【高考题型分类突破】专题10 圆锥曲线的方程与性质 2025年高考数学二轮专题复习 学案（含答案）

专题十 圆锥曲线的方程与性质
【题型分析】
考情分析：
1.圆锥曲线的定义、方程与性质是历年高考的必考内容，多以小题的形式出现，难度中等；
2.椭圆的离心率、双曲线的离心率与渐近线是高考的热点，尤其是离心率的取值范围问题，综合知识较多，难度中等及以上.
题型1 圆锥曲线的定义与标准方程
例1　(1)已知抛物线C：y=x2的焦点为F，则点F到抛物线C的准线的距离是(　　).
A. B. C.1 D.2
(2)已知椭圆的方程为+=1(m>n>0)，且离心率e=，则下列选项不满足条件的为(　　).
A.+y2=1 B.+=1
C.+y2=1 D.x2+4y2=1
方法总结：
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
(1)抛物线的标准方程中忽略p>0，忽略焦点所在轴由标准方程中的一次项确定.若一次项的系数为正，则焦点在正半轴；若一次项的系数为负，则焦点在负半轴.
　　(2)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2=b2+c2，双曲线中的关系式为c2=a2+b2；圆锥曲线方程确定时忽略焦点的位置.
1.与椭圆+=1有公共焦点，且离心率e=的双曲线的方程为(　　).
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
2.已知点A(2，0)，抛物线C：x2=4y的焦点为F.射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|=(　　).
A.2∶ B.1∶2 C.1∶ D.1∶3
题型2 椭圆、双曲线的几何性质
例2　(1)(2023年全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：+=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=，则|OP|=(　　).
A. B. C. D.
(2)(2024年天津卷)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　).
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(3)(2024年新高考全国Ⅰ卷)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为　　　　.
方法总结：
求解椭圆或双曲线离心率及其取值范围的三种方法
(1)基本量法：通过条件找出基本量a，b，c的数量关系，然后根据离心率的定义求解.椭圆中的关系式为a2=b2+c2，则离心率e==；双曲线中的关系式为c2=a2+b2，则离心率e==.
(2)齐次式法：充分利用椭圆和双曲线的几何性质，由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程(或不等式)，然后转化为关于离心率e的一元二次方程(或不等式)，进而求解.
(3)特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
1.(2023年新高考全国Ⅰ卷)设椭圆C1：+y2=1(a>1)，C2：+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=e1，则a=(　　).
A. B. C. D.
2.(原创)已知P为双曲线-=1(a>0，b>0)右支上的一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若点F2到渐近线的距离为2a，点M为△PF1F2的内心，且=+λ，则λ的值为(　　).
A. B. C. D.
3.(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，=-，则C的离心率为　　　　.
题型3 抛物线的性质及应用
例3　(1)已知抛物线x2=y的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点M，则(　　).
A.y1y2=
B.+=4
C.∠AMB=90°
D.若△AMB的外接圆的直径为2，则直线AB的方程为y=±x+
(2)(2024年新高考全国Ⅱ卷)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上动点，过P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则(　　).
A.直线l与☉A相切
B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=
C.当|PB|=2时，PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
方法总结：焦点弦的几何性质
如图，已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，F是抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，过点A，B分别作准线l的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，M(x0，y0)为AB的中点，作MM'⊥CD于点M'，N为准线l与x轴的交点，可以得到以下结论：
(1)A，O，D三点共线，且B，O，C三点共线；
(2)AM'⊥BM'，CF⊥DF，M'F⊥AB；
(3)以线段AB为直径的圆与准线相切(切点为M')，以线段CD为直径的圆与线段AB相切(切点为F)，以线段AF或线段BF为直径的圆与y轴相切；
(4)∠ANF=∠BNF；
(5)|AF|=，|BF|=；
(6)|AB|=x1+x2+p=2x0+=，|AB|=2p1+；
(7)y1y2=-p2，x1x2=，|y1-y2|=；
(8)kOA·kOB=-4，·=-p2；
(9)+=；
(10)=.
1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，点Q在抛物线C的准线上，则以下说法正确的是(　　).
A.|PQ|+|PF|的最小值是2
B.|PQ|≥|PF|
C.当点P的纵坐标为4时，存在点Q，使得=3
D.若△PQF是等边三角形，则点P的横坐标是3
2.(2024年天津卷)圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为　　　　.
