【高考题型分类突破】专题09 直线与圆 2025年高考数学二轮专题复习 学案（含答案）

专题九 直线与圆
【题型分析】
考情分析：
1.直线的方程、直线的平行与垂直、轴对称等多以小题的形式出现，难度较小；
2.求圆的方程、弦长、面积等多以小题的形式考查，难度中等；
3.直线与圆、圆与圆的位置关系多与点到直线的距离公式结合，难度中等，偶尔也会作为情境出现在大题中，难度较小.
题型1 直线方程与位置关系
例1　已知A为圆C：x2+(y-1)2=上的动点，B为圆E：(x-3)2+y2=上的动点，P为直线y=x上的动点，则|PB|-|PA|的最大值为　　　　.
方法总结：
求点关于直线的对称点的常用方法
设点P(x1，y1)关于直线l：Ax+By+C=0对称的点为P'(x2，y2)，连接PP'，交l于点M，则l垂直平分PP'，所以PP'⊥l，且M为PP'的中点，又因为点M在直线l上，所以即可得出对称点P'(x2，y2)的坐标.
(改编)一条光线从点P(1，-1)射出，经y轴反射后与圆(x-3)2+y2=1相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为(　　).
A.-，0 B.0，
C.-，0 D.0，
题型2 圆的方程
例2　(2022年全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(-1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　.
方法总结：
1.求圆的方程的方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，找圆心，求半径，进而写出方程.
(2)待定系数法：根据题目特征设圆的标准方程或一般方程，列方程(组)，求相关参数，进而写出方程.
2.常用结论
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0；
(2)过圆M：x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)；
(3)过圆O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(不包括圆O2，λ为参数)，当λ=-1时，上述方程表示一条过两圆交点的直线.
已知圆M过A(-3，1)，B(-2，4)，C(7，1)三点，则|MB|=(　　).
A.2 B.2 C.5 D.4
题型3 直线、圆的位置关系
直线与圆的位置关系
例3　(2024年全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　).
A.1 B.2 C.4 D.2
方法总结：
1.当直线与圆相交时，弦长的求法
(1)几何法：利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2=d2+2，整理得到弦长l=2.此法思路简明，计算量小，求弦长问题一般选用几何法.
(2)代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长.
(3)弦长公式法：设直线l：y=kx+b与圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后得到弦长l=|x1-x2|=，再利用根与系数的关系求解.
2.当直线与圆相切时，几种切线的求法
(1)经过圆x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)经过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y+D·+E·+F=0.
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x-m)2+(y-2m)2=3m2(m>0)与直线x+2y-2=0交于A，B两点，过点A，B分别作圆C的切线l1，l2.若l1与l2交于点P，且C为线段OP的中点，则m=　　　　.
圆与圆的位置关系
例4　(2022年新高考全国Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程：　　　　　　.
方法总结：
两圆公切线方程的求法
(1)当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为y=kx+b，由公切线的意义可知，两圆的圆心到直线y=kx+b的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于k和b的方程组，解这个方程组得到k，b的值，即可写出公切线的方程；
(2)当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程.
(原创)如果圆(x-a)2+(y-a-1)2=4上恰有两个点到原点的距离为3，则实数a的取值范围为(　　).
A.(-4，3)
B.(-∞，-1)∪(0，+∞)
C.(-4，-1)∪(0，3)
D.(0，3)
【真题改编】
1.(2023年新高考全国Ⅰ卷，T6改编1)过点P(0，-2)作圆C：x2+y2-4x-1=0的两条切线，设切点分别为A，B，则经过P，A，C，B这四点的圆的方程为(　　).
A.x2+y2-x+2y=0
B.x2+y2+2x-2y=0
C.x2+y2-2x-2y=0
D.x2+y2-2x+2y=0
2.(2023年新高考全国Ⅰ卷，T6改编2)过点P(0，-2)作圆C：x2+y2-4x-1=0的两条切线，设切点分别为A，B，则·=(　　).
A.- B. C.- D.
3.(2024年全国甲卷，理科T12改编)已知b是a，c的等差中项，则直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0(　　).
A.相切 B.相交
C.相离 D.位置关系不确定
4.(2023年新高考全国Ⅱ卷，T15改编)已知直线l：y=kx+2与☉C：(x-2)2+y2=16交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，写出此时k的一个值：　　　　.
5.(2022年全国乙卷，理科T14改编)过四点(0，0)，(2，0)，(2，2)，(4，4)中的三点的一个圆的标准方程为　　　　　　　.
