【高考题型分类突破】微专题03 隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形 2025年高考数学二轮专题复习 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 【高考题型分类突破】微专题03 隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形 2025年高考数学二轮专题复习 学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 141.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-14 21:29:39 | ||
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文档简介
微专题03 隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形
近几年的高考试题中，很多涉及隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形，聚焦轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度较大，具有很强的探索性，解题时往往需要综合运用动态思维、数形结合、特殊与一般等数学思想方法.
隐圆(阿波罗尼斯圆)
典例1 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数λ(λ>0，λ≠1)，则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知A(-1，0)，B(0，1)，M是平面内一动点，且=，则点M的轨迹方程为 .若点P在圆C：(x-2)2+y2=36上，则2|PA|+|PB|的最小值是 .
方法总结：
1.阿波罗尼斯圆的定义：已知动点M与两定点Q，P的距离之比=λ(λ>0且λ≠1)，λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.
2.结论：平面内到两个定点A(-a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Ca，0为圆心，为半径的阿波罗尼斯圆.
古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ(λ>0，λ≠1)的点的轨迹是圆.后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点O(0，0)，A，，动点P(x，y)满足=，若点P的轨迹与圆C：x2+y2+6x+2y=r2-10(r>0)有且仅有三条公切线，则r=( ).
A. B.1 C.2 D.3
蒙日圆
典例2 (1)法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹为圆.我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆.根据此背景，设M为椭圆C：x2+=1的一个外切长方形(M的四条边所在的直线均与椭圆C相切)，若M在第一象限内的一个顶点的纵坐标为2，则M的面积为( ).
A.13 B.26
C. D.
(2)若椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，则此圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：+y2=1(a>1)的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为 .
方法总结：
1.蒙日圆的定义：在椭圆+=1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫该椭圆的蒙日圆.该圆的圆心为O(0，0)，半径r=.
2.蒙日圆的性质：设P为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆的两条切线，切点为A，B，O为原点.
性质1：PA⊥PB.
性质2：kOP·kAB=-.
性质3：kOA·kPA=-，kOB·kPB=-(垂径定理的推广).
性质4：PO平分椭圆的切点弦AB.
性质5：延长PA，PB交蒙日圆O于C，D两点，则CD∥AB.
性质6：(S△AOB)max =，(S△AOB)min=.
性质7：(S△APB)max =，(S△APB)min=.
3.蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广
(1)双曲线-=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB的交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2-b2(只有当a>b时才有蒙日圆).
(2)抛物线y2=2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB的交点P的轨迹是该抛物线的准线：x=-(可以看作半径无穷大的圆).
4.有关蒙日圆的问题，一般要先根据定义求出蒙日圆的方程，然后再利用直线和圆的相关知识来解决.两点间距离及点到直线的距离是常考考点.
1.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：若椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，此圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，F2(，0)，其短轴上的一个端点到点F2的距离为，点A在椭圆上，直线l：bx+ay-a2-b2=0，则( ).
A.直线l与蒙日圆相切
B.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=2
C.若P是椭圆C的蒙日圆上的动点，过点P作椭圆C的两条切线l1，l2，分别交蒙日圆于M，N两点，则MN的长恒为4
D.记点A到直线l的距离为d，则d-|AF2|的最小值为2+
2.加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：+=1(a>)，若直线l：4x-3y+20=0上存在点P，过点P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 .
阿基米德三角形
典例3 在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，顶点为O，斜率为的直线l过点F且与抛物线C交于M，N两点，若△PMN为阿基米德三角形，则|OP|=( ).
A. B.2 C. D.
方法总结：
1.阿基米德三角形的定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形.
2.阿基米德三角形在抛物线中的性质
性质1：阿基米德三角形底边上的中线MQ平行于抛物线的轴.
性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线.
性质3：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2.
性质4：抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹.
性质5：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点若直线l的方程为ax+by+c=0，则定点的坐标为C，-.
性质6：底边为a的阿基米德三角形的面积的最大值为.
性质7：在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB.
3.阿基米德三角形在椭圆、双曲线中的推广
(1)椭圆和双曲线也具有多数抛物线阿基米德三角形类似的性质；
(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.
4.阿基米德三角形问题的解题策略
(1)直接运用阿基米德三角形的性质解客观题；
(2)结合阿基米德三角形的定义，用解决圆锥曲线问题的常规方法来解决.