【真题改编】
1.(2023年新高考全国Ⅰ卷，T5改编1)设双曲线C1：x2-=1(a>0)，C2：-y2=1的离心率分别为e1，e2.若e1·e2=，则a=(　　).
A.2 B. C. D.3
2.(2023年新高考全国Ⅰ卷，T5改编2)设双曲线C1：-y2=1(a>0)，C2：-y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=e1，则a=(　　).
A. B. C. D.
3.(2024年全国甲卷，理科T5改编)已知双曲线的两个顶点分别为(0，2)，(0，-2)，点(-6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　).
A.4 B.3 C.2 D.
4.(2024年新高考全国Ⅱ卷，T5改编)已知双曲线C：x2-y2=9(y>0)，从C上任意一点P向y轴作垂线段PP'，P'为垂足，若点M满足=2，则点M的轨迹方程为(　　).
A.-y2=1(y>0) B.x2-=1(y>0)
C.x2-y2=9(y>0) D.-=9(y>0)
5.(2024年新高考全国Ⅱ卷，T10改编)如图，抛物线C：y2=8x的准线为l，P为C上的动点，过点P作圆A：x2+(y-a)2=4(a∈R)的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则(　　).
A.对 a∈R，均有l与圆A相切
B.若a=8，且当P，A，B三点共线时，|PQ|=7
C.对 a≠0，均存在点P，使∠BAP=
D.满足|AP|=|PF|的点P有且仅有2个
6.(2023年新高考全国Ⅰ卷，T16改编)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，⊥，=-，则C的离心率为　　　　.
【最新模拟】
(总分：85分　单选题每题5分，多选题每题6分，填空题每题5分)
1.若P为椭圆C：+=1上一点，F1，F2为C的两个焦点，且|PF2|=8，则|PF1|=(　　).
A.10 B.12 C.14 D.16
2.关于双曲线-=1和-=1的焦距和渐近线，下列说法正确的是(　　).
A.焦距相等，渐近线相同
B.焦距相等，渐近线不相同
C.焦距不相等，渐近线相同
D.焦距不相等，渐近线不相同
3.已知A(3，0)，B(-3，0)，P是椭圆+=1上的任意一点，则|PA|·|PB|的最大值为(　　).
A.9 B.16 C.25 D.50
4.已知直线x=ty+3过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，则(　　).
A.p=3
B.p=6
C.|MN|的最小值为6
D.|MN|的最小值为12
5.已知椭圆C1：+=1的两个焦点与椭圆C2：+=1(m>0)的两个焦点构成正方形的四个顶点，则m=(　　).
A. B. C.7 D.5
6.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2+8x+7=0相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　).
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
7.已知F1，F2是双曲线C：-x2=1的上、下焦点，M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1F2为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有(　　).
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2
C.点M的横坐标为±
D.△MF1F2的面积为
8.已知F1，F2分别为双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为2c，且c=，则该双曲线的离心率是　　　　.
9.已知椭圆C：+=1的焦点在x轴上，且F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，则下列结论正确的是(　　).
A.B.C的离心率为
C.存在m，使得∠F1PF2=90°
D.△F1PF2面积的最大值为
10.设点A，B的坐标分别是(-5，0)，(5，0)，M是平面内的动点，直线MA，MB的斜率之积为λ，动点M的轨迹C与曲线y2=2|x|有四个交点，以这四个交点为顶点的矩形的面积等于48，则轨迹C的离心率等于(　　).
A. B. C. D.
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是(　　).
A.|AB|的最小值为4
B.设Q(3，2)，则△QAF周长的最小值为4
C.以AF为直径的圆与y轴相切
D.若=2，则直线l的斜率为2或-2
12.如图，已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别是A1，A2，圆x2+y2=a2与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若△MPA2是等腰三角形，且∠PA2M的平分线与y轴平行，则C的离心率为(　　).
A.2 B. C. D.
13.已知F为拋物线C：y=x2的焦点，过点F的直线l与拋物线C交于不同的两点A，B，拋物线C在点A，B处的切线分别为l1和l2，若l1和l2交于点P，则|PF|2+的最小值为　　　　.
14.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|=|AB|，若△OAF1的面积为b2，其中O为坐标原点，则的值为　　　　.
15.(改编)当m变化时，方程(m-1)x2+(m-3)y2=(m-1)(3-m)所表示的曲线可以是(　　).
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.直线
16.(原创)已知F1，F2分别是双曲线C：-=1的左、右焦点，点M(x，y)满足|MF1|+|MF2|为定值，且|MF1|·|MF2|的最大值为9，则点M的轨迹方程为　　　　.