【最新模拟】
(总分：83分　单选题每题5分，多选题每题6分，填空题每题5分)
1.“直线xsin θ+y-1=0与x+ycos θ+1=0平行”是“θ=”的(　　).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知直线l：x-y-2=0，点C在圆(x-1)2+y2=2上运动，那么点C到直线l的距离的最大值为(　　).
A.+1 B.
C. D.
3.已知圆C1：(x+1)2+(y+1)2=1，圆C2：x2+y2-4x-4y-1=0，则两圆的公切线条数为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知圆C：(x-1)2+(y+2)2=16，过点D(0，1)的动直线l与圆C相交于M，N两点，当|MN|=2时，直线l的方程为(　　).
A.4x+3y-3=0
B.3x-4y+4=0
C.x=0或4x+3y-3=0
D.4x+3y-3=0或3x-4y+4=0
5.已知动点P在直线l：x-y=0上，过点P总能作圆C：(x-a)2+y2=1的两条切线，切点为A，B，且∠BPA<恒成立，则a的取值范围是(　　).
A.(-4，0)∪(0，4)
B.(-∞，-4)∪(4，+∞)
C.(-2，0)∪(0，2)
D.(-∞，-2)∪(2，+∞)
6.已知倾斜角为45°的直线l过点A(3，0)，动点P在直线l上，O为坐标原点，动点Q满足|QA|=2|QO|，则下列结论正确的是(　　).
A.直线l的方程为y=x+3
B.动点Q的轨迹方程为(x+1)2+y2=4
C.|PQ|的最大值为2+2
D.|PQ|的最小值为2-2
7.已知点M在圆C：x2+y2+2x-3=0上，点P(0，1)，Q(1，2)，则(　　).
A.存在点M，使得|MP|=1
B.∠MQP≤
C.存在点M，使得|MP|=|MQ|
D.|MQ|=|MP|
8.已知直线l：ax-y+3=0是圆C：x2+y2+2x-4y-4=0的对称轴，过点P(a，-2)作圆C的一条切线，切点为Q，则|PQ|=　　　　.
9.已知直线l为圆x2+y2=4在点(，)处的切线，P是直线l上的一动点，Q是圆(x+1)2+y2=1上的一动点，O为坐标原点，则|PQ|的最小值是　　　　.
10.过点P(1，2)作圆O：x2+y2=10相互垂直的两条弦AB与CD，则四边形ACBD的面积的最大值为(　　).
A.6 B.2 C.9 D.15
11.设直线l：x+y-1=0，一束光线从原点O出发沿射线y=kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若||=，则k的值为(　　).
A. B. C. D.2
12.已知直线y=kx+m(km≠0)与x轴和y轴分别交于A，B两点，且|AB|=2，动点C满足CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点D(1，1)的距离的最大值为(　　).
A.4 B.3
C.2 D.
13.已知圆C：x2+(y-2)2=16，点P在直线l：x+2y+6=0上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.当∠APB最大时，cos∠APB=　　　　.
14.已知圆M：(x-4)2+y2=9，直线y=kx交圆M于A，B两点，点C(6，0)，则△ABC面积的最大值为　　　　.
15.(原创)已知点A(-1，0)，B(1，0)，点P在圆O：x2+(y+2)2=9上，则满足AP⊥BP的点P的个数为(　　).
A.3 B.2 C.1 D.0
16.(原创)设圆C满足如下条件：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为2∶1.当圆C的面积最小时，下列说法正确的是(　　).
A.圆心C的坐标可以为0，
B.圆C截x轴所得的弦长为1
C.圆心C到直线x+y=2的距离可以为
D.圆C的面积为π
参考答案
专题九 直线与圆
题型1　直线方程与位置关系
例1　+1
【解析】如图，设点E(3，0)关于直线y=x的对称点为E'(m，n)，
则解得故E'，，
则圆E关于直线y=x对称的圆E'的方程为x-2+y-2=，要使|PB|-|PA|的值最大，则P，A，B'其中点B'为点B关于直线y=x对称的圆E'上的点三点共线，且该直线过C，E'两点，
故其最大值为|AB'|的最大值，|AB'|max=|CE'|+1=+1=+1.
跟踪训练　C
【解析】如图所示，
由题意可设入射光线PQ所在直线的方程为y+1=k(x-1)，
令x=0，则y=-1-k，可得Q(0，-1-k)，则反射光线QA所在直线的方程为y=-kx-1-k.