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形.已知抛物线C：x2=8y，阿基米德三角形PAB的底边即弦AB过C的焦点F，其中点A在第一象限，则下列说法正确的是( ).
A.点P的纵坐标为-2
B.C的准线方程为x=-2
C.若|AF|=8，则直线AB的斜率为
D.△PAB面积的最小值为16
参考答案
微专题03 隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形
考向1 隐圆(阿波罗尼斯圆)
典例1 x2+y2-2x-4y+1=0(或(x-1)2+(y-2)2=4)
解析 设M(x，y)，则=，
整理得点M的轨迹方程为x2+y2-2x-4y+1=0(或(x-1)2+(y-2)2=4).
如图，设P(x1，y1)，则(x1-2)2+=36，
故2|PA|=2
=
=
=.
令D(-10，0)，则2|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|BD|=.
培优精练 D
【解析】由题意可得=，化简得x2+y2-2x-4y+1=0，
即(x-1)2+(y-2)2=4，即动点P(x，y)的轨迹是以(1，2)为圆心，2为半径的圆，
由C：x2+y2+6x+2y=r2-10(r>0)，可得(x+3)2+(y+1)2=r2，
故圆C的圆心为(-3，-1)，半径为r，由两圆有且仅有三条公切线，得两圆外切，则r+2==5，得r=3.故选D.
考向2 蒙日圆
典例2 (1)C (2)x2+y2=3
【解析】(1)依题意，直线x=±1，y=±2都与椭圆C：x2+=1相切，且它们围成的四边形是矩形，
于是该矩形是椭圆C的蒙日圆内接矩形，因此该蒙日圆的圆心为O(0，0)，半径r==，因此该椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=13.
M为椭圆C：x2+=1的一个外切长方形，设其四个顶点分别为P，Q，P'，Q'，其中P在第一象限，显然P与P'关于原点O对称，Q与Q'关于原点O对称，而P点的纵坐标为2，则其横坐标为3，即P(3，2)，显然M的四条边所在直线的斜率均存在且不为0.
设过P且与椭圆C相切的直线为y-2=k(x-3)，由消去y并整理，
得(12+k2)x2+2k(2-3k)x+9k2-12k-8=0，
由Δ=4k2(2-3k)2-4(12+k2)(9k2-12k-8)=0，化简得2k2-3k-2=0，解得k=2或k=-，不妨取直线PQ的方程为y-2=2(x-3)，即2x-y-4=0，直线PQ'的方程为y-2=-(x-3)，即x+2y-7=0，
则O点到直线PQ的距离为，O点到直线PQ'的距离为，
所以M的面积为2××2×=.
(2)(法一)对照椭圆的标准方程+=1(a>b>0)，可得b=1，结合本题离心率e=，可求得本题中的a=2，即椭圆标准方程+=1(a>b>0)中的a2=2，由蒙日圆的定义可得蒙日圆方程为x2+y2=3.
(法二)由椭圆C：+y2=1(a>1)的离心率为，得=，解得a=2.
椭圆C：+y2=1在顶点(，0)，(0，1)处的切线方程分别为x=，y=1，它们交于点(，1)，
显然点(，1)在椭圆C的蒙日圆x2+y2=r2上，因此r2=()2+12=3，
所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3.
培优精练
1.AC
【解析】
当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为x=±a、y=±b，
所以点(±a，±b)在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为x2+y2=a2+b2.
由题意可得c=，=，结合a2=b2+c2，解得a=，b=1.
对于A选项，蒙日圆圆心到直线l的距离d==，所以直线l与蒙日圆相切，故A正确；
对于B选项，C的蒙日圆的方程为x2+y2=4，故B错误；
对于C选项，由题意可知，l1⊥l2，所以MN为蒙日圆的直径，|MN|=4，故C正确；
对于D选项，由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|=2，
所以d-|AF2|=d+|AF1|-2，
又直线l的方程为x+y-4=0，
所以点F1到直线l的距离d1=，
所以d-|AF2|=d+|AF1|-2≥d1-2=，
当且仅当AF1⊥l时，等号成立，故D错误.
故选AC.
2.，1
【解析】由题可知，点P在椭圆的蒙日圆上，又因为点P在直线上，所以问题转化为直线和蒙日圆有公共点.
由椭圆方程+=1可知b=，如图，当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2a和2，
其对角线长为，因此蒙日圆的半径为，所以蒙日圆的方程为x2+y2=a2+7，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径，
即≤，所以a2≥9，所以椭圆的离心率满足e2=1-≥，所以≤e<1.