参考答案
专题十 圆锥曲线的方程与性质
题型1　圆锥曲线的定义与标准方程
例1　(1)C　(2)C
【解析】(1)由题意可知，抛物线C的标准方程为x2=2y，则p=1，
即点F到抛物线C的准线的距离是1.
(2)椭圆的方程为+=1(m>n>0)，则a=，b=，
离心率e====，解得=，即m=4n，显然C不满足条件.
跟踪训练
1.B
【解析】椭圆+=1的焦点坐标分别为(-3，0)，(3，0).
在双曲线中，c=3，e==，所以a=2，b2=c2-a2=9-4=5，所以双曲线的方程为-=1.
2.C
【解析】∵抛物线C：x2=4y的焦点为F(0，1)，
∴抛物线C的准线方程为y=-1.
又F(0，1)，A(2，0)，∴直线FA的方程为x+2y-2=0，过点M作MP垂直准线于点P(图略)，根据抛物线的定义可知|FM|=|PM|，又=，
∴|MN|=|PM|，∴=，
故|FM|∶|MN|=1∶.
题型2　椭圆、双曲线的几何性质
例2　(1)B　(2)C　(3)
【解析】(1)
依题意知a=3，b=，c==.如图，不妨令F1(-，0)，F2(，0).
设|PF1|=m，|PF2|=n，|OP|=x.
在△F1PF2中，cos∠F1PF2==，　①
由椭圆的定义可得m+n=2a=6.　②
由①②，解得mn=.
因为在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP+∠F2OP=π，分别由余弦定理可得=-，即x2===，所以|OP|=.
(2)如图，由题意可知，点P必落在第四象限，且∠F1PF2=90°，设|PF2|=m，∠PF2F1=θ1，∠PF1F2=θ2，由=tan θ1=2，求得sin θ1==.
因为∠F1PF2=90°，所以·=-1，求得=-，即tan θ2=，sin θ2=.
由正弦定理得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|=sin θ1∶sin θ2∶sin 90°=2∶1∶，则由|PF2|=m得|PF1|=2m，|F1F2|=2c=m.
由=|PF1|·|PF2|=·2m·m=8得m=2，
则|PF2|=2，|PF1|=4，|F1F2|=2c=2，所以c=，
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=2，所以a=，所以b==2，所以双曲线的方程为-=1.
(3)如图，设点A在第一象限，将x=c代入-=1，得y=±，即Ac，，Bc，-，
故|AB|==10，|AF2|==5.
又|F1A|-|AF2|=2a，得|F1A|=|AF2|+2a=5+2a=13，解得a=4，代入=5，得b2=20，
故c2=a2+b2=36，即c=6，所以e==.
跟踪训练
1.A
【解析】由已知得e1=，e2==，因为e2=e1，所以=×，得a=.
2.D
【解析】由题意可知F2(c，0)，渐近线方程为y=±x，则有=2a，则b=2a，得e=.设△PF1F2的内切圆半径为R，由题意知-=λ，即·|PF1|·R-·|PF2|·R=·λ|F1F2|·R，即·2a·R=·2cλ·R，所以λ===.
3.
【解析】由题意可知，F1(-c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，则=(x1-c，y1)，=(-c，y0).
因为=-，所以
即所以Ac，-y0，所以=c，-y0，=(c，y0).
因为⊥，所以·=0，
即c2-=0，解得=4c2.
因为点Ac，-y0在双曲线C上，所以-=1，又=4c2，
所以-=1，即-=1，
化简得=，所以e2=1+=，所以e=.
题型3　抛物线的性质及应用
例3　(1)BCD　(2)ABD
【解析】(1)对于A，由题意可知，F0，，直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=kx+，将y=kx+代入抛物线方程，得x2-kx-=0，则x1x2=-，y1y2==，故A错误；
对于B，|FA|=y1+，|FB|=y2+，+===4，故B正确；
对于C，由x2=y得y'=2x，所以kAM=2x1，kBM=2x2，kAM·kBM=4x1x2=-1，所以AM⊥BM，故C正确；
对于D，由C可知AM⊥BM，所以△AMB的外接圆直径为AB，所以|AB|=2，则|AB|=|FA|+|FB|=y1+y2+=2，故y1+y2=，
即+=(x1+x2)2-2x1x2=，所以k2+=，解得k=±1，所以直线AB的方程为y=±x+，故D正确.故选BCD.