由<1，解得-∴入射光线所在直线的斜率的取值范围为-，0.
题型2　圆的方程
例2　(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x-2+y-2=或x-2+(y-1)2=　
解析　依题意，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
若圆过点(0，0)，(4，0)，(-1，1)，
则解得
所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0，
即(x-2)2+(y-3)2=13；
若圆过点(0，0)，(4，0)，(4，2)，
则解得
所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0，即(x-2)2+(y-1)2=5；
若圆过点(0，0)，(4，2)，(-1，1)，
则解得
所以圆的方程为x2+y2-x-y=0，即x-2+y-2=；
若圆过点(-1，1)，(4，0)，(4，2)，
则解得
所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0，即x-2+(y-1)2=.
跟踪训练　C
【解析】设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
因为圆M过A(-3，1)，B(-2，4)，C(7，1)三点，
所以
解得
所以圆M的方程为(x-2)2+(y-1)2=25，
故|MB|=r=5.
题型3　直线、圆的位置关系
考向1　直线与圆的位置关系
例3　C　
解析　因为b是a，c的等差中项，所以2b=a+c，所以c=2b-a，代入直线方程ax+by+c=0中，得ax+by+2b-a=0，即a(x-1)+b(y+2)=0，令得故直线ax+by+c=0恒过点(1，-2).设P(1，-2)，将圆的方程x2+y2+4y-1=0化为标准方程，得x2+(y+2)2=5.
设圆心为C(0，-2)，在同一平面直角坐标系中画出直线与圆的图象，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
又|PC|=1，|AC|=，所以|AB|min=2|AP|=2=2=4.故选C.
跟踪训练　
【解析】设∠PCA=θ，AB与CP相交于点H，如图所示，
因为C为线段OP的中点，所以|PC|=|OC|==m，圆的半径r=m，
圆心到直线的距离d==.
因为在Rt△CAP与Rt△CAH中，可得cos θ==，所以=，解得m=1或m=.
又C为OP的中点，所以圆心C(m，2m)在直线x+2y-2=0的下方，
所以m+4m-2<0，即m<，所以m=.
考向2　圆与圆的位置关系
例4　3x+4y-5=0或x=-1或7x-24y-25=0
【解析】由两圆方程可得，两圆圆心距d==5，两圆半径分别为r1=1，r2=4，
∵r1+r2=5=d，
∴两圆外切，∴两圆有三条公切线，如图所示.
∵kOC=，∴=-，设直线l1：y=-x+b，即3x+4y-4b=0，由=1，得b=(负值舍去)，
∴直线l1的方程为3x+4y-5=0.
由图可知，l2：x=-1，且l2与l3关于直线y=x对称，
由解得
即直线l2与l3的一个交点为-1，-，
在l2上取一点(-1，0)，设该点关于直线y=x的对称点为(x0，y0)，
则解得
∴==，
∴直线l3的方程为y=(x+1)-，即7x-24y-25=0.
故与两圆都相切的一条直线方程可以是3x+4y-5=0或x=-1或7x-24y-25=0.
跟踪训练　C
【解析】由已知条件知圆(x-a)2+(y-a-1)2=4与圆x2+y2=9有两个交点，则由两圆相交的条件可知1<<5，即1<2a2+2a+1<25，由2a2+2a+1<25，解得-40或a<-1.
综上，实数a的取值范围为(-4，-1)∪(0，3).
1.D
【解析】因为x2+y2-4x-1=0，即(x-2)2+y2=5，所以圆心C(2，0)，半径r=，由圆的切线性质可知，CA⊥PA，CB⊥PB，所以P，A，C，B四点在以PC为直径的圆上，又P(0，-2)，C(2，0)，所以该圆的方程为x(x-2)+(y+2)y=0，即x2+y2-2x+2y=0.
2.C
【解析】因为x2+y2-4x-1=0，即(x-2)2+y2=5，所以圆心C(2，0)，半径r=，又P(0，-2)，则|PC|==2，则|PA|=|PB|==，可得sin∠APC==，则cos∠APB=cos 2∠APC=1-2sin2∠APC=1-2×2=-，所以·=||·||·cos∠APB=()2×-=-.
3.B
【解析】因为a，b，c成等差数列，所以2b=a+c，所以c=2b-a，代入直线方程ax+by+c=0中，得ax+by+2b-a=0，即a(x-1)+b(y+2)=0，
令得
故直线ax+by+c=0恒过点(1，-2).
设P(1，-2)，将圆的方程x2+y2+4y-1=0化为标准方程，得x2+(y+2)2=5.