考向3 阿基米德三角形
典例3 C
【解析】(法一)因为本题中阿基米德三角形的弦过焦点F，所以由阿基米德三角形的性质可知P(-2，y0)，设直线l：y=(x-2)，由得y2-6y-16=0，解得y=8或y=-2，
所以y0==3，所以有P(-2，3)，则|OP|=.
(法二)依题意，F(2，0)，设直线l：y=(x-2)，由得y2-6y-16=0，解得y=8或y=-2，不妨设M(8，8)，N，-2，
易知直线PM的斜率存在，设直线PM的方程为y-8=k(x-8)，与C：y2=8x联立，得[k(x-8)+8]2=8x，即k2x2+(16k-16k2-8)x+64k2-128k+64=0，
由Δ=(16k-16k2-8)2-4k2(64k2-128k+64)=0，解得k=，
故直线PM的斜率k=，故直线PM：y=x+4，
同理可得直线PN的斜率k'=-2，故直线PN：y=-2x-1.
由得
即P(-2，3)，则|OP|=.
培优精练 AD
【解析】(法一)因为本题中阿基米德三角形的底边过焦点F，所以由阿基米德三角形的性质3直接可得A，D正确，由抛物线定义知B错误.
对于C，设A(x1，y1)，由|AF|=y1+2=8，得y1=6，所以A(4，6)，kAB=kAF==，故C错误.
(法二)对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y=kx+2，
由消去y，得x2-8kx-16=0，Δ=64k2+64>0，
所以x1+x2=8k，x1x2=-16.
由C：x2=8y，得y'=x，则点A处的切线方程为y=x1x-， ①
同理可得点B处的切线方程为y=x2x-， ②
联立①②，得x==4k，y=-2，
所以P(4k，-2)，故A正确.
对于B，准线方程为y=-2，故B错误.
对于C，由|AF|=y1+2=8，得y1=6，所以A(4，6)，kAB=kAF==，故C错误.
对于D，|AB|=y1+y2+4=k(x1+x2)+8=8k2+8，点P到直线AB的距离d=，
所以S△ABP=|AB|·d=(8k2+8)·=16(1+k2，
当k=0时，△ABP的面积取得最小值，最小值为16，故D正确.故选AD.
近几年的高考试题中，很多涉及隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形，聚焦轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度较大，具有很强的探索性，解题时往往需要综合运用动态思维、数形结合、特殊与一般等数学思想方法.
隐圆(阿波罗尼斯圆)
典例1 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数λ(λ>0，λ≠1)，则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知A(-1，0)，B(0，1)，M是平面内一动点，且=，则点M的轨迹方程为 .若点P在圆C：(x-2)2+y2=36上，则2|PA|+|PB|的最小值是 .
方法总结：
1.阿波罗尼斯圆的定义：已知动点M与两定点Q，P的距离之比=λ(λ>0且λ≠1)，λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.
2.结论：平面内到两个定点A(-a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Ca，0为圆心，为半径的阿波罗尼斯圆.
古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ(λ>0，λ≠1)的点的轨迹是圆.后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点O(0，0)，A，，动点P(x，y)满足=，若点P的轨迹与圆C：x2+y2+6x+2y=r2-10(r>0)有且仅有三条公切线，则r=( ).
A. B.1 C.2 D.3
蒙日圆
典例2 (1)法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹为圆.我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆.根据此背景，设M为椭圆C：x2+=1的一个外切长方形(M的四条边所在的直线均与椭圆C相切)，若M在第一象限内的一个顶点的纵坐标为2，则M的面积为( ).
A.13 B.26
C. D.
(2)若椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，则此圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：+y2=1(a>1)的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为 .
方法总结：
1.蒙日圆的定义：在椭圆+=1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫该椭圆的蒙日圆.该圆的圆心为O(0，0)，半径r=.
2.蒙日圆的性质：设P为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆的两条切线，切点为A，B，O为原点.
性质1：PA⊥PB.
性质2：kOP·kAB=-.
性质3：kOA·kPA=-，kOB·kPB=-(垂径定理的推广).
性质4：PO平分椭圆的切点弦AB.
性质5：延长PA，PB交蒙日圆O于C，D两点，则CD∥AB.
性质6：(S△AOB)max =，(S△AOB)min=.
性质7：(S△APB)max =，(S△APB)min=.