(2)对于A，因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，所以圆心A(0，4)到直线x=-1的距离为1，且等于☉A的半径，所以准线l和☉A相切，故A正确.
对于B，当P，A，B三点共线时，PA⊥l，则点P的纵坐标yP=4，由=4xP，得xP=4，故P(4，4)，此时切线长|PQ|===，故B正确.
对于C，当|PB|=2时，xP=1，此时=4xP=4，故P(1，2)或P(1，-2)，
当P(1，2)时，A(0，4)，B(-1，2)，kPA==-2，kAB==2，不满足kPAkAB=-1.
当P(1，-2)时，A(0，4)，B(-1，-2)，kPA==-6，kAB==6，不满足kPAkAB=-1.
综上，PA⊥AB不成立，故C错误.
对于D，设P，t，由PB⊥l可得B(-1，t)，又A(0，4)，|PA|=|PB|，
所以=+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有2个解，即存在2个这样的点P，故D正确.故选ABD.
跟踪训练
1.ABD
【解析】对于A，由题意得F(1，0)，准线方程为x=-1，如图1，设准线与x轴的交点为W，过点P作PA垂直抛物线C的准线，垂足为A，
由抛物线的定义可知，|PF|=|PA|，则|PQ|+|PF|=|PQ|+|PA|，
故当点Q与点A重合时，(|PQ|+|PF|)min=2|PA|，
显然，当点P与点O重合时，|PA|取得最小值，最小值为|OW|=1，
故|PQ|+|PF|的最小值为2，故A正确；
对于B，由A选项知|PQ|≥|PA|=|PF|，当点Q与点A重合时，等号成立，故B正确；
对于C，当点P的纵坐标为4时，令y=4，得x=4，
故P(4，4)，假设存在点Q，使得=3，
则点Q为直线PF与准线x=-1的交点，
直线PF的方程为=，即4x-3y-4=0，
在4x-3y-4=0中，令x=-1，得y=-，故点Q-1，-，
此时=2，，=(3，4)，=，故C错误；
对于D，如图2，若△PQF是等边三角形，则|PF|=|PQ|，
因为|PF|=|PA|，所以|PA|=|PQ|，即点Q与点A重合，
则PQ⊥y轴，则∠PQF=∠QFW=，
又|WF|=2，所以|QF|==2×2=4，所以|PQ|=|QF|=4，
故点P的横坐标是4-1=3，故D正确.故选ABD.
2.
【解析】圆(x-1)2+y2=25的圆心为F(1，0)，故=1，即p=2，
由得x2+2x-24=0，故x=4或x=-6(舍去)，所以A(4，±4)，
故直线AF的方程为y=±(x-1)，即4x-3y-4=0或4x+3y-4=0.
故原点到直线AF的距离d==.
1.B
【解析】由已知得e1=，e2==，又e1·e2=，所以×=，解得a=.
2.D
【解析】由已知得e1=，e2==，又e2=e1，所以=，解得a=.
3.C
【解析】依题意得a=2，设双曲线的方程为-=1(b>0).
因为点(-6，4)在该双曲线上，
所以-=1，解得b2=12，
则c2=a2+b2=4+12=16，即c=4，
所以e===2.
4.B
【解析】设M(x，y)，P(x0，y)，则P'(0，y)，
因为=2，所以x-x0=-2x，解得x0=3x，即P(3x，y)，
又点P在双曲线C：x2-y2=9(y>0)上，
所以9x2-y2=9(y>0)，即x2-=1(y>0)，
故点M的轨迹方程为x2-=1(y>0).故选B.
5.ACD
【解析】对于A，因为圆A的半径为2，圆心A(0，a)到准线x=-2的距离为2，所以对 a∈R，均有l与圆A相切，故A正确；
对于B，若a=8，且P，A，B三点共线，则P(8，8)，所以|AP|=8，
故|PQ|===2，故B错误；
对于C，因为A(0，a)，a≠0，设P(2t2，4t)，当t=0时，点P与点O重合，得∠BPA=(舍去)，即t≠0，则B(-2，4t)，
所以kAB=，kAP=，若∠BAP=，则kAB·kAP=-1，
故4at-a2-16t2+4at=-4t2，即12t2-8at+a2=0，解得t=a或t=a，
所以对 a≠0，均存在点P，使得kAB·kAP=-1，即∠BAP=，故C正确；
对于D，设P(2t2，4t)，则B(-2，4t)，
所以|PF|=2t2+2，因为A(0，a)，所以|AP|=，所以当|AP|=|PF|时，2t2+2=，即8t2-8at+a2-4=0，
因为Δ=(-8a)2-32(a2-4)=32a2+128>0，所以对于 a∈R，均使得方程有2个不相等的实根，
即满足|AP|=|PF|的点P有且仅有2个，故D正确.故选ACD.
