.
(2)记由数列{an}和{bn}的公共项组成的数列为{cn}，已知an=3n-2，bn=2n，若{cn}为递增数列，且c5=bm=at，则m+t=　　　　.
方法总结：
1.解答数列中公共项问题的关键在于观察这些公共项的规律，判断其是否构成等差数列或等比数列.
2.两个等差数列的公共项是等差数列，公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.
1.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何 ”根据这一数学思想，把所有被3除余2的正整数从小到大排列组成数列{an}，把所有被5除余3的正整数从小到大排列组成数列{bn}，把{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则下列说法正确的是(　　).
A.a1+b2=c2 B.b8-a2=c4
C.b23=c8 D.a6b2=c9
2.将数列{2n-1}与{n2}的公共项按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{an}，则新数列{an}的通项公式为　　　　.
增减项问题
典例2　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=2Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)在an与an+1之间插入n个数，使这(n+2)个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列，且m≠k≠p)成等比数列 若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
方法总结：
解答数列中的增减项问题时，先观察增加或减少以后的数列是等差数列，等比数列，还是局部具有等差或等比特征的数列，然后按照各自的性质进行求解.
已知数列{bn}为等比数列，正项数列{an}满足4an=--4，且a1=2，b1=1，a4=b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)若从{an}中去掉与数列{bn}相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，设T100=c1+c2+c3+…+c100，求T100.
参考答案
微专题01 子数列与增减项的问题
考向1　子数列问题
典例1　(1)3n2-2n　(2)352
【解析】(1)因为数列{2n-1}是以1为首项，2为公差的等差数列，
数列{3n-2}是以1为首项，3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，6为公差的等差数列，
所以{an}的前n项和为n·1+·6=3n2-2n.
(2)由已知得c1=b2=a2=4，设cn=bm=at，即cn=2m=3t-2，则bm+1=2m+1=2(3t-2)，
由bm+1=3t'-2，得t'=，
因为t'不是正整数，所以bm+1不是公共项.
同理，由bm+2=2m+2=4(3t-2)=3t'-2，得t'=4t-2，故cn+1=bm+2=a4t-2.
因为c1=b2=a2=4，所以c2=b4=a6，c3=b6=a22，c4=b8=a86，c5=b10=a342，
故当n=5时，m=10，t=342，故m+t=352.
培优精练
1.C
【解析】根据题意可知，数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，所以an=2+3(n-1)=3n-1，
数列{bn}是首项为3，公差为5的等差数列，所以bn=3+5(n-1)=5n-2，
数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，
故数列{cn}是首项为8，公差为15的等差数列，cn=8+15(n-1)=15n-7.
对于A，a1+b2=2+2×5-2=10，c2=15×2-7=23，a1+b2≠c2，故A错误；
对于B，b8-a2=5×8-2-3×2+1=33，c4=15×4-7=53，b8-a2≠c4，故B错误；
对于C，b23=5×23-2=113，c8=15×8-7=113，b23=c8，故C正确；
对于D，a6b2=(3×6-1)×(5×2-2)=136，c9=15×9-7=128，a6b2≠c9，故D错误.故选C.
2.an=(2n-1)2
【解析】{2n-1}中的项为全体正奇数，
对于数列{n2}，当n为正偶数时，n2为偶数，当n为正奇数时，n2为正奇数，
所以数列{2n-1}与{n2}的公共项按照从小到大的顺序排列得到的新数列为12，32，52，…，
所以新数列{an}的通项公式为an=(2n-1)2.
考向2　增减项问题
典例2
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意知当n=1时，a1q=2a1+2，　①
当n=2时，a1q2=2(a1+a1q)+2，　②
由①②解得a1=2，q=3，
所以数列{an}的通项公式为an=2×3n-1.
(2)不存在.理由如下：
由(1)知an=2×3n-1，则an+1=2×3n，
所以an+1=an+(n+2-1)dn，
所以dn==.
假设数列{dn}中存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列，且m≠k≠p)成等比数列，
则=dm·dp，
所以2=·，
即2=.
又因为m，k，p成等差数列，
所以2k=m+p，
所以(k+1)2=(m+1)(p+1)，
化简得k2+2k=mp+m+p，
所以k2=mp，
又2k=m+p，所以k=m=p，这与已知矛盾.
所以在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列，且m≠k≠p)成等比数列.
培优精练
【解析】(1)因为4an=--4，
所以=(an+2)2，又an>0，
所以an+1=an+2，
即an+1-an=2，又a1=2，
所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，
所以an=2+(n-1)·2=2n.
设{bn}的公比为q，因为b4=a4=8，b1=1，
所以q3=8，解得q=2，
所以bn=2n-1.
综上，数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=2n-1.
(2)由(1)知b1=1，b2=2=a1，b3=4=a2，b4=8=a4，b5=16=a8，b6=32=a16，b7=64=a32，b8=128=a64，b9=256=a128，
所以T100=c1+c2+c3+…+c100=(a1+a2+a3+…+a107)-(b2+b3+…+b8)=-=11 302.