3.蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广
(1)双曲线-=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB的交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2-b2(只有当a>b时才有蒙日圆).
(2)抛物线y2=2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB的交点P的轨迹是该抛物线的准线：x=-(可以看作半径无穷大的圆).
4.有关蒙日圆的问题，一般要先根据定义求出蒙日圆的方程，然后再利用直线和圆的相关知识来解决.两点间距离及点到直线的距离是常考考点.
1.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：若椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，此圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，F2(，0)，其短轴上的一个端点到点F2的距离为，点A在椭圆上，直线l：bx+ay-a2-b2=0，则( ).
A.直线l与蒙日圆相切
B.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=2
C.若P是椭圆C的蒙日圆上的动点，过点P作椭圆C的两条切线l1，l2，分别交蒙日圆于M，N两点，则MN的长恒为4
D.记点A到直线l的距离为d，则d-|AF2|的最小值为2+
2.加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：+=1(a>)，若直线l：4x-3y+20=0上存在点P，过点P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 .
阿基米德三角形
典例3 在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，顶点为O，斜率为的直线l过点F且与抛物线C交于M，N两点，若△PMN为阿基米德三角形，则|OP|=( ).
A. B.2 C. D.
方法总结：
1.阿基米德三角形的定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形.
2.阿基米德三角形在抛物线中的性质
性质1：阿基米德三角形底边上的中线MQ平行于抛物线的轴.
性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线.
性质3：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2.
性质4：抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹.
性质5：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点若直线l的方程为ax+by+c=0，则定点的坐标为C，-.
性质6：底边为a的阿基米德三角形的面积的最大值为.
性质7：在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB.
3.阿基米德三角形在椭圆、双曲线中的推广
(1)椭圆和双曲线也具有多数抛物线阿基米德三角形类似的性质；
(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.
4.阿基米德三角形问题的解题策略
(1)直接运用阿基米德三角形的性质解客观题；
(2)结合阿基米德三角形的定义，用解决圆锥曲线问题的常规方法来解决.
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形.已知抛物线C：x2=8y，阿基米德三角形PAB的底边即弦AB过C的焦点F，其中点A在第一象限，则下列说法正确的是( ).
A.点P的纵坐标为-2
B.C的准线方程为x=-2
C.若|AF|=8，则直线AB的斜率为
D.△PAB面积的最小值为16
参考答案
微专题03 隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形
考向1 隐圆(阿波罗尼斯圆)
典例1 x2+y2-2x-4y+1=0(或(x-1)2+(y-2)2=4)
解析 设M(x，y)，则=，
整理得点M的轨迹方程为x2+y2-2x-4y+1=0(或(x-1)2+(y-2)2=4).
如图，设P(x1，y1)，则(x1-2)2+=36，
故2|PA|=2
=
=
=.
令D(-10，0)，则2|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|BD|=.
培优精练 D
【解析】由题意可得=，化简得x2+y2-2x-4y+1=0，
即(x-1)2+(y-2)2=4，即动点P(x，y)的轨迹是以(1，2)为圆心，2为半径的圆，
由C：x2+y2+6x+2y=r2-10(r>0)，可得(x+3)2+(y+1)2=r2，
故圆C的圆心为(-3，-1)，半径为r，由两圆有且仅有三条公切线，得两圆外切，则r+2==5，得r=3.故选D.
考向2 蒙日圆
典例2 (1)C (2)x2+y2=3
【解析】(1)依题意，直线x=±1，y=±2都与椭圆C：x2+=1相切，且它们围成的四边形是矩形，
于是该矩形是椭圆C的蒙日圆内接矩形，因此该蒙日圆的圆心为O(0，0)，半径r==，因此该椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=13.
M为椭圆C：x2+=1的一个外切长方形，设其四个顶点分别为P，Q，P'，Q'，其中P在第一象限，显然P与P'关于原点O对称，Q与Q'关于原点O对称，而P点的纵坐标为2，则其横坐标为3，即P(3，2)，显然M的四条边所在直线的斜率均存在且不为0.
设过P且与椭圆C相切的直线为y-2=k(x-3)，由消去y并整理，
得(12+k2)x2+2k(2-3k)x+9k2-12k-8=0，
由Δ=4k2(2-3k)2-4(12+k2)(9k2-12k-8)=0，化简得2k2-3k-2=0，解得k=2或k=-，不妨取直线PQ的方程为y-2=2(x-3)，即2x-y-4=0，直线PQ'的方程为y-2=-(x-3)，即x+2y-7=0，
则O点到直线PQ的距离为，O点到直线PQ'的距离为，
所以M的面积为2××2×=.