6.
【解析】依题意，点F2，A，B在同一条直线上，设|F2A|=2m，m>0，则|F2B|=3m，|AB|=5m，则|F1B|=|F2B|=3m.由椭圆的定义知|F1A|=2a-2m.
因为⊥，所以在Rt△BF1A中，(3m)2+(2a-2m)2=(5m)2，
整理得(a-3m)(a+m)=0，故a=3m或a=-m(舍去)，
所以|F1A|=2a-2m=，|F2A|=，|AB|=，
所以cos∠F1AB===cos∠F1AF2.
在△F1AF2中，cos∠F1AF2===，整理得a2=5c2，则e==，故C的离心率为.
1.C
【解析】由椭圆方程可知，a=11，则|PF1|+|PF2|=22，即|PF1|+8=22，解得|PF1|=14.
2.B
【解析】双曲线-=1的焦距为2=4，渐近线方程为y=±x.
双曲线-=1的焦距为2=4，渐近线方程为y=±2x.
因此，两双曲线的焦距相等，渐近线不相同.
3.C
【解析】由已知得A，B分别为椭圆的右、左焦点，所以|PA|+|PB|=2a=10≥2，当且仅当|PA|=|PB|=5时，等号成立，
所以≤5，即|PA|·|PB|≤25，故|PA|·|PB|的最大值为25.
4.BD
【解析】由直线x=ty+3与x轴的交点坐标为(3，0)，得=3，即p=6，故A错误，B正确；
当直线x=ty+3垂直于x轴，即t=0时，|MN|取得最小值，最小值为2p=12，故C错误，D正确.
5.A
【解析】由题意可得椭圆C2：+=1(m>0)的两个焦点在y轴上，由椭圆C1，C2的四个焦点构成正方形的四个顶点，可得16-m2=12-3，解得m=.
6.D
【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y=x，即bx-ay=0.因为圆C：x2+y2+8x+7=0的标准方程为(x+4)2+y2=9，所以圆心为C(-4，0)，半径r=3，所以=3，又a2+b2=16，解得a=，b=3，所以该双曲线的方程为-=1.
7.AD
【解析】对于A，由双曲线方程-x2=1知a=，b=1，焦点在y轴上，渐近线方程为y=±x=±x，故A正确.
对于B，c==，以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=3，故B错误.
对于C，由得或由得或
故点M的横坐标是±1，故C错误.
对于D，=|F1F2|·|xM|=×2×1=，故D正确.
8.2+
【解析】设|PF2|=m，则m≥c-a，由双曲线的定义知，|PF1|-|PF2|=2a，
所以|PF1|=m+2a，==m++4a.若令m=，则m=2a.
当2a≥c-a，即a≥c时，
=m++4a≥2+4a=8a≥c>2c，不符合题意；
当2a3时，
y=m++4a在m∈[c-a，+∞)上单调递增，
所以当m=c-a时，取得最小值，
故c-a++4a=2c，化简得c2-4ac-a2=0，
即e2-4e-1=0，解得e=2-(舍去)或e=2+.
综上所述，该双曲线的离心率是2+.
9.ACD
【解析】A选项，椭圆C：+=1的焦点在x轴上，故m>1-m>0，解得B选项，设F1(-c，0)，F2(c，0)，则c2=m-(1-m)=2m-1，
故C的离心率为=，B错误；
C选项，以F1F2为直径，原点O为圆心的圆的方程为x2+y2=2m-1，与椭圆C：+=1联立，消去y得+=1，整理得(1-2m)x2=2m-3m2，因为所以当≤m<1时，2-3m≤0，1-2m<0，有x2=≥0，此时P为圆O与椭圆C的交点之一，使得∠F1PF2=90°，
故存在m，使得∠F1PF2=90°，C正确；
D选项，因为=|F1F2|·h(h为点P到x轴的距离)，所以当点P位于上顶点或下顶点时，取得最大值，
又|F1F2|=2，所以△F1PF2的最大面积为|F1F2|·=·==，
因为10.B
【解析】设M(x，y)，则·=λ，所以动点M的轨迹C的方程为λ=(x≠±5).