设圆心为C(0，-2)，则|PC|=1<，即点P在圆C内，所以该直线与圆一定相交.
故选B.
4.-2或+2
【解析】由圆的方程知，圆心C(2，0)，半径r=4，则圆心C到直线l：y=kx+2的距离d=.
因为弦长|AB|=2，所以S△ABC=×d×2=≤=8，当且仅当d2=16-d2，即d=2时取等号，
所以当△ABC的面积最大时，d==2，解得k=±2.
5.(x-1)2+(y-1)2=2或(x-1)2+(y-3)2=10或(x-5)2+(y-1)2=10
【解析】易得(0，0)，(2，2)，(4，4)三点共线，没有过该三点的圆，过其余任意三点都可以有一个圆.
若过(0，0)，(2，0)，(2，2)三点，这三点构成等腰直角三角形，则过这三点的圆的圆心坐标为(1，1)，半径r=，故圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
设过不共线三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
若过(0，0)，(2，0)，(4，4)三点，
则有解得
所以所求圆的一般方程为x2+y2-2x-6y=0，化为标准方程为(x-1)2+(y-3)2=10.
若过(2，0)，(2，2)，(4，4)三点，
则有
解得所以所求圆的一般方程为x2+y2-10x-2y+16=0，化为标准方程为(x-5)2+(y-1)2=10.
1.B
【解析】若直线xsin θ+y-1=0与x+ycos θ+1=0平行，
则sin θ≠0，cos θ≠0，所以=≠，
则sin θcos θ=，sin 2θ=，sin 2θ=1，2θ=+2kπ(k∈Z)，θ=+kπ(k∈Z)，故不是充分条件；
反之，当θ=时，=≠成立，故是必要条件.
故“直线xsin θ+y-1=0与x+ycos θ+1=0平行”是“θ=”的必要不充分条件.
2.C
【解析】圆(x-1)2+y2=2的圆心坐标为(1，0)，半径为r=.
则圆心(1，0)到直线l：x-y-2=0的距离d==.
所以圆上的点C到直线l：x-y-2=0的距离的最大值为+=.
3.D
【解析】由题意可知，圆C1：(x+1)2+(y+1)2=1是以(-1，-1)为圆心，1为半径的圆；
圆C2：x2+y2-4x-4y-1=0，即(x-2)2+(y-2)2=9是以(2，2)为圆心，3为半径的圆.
因为圆心距|C1C2|==3>1+3=4，所以两圆相离，所以两圆的公切线条数为4.
4.C
【解析】当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为x=0，此时|MN|=2，符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+1，即kx-y+1=0，
则圆心C到直线l的距离d=，又|MN|=2=2=2，∴d==1，解得k=-，则直线l的方程为y=-x+1，即4x+3y-3=0.
综上可知，直线l的方程为x=0或4x+3y-3=0.故选C.
5.D
【解析】设∠BPA=θ，则sin ==，
因为∠BPA=θ<恒成立，所以sin =<，即|PC|>2恒成立，
又|PC|的最小值为点C到直线l的距离，设此距离为d，则d=，所以>2，解得a>2或a<-2.
6.BD
【解析】由直线l的倾斜角为45°得出直线l的斜率为1，由直线l过点(3，0)，得直线l的方程为y=x-3，故选项A错误；
设Q(x，y)，∵|QA|=2|QO|，∴|QA|2=4|QO|2，∴(x-3)2+y2=4(x2+y2)，
可得动点Q的轨迹为圆C：(x+1)2+y2=4，故选项B正确；
因为圆心C(-1，0)到直线l的距离d==2，所以由|PQ|≥|CP|-|CQ|≥d-2，可知|PQ|的最小值为d-2=2-2，|PQ|无最大值，所以选项C错误，选项D正确.故选BD.
7.ABD
【解析】将圆C的方程化为标准方程，得(x+1)2+y2=4，圆心C(-1，0)，半径r=2.
又P(0，1)，所以|CP|=.因为点M在圆C上，所以|MP|∈[2-，2+]，
所以存在点M，使得|MP|=1，故A正确.
因为(1+1)2+22=8>4，所以点Q在圆外，又|CP|=所以当QM与圆C相切时(如图所示)，∠MQP取得最大值，最大值为，所以∠MQP≤，故B正确.
设M(x，y)，若|MQ|=|MP|，则|MQ|2=2|MP|2 (x-1)2+(y-2)2=2[x2+(y-1)2] x2+y2+2x-3=0，
又点M在圆C上，所以|MQ|=|MP|一定成立，C错误，故D正确.