(2)(法一)对照椭圆的标准方程+=1(a>b>0)，可得b=1，结合本题离心率e=，可求得本题中的a=2，即椭圆标准方程+=1(a>b>0)中的a2=2，由蒙日圆的定义可得蒙日圆方程为x2+y2=3.
(法二)由椭圆C：+y2=1(a>1)的离心率为，得=，解得a=2.
椭圆C：+y2=1在顶点(，0)，(0，1)处的切线方程分别为x=，y=1，它们交于点(，1)，
显然点(，1)在椭圆C的蒙日圆x2+y2=r2上，因此r2=()2+12=3，
所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3.
培优精练
1.AC
【解析】
当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为x=±a、y=±b，
所以点(±a，±b)在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为x2+y2=a2+b2.
由题意可得c=，=，结合a2=b2+c2，解得a=，b=1.
对于A选项，蒙日圆圆心到直线l的距离d==，所以直线l与蒙日圆相切，故A正确；
对于B选项，C的蒙日圆的方程为x2+y2=4，故B错误；
对于C选项，由题意可知，l1⊥l2，所以MN为蒙日圆的直径，|MN|=4，故C正确；
对于D选项，由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|=2，
所以d-|AF2|=d+|AF1|-2，
又直线l的方程为x+y-4=0，
所以点F1到直线l的距离d1=，
所以d-|AF2|=d+|AF1|-2≥d1-2=，
当且仅当AF1⊥l时，等号成立，故D错误.
故选AC.
2.，1
【解析】由题可知，点P在椭圆的蒙日圆上，又因为点P在直线上，所以问题转化为直线和蒙日圆有公共点.
由椭圆方程+=1可知b=，如图，当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2a和2，
其对角线长为，因此蒙日圆的半径为，所以蒙日圆的方程为x2+y2=a2+7，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径，
即≤，所以a2≥9，所以椭圆的离心率满足e2=1-≥，所以≤e<1.
考向3 阿基米德三角形
典例3 C
【解析】(法一)因为本题中阿基米德三角形的弦过焦点F，所以由阿基米德三角形的性质可知P(-2，y0)，设直线l：y=(x-2)，由得y2-6y-16=0，解得y=8或y=-2，
所以y0==3，所以有P(-2，3)，则|OP|=.
(法二)依题意，F(2，0)，设直线l：y=(x-2)，由得y2-6y-16=0，解得y=8或y=-2，不妨设M(8，8)，N，-2，
易知直线PM的斜率存在，设直线PM的方程为y-8=k(x-8)，与C：y2=8x联立，得[k(x-8)+8]2=8x，即k2x2+(16k-16k2-8)x+64k2-128k+64=0，
由Δ=(16k-16k2-8)2-4k2(64k2-128k+64)=0，解得k=，
故直线PM的斜率k=，故直线PM：y=x+4，
同理可得直线PN的斜率k'=-2，故直线PN：y=-2x-1.
由得
即P(-2，3)，则|OP|=.
培优精练 AD
【解析】(法一)因为本题中阿基米德三角形的底边过焦点F，所以由阿基米德三角形的性质3直接可得A，D正确，由抛物线定义知B错误.
对于C，设A(x1，y1)，由|AF|=y1+2=8，得y1=6，所以A(4，6)，kAB=kAF==，故C错误.
(法二)对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y=kx+2，
由消去y，得x2-8kx-16=0，Δ=64k2+64>0，
所以x1+x2=8k，x1x2=-16.
由C：x2=8y，得y'=x，则点A处的切线方程为y=x1x-， ①
同理可得点B处的切线方程为y=x2x-， ②
联立①②，得x==4k，y=-2，
所以P(4k，-2)，故A正确.
对于B，准线方程为y=-2，故B错误.
对于C，由|AF|=y1+2=8，得y1=6，所以A(4，6)，kAB=kAF==，故C错误.
对于D，|AB|=y1+y2+4=k(x1+x2)+8=8k2+8，点P到直线AB的距离d=，
所以S△ABP=|AB|·d=(8k2+8)·=16(1+k2，
当k=0时，△ABP的面积取得最小值，最小值为16，故D正确.故选AD.
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