设轨迹C与曲线y2=2|x|在第一象限的交点为P(x0，y0)，则x0>0，y0>0，且=2x0，由对称性可知矩形的面积S=2x0·2y0=·2y0=48，
解得y0=2，x0=6，故P(6，2).
因为点P(6，2)在曲线C上，所以λ===.
因为轨迹C的方程可化为-=1(x≠±5)，所以轨迹C是双曲线，且a2=25，b2=25λ，
则e2===1+=，所以e=.
11.ACD
【解析】抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1，所以=1，则p=2，所以抛物线C：y2=4x.
由题意可知直线AB的斜率不为0，则可设直线l的方程为x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2-4my-4=0.
易知Δ>0，可得y1+y2=4m，y1y2=-4，
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=m(y1+y2)+4=4m2+4≥4，
所以|AB|的最小值为4，故A正确.
如图，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于点A1，F(1，0).
根据抛物线的定义可得|AF|=|AC|，所以△QAF的周长为|AF|+|AQ|+|QF|=|AC|+|AQ|+=|AC|+|AQ|+2.
由图可知，当点A，C，Q在同一直线上时，|AC|+|AQ|有最小值，最小值为点Q到准线x=-1的距离，即3-(-1)=4，
所以△QAF周长的最小值是4+2，故B错误.
取AF的中点D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1，
则DD1是梯形OFAA1的中位线.由抛物线的定义可得|AA1|=|AC|-|A1C|=|AF|-1，
所以|DD1|===，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C正确.
因为=2，所以y2=-2y1，又y1+y2=4m，所以解得y2=8m，y1=-4m，
所以y1y2=-32m2=-4，解得m=±.
设直线l的斜率为k，则k==±2，故D正确.故选ACD.
12.B
【解析】由且点M在第一象限，可得M，，又A1(-a，0)，A2(a，0)，
所以|MA1|2=+a2+2=2a21+，
|MA2|2=-a2+2=2a21-.
由题意可知，∠A1MA2=∠PMA2=90°，故△MPA2是等腰直角三角形，所以∠MA2P=45°，
又∠PA2M的平分线与y轴平行，所以∠MA1A2=22.5°，
又tan 45°==1，所以tan 22.5°=-1，
则tan2∠MA1A2=2==(-1)2，可得=3-2，所以e=.故选B.
13.10
【解析】抛物线C：x2=4y的焦点为F(0，1)，由题意可知直线AB的斜率存在，则可设直线AB的方程为y=kx+1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立直线AB与抛物线C的方程并消去y得x2-4kx-4=0，则|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4.
对y=x2求导可得y'=x，故直线AP的方程为y-y1=x1(x-x1)，
又y1=，所以y=x1x-.
同理可得，直线BP的方程为y=x2x-.
由可得(x1-x2)x=(-)，解得x=，代入可得P，.由根与系数的关系，得P(2k，-1)，所以|PF|=.
故|PF|2+=4k2+4+≥2=10，当且仅当4k2+4=，即k=±时取等号.故|PF|2+的最小值为10.
14.
【解析】如图，设|AF1|=m，|AF2|=n，∠F1AF2=θ，θ∈(0，π)，则m+n=2a.
在△F1AF2中，可知=2=b2，
即mnsin θ=b2，可得mn=.
由余弦定理可得4c2=m2+n2-2mncos θ=(m+n)2-2mn-2mncos θ，
即4c2=4a2--cos θ，可得sin θ-cos θ=1，
则由解得
或
又因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以可知θ=.
又因为|AF1|=|AB|，所以△ABF1为等边三角形，所以|AF1|=|BF1|.
由对称性可知AB⊥x轴，
则m=2n，2c=n，所以==.
15.BCD
【解析】(1)当m=1时，方程为y=0，表示直线.
(2)当m=3时，方程为x=0，表示直线.
(3)当(3-m)(m-1)≠0时，整理方程得+=1.
①当即m<1时，该方程表示椭圆；
②当即116.+=1
【解析】由题意知F1(-，0)，F2(，0)，因为|MF1|+|MF2|为定值，由|MF1|·|MF2|≤2=9，当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号，得|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=2，所以点M的轨迹是以F1(-，0)，F2(，0)为焦点的椭圆，于是可设椭圆方程为+=1(a>b>0)，则2a=6，a=3.又c=，所以b2=a2-c2=4，所以点M的轨迹方程为+=1.