故选ABD.
8.
【解析】由x2+y2+2x-4y-4=0，得(x+1)2+(y-2)2=9，
所以圆C的圆心坐标为(-1，2)，半径为3.
因为直线l：ax-y+3=0是圆C：x2+y2+2x-4y-4=0的对称轴，所以l经过点(-1，2).
由-a-2+3=0，得a=1，所以点P的坐标为(1，-2)，则|PC|==2.
因为圆C的半径为3，所以|PQ|==.
9.1+
【解析】圆x2+y2=4的圆心为O(0，0)，设切点为A(，)，则kOA==1，即切线l的斜率k=-1，
故切线l的方程为y-=-(x-)，即x+y-2=0.
由圆的性质知，|PQ|的最小值为点(-1，0)到直线x+y-2=0的距离减去1，即|PQ|min=-1=1+.
10.D
【解析】
如图所示，作OM⊥AB于点M，作ON⊥CD于点N，易知|OP|=，设|OM|=m，|ON|=n，则m2+n2=5，所以|AB|=2，|CD|=2，所以S四边形ACBD=|AB|·|CD|=2·≤2×=15，
当且仅当=，即m=n=时取等号.
所以四边形ACBD的面积的最大值为15.
11.B
【解析】
如图，点O关于直线l的对称点为A(1，1)，
由题意知射线y=kx(x≥0)与直线l不平行，故k≠-1.
由
得即P，.
故直线AP的斜率kAP==，
因此，直线AP的方程为y-1=(x-1).
令y=0，得x=1-k，故M(1-k，0)，令x=0，得y=1-，由对称性可得N0，-1.
由||=，得(1-k)2+-12=，即k+2-2k+=，
易得k+=，解得k=或k=.
若k=，则光线第二次反射后不会与y轴相交，故不符合条件.
故k=.
12.B
【解析】由y=kx+m(km≠0)，得A-，0，B(0，m)，由|AB|=2，得-2+m2=8.
由CA⊥CB，得·=0，即点C在以AB为直径的圆上，因此点C的轨迹为一动圆(不包含A，B两点)，如图所示.
设该动圆的圆心坐标为(x'，y')，则有x'=-，y'=，即=-2x'，m=2y'，代入-2+m2=8中，整理得x'2+y'2=2，即点C的轨迹的圆心在圆x'2+y'2=2上(除去圆与坐标轴的交点).
易知点D(1，1)与圆x'2+y'2=2上点(-1，-1)的距离加上动圆的半径即为点C到点D(1，1)的距离的最大值，
所以最大值为+=3.
13.-
【解析】根据题意可知，圆C：x2+(y-2)2=16的圆心为C(0，2)，半径r=4，连接PC，AC，BC，可得PA⊥CA，∠APB=2∠APC.
在Rt△APC中，sin∠APC===，
可得cos∠APB=1-2sin2∠APC=1-，
由此可得，当|CP|为最小值时，cos∠APB有最小值，即∠APB最大.因为点C到直线l：x+2y+6=0的距离d==2，所以|CP|min=2，此时cos∠APB=1-=-.
综上所述，当CP⊥l时，∠APB最大，此时cos∠APB=-.
14.
【解析】易知k≠0，(x-4)2+y2=9的圆心为M(4，0)，半径为3，
则点M(4，0)到直线y=kx的距离d=<3，解得k2<，
点C(6，0)到直线y=kx的距离h=，|AB|=2，故S△ABC=|AB|h=h=·，
令=t(t>0)，由d=<3，得0则S△ABC=6t=6=6，
当t=时，S△ABC取得最大值，最大值为.
15.C
【解析】设点P(x，y)，则有x2+(y+2)2=9，由AP⊥BP，得点P在以AB为直径的圆上(不与A，B重合)，即在圆x2+y2=1上(不与A，B重合)，则两圆的圆心距为2，半径之和为3+1=4，半径之差为3-1=2，所以两圆相内切，故满足这样的点P只有1个.
16.ACD
【解析】设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则圆心C的坐标为(a，b)，由题意可知当圆C的面积最小时，a=0，此时r=1，|b|=，
可得圆心C的坐标为0，或0，-，圆的面积为π，所以A，D正确；
对于B，圆C截x轴所得的弦长为2×=，所以B错误；
对于C，圆心C0，-到直线x+y=2的距离d==，所以C正确.
故选ACD.