第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除（1）
【教学目标】
知识与技能
1.探索二次根式乘法法则；
2．能根据二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算．
过程与方法
用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘法规定，并运用规定进行计算．
情感态度价值观
培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯.
【教学重难点】
重点：二次根式乘法法则的探究和应用
难点：根据二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算
【导学过程】
【知识回顾】
1、计算：
（1）×=______ =_______
（2） × =_______ =_______
（3） × =_______ =_______
2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：
（1）×_____
（2）×____
（3） ×__
【新知探究】
探究一、
1、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？
能用数学表达式表示发现的规律吗？
2、二次根式的乘法法则是：
探究二、例1
练习、依照例题进行计算：
（1）× （2）2×3
（3）· （4）··
探究三、把二次根式乘法法则反过来，就得到
。
探究四、例2、例3
练习、化简：
① ②
③ ④
【知识梳理】
1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？
2、如何二次根式的乘法法则进行计算？
【随堂练习】
1、判断下列各式是否正确并说明理由。
（1）＝
（2）=ab
（3） 6×（-2）==
（4） =＝＝12
2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1) -3 (2)第十六章 二次根式
16.3二次根式的加减（2）
【教学目标】
知识与技能
在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算．
过程与方法
引导法，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法
情感、态度与价值观
通过本节课的学习培养学生的类比思想.
【教学重难点】
重点：会应用二次根式的加减乘除法法则进行二次根式的运算
难点：熟练应用二次根式的加减乘除法法则进行二次根式的混合运算。
【导学过程】
【知识回顾】
计算:
（1）；
（2）；
（3）.
【新知探究】
探究一、例1、计算：
（1）（）× （2）
2、依照例题探究计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
探究二、
例2 计算：
（1）；
（2）；
（3）.
.
依照例题探究计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【知识梳理】
1. 以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然成立；
2.计算结果最后一定要化成最简形式.
【随堂练习】
1.计算：
（1） （2）
（3） （4）（-）（--）
（5）；
（6）.
2．已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）.第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除（2）
【教学目标】
知识与技能
1.会进行简单的二次根式的除法运算．
2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．
过程与方法
引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题．
情感、态度与价值观
通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.
【教学重难点】
重点：
会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算.
难点：
二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用．
【导学过程】
【知识回顾】
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
2、计算： （1）3×（-4） （2）
3、填空： （1）=________，=_________
（2）=________，=________
（3）=________，=_________
【新知探究】
探究一、1、由“知识回顾3题”可得规律：
规律：______； ______； _______；
2、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则：
。
把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质：
。
探究二、例4，
练习、仿照例题完成下面的题目：
计算：（1） （2）
探究三、例5，
练习、仿照例题完成下面的题目：
化简：（1） （2）
【知识梳理】
1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？
2、如何二次根式的除法法则进行计算？
3、商的算术平方根有什么性质？
4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？
【随堂练习】
1.计算：（1） （2） （3） （4）
2.化简：
（1） （2） （3） （4）第十六章 二次根式
16.1 二次根式(1)
【教学目标】
知识与技能
1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由；
2、掌握二次根式有意义的条件。
过程与方法
培养学生根据条件处理问题的能力
情感、态度与价值观
培养学生辩证唯物主义观点
【教学重难点】
重点：从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念
难点：二次根式有意义的条件；
【导学过程】
【情境导入】
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间
存在近似关系 ，其中地球半径R≈6 400 km．
如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们
的传播半径之比是
【知识回顾】
（1）已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的________, 记为______,
a一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；
正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
式子的意义是 。
【新知探究】
探究一、二次根式的概念
1． (a≥0)叫做二次根式.
二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
2.试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
，，，，，
探究二、例1 （P2）
1.当a为正数时指a的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a必须满足 , 才有意义。
2.式子的取值是非负数。
【知识梳理】
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
【随堂练习】
x取何值时，下列各二次根式有意义？
① ② ③
2、（1）若有意义，则a的值为___________．
（2）若 在实数范围内有意义，则x为（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
3、(1)在式子中，x的取值范围是 ____________.
(2)已知+＝0，则x-y＝ __________.
(3)已知y＝+,则= _____________。第十六章 二次根式
16.1二次根式 (2)
【教学目标】
知识与技能
使学生初步掌握利用（）2=（≥0）进行计算.
过程与方法
如何利用（）2=（≥0）解题.
情感、态度与价值观
通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（）2=（≥0）,使学生感受到数学知识的内在联系.
【教学重难点】
重点：应用（）2=（≥0）进行计算.
难点：利用二次根式的非负性和利用（）2=（≥0）解题.
【导学过程】
【知识回顾】
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？
【新知探究】
探究一、
1、（a≥0）是一个什么数呢？
（a≥0）是一个非负数．
2、根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=____；（）2=_______；
（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．
3、你从中发现了什么规律？
（）2 = a（a ≥ 0）
探究二、例2 计算
（1） （2）
解：
练习： 计算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2
探究三、例3、化简
（1）= （2）=
解：
练习：计算
2、 叫代数式.
【知识梳理】
一般地：
【随堂练习】
1、课后练习题 1、2
2、补充练习 计算下列各式的值：
（）2 （）2 （）2 （）2 （4）2
3、化简下列各式
（1） (2)
4、化简下列各式
（1） （2）（x＜-2）第十六章 二次根式
16.3二次根式的加减法（1）
【教学目标】
知识与技能
会进行二次根式的加减法运算。
过程与方法
1.学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力。
2.通过加减法运算，培养学生的运算能力。
情感、态度与价值观
通过加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。
【教学重难点】
重点：合并被开方数相同的二次根式。
难点：二次根式加减法的实际应用
【导学过程】
【知识回顾】
1、什么是同类项？
2、如何进行整式的加减运算？
3、计算：（1）2x-3x+5x （2）
【新知探究】
探究一、问题：
1.现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如教科书图16.3-1所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
2.通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应先将二次根式化为 ，再将被开方数相同的的二次根式进行 。
3.下列计算是否正确？为什么？
（1）=
（2）=
(3) ×=
(4)
探究二、课本例1，例2
例1 计算
（1）
（2）
例2 计算
（1）
（2）
思考：（1）比较二次根式的加减法与整式的加减，你能得出什么结论？
（2）与能合并吗？
仿例计算：
（1）+ （2）+2+3 （3）3-9+3
【知识梳理】
二次根式的加减步骤：
进行二次根式的加减法时，应先将二次根式化为 ，再将被开方数相同的的二次根式进行 。
【随堂练习】
1.计算
(1) (2)
(3) （4）
2.（1）； （2）
（3）； （4）
3、如图所示，面积为48cm2的正方形的四个角是面积为
3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制作一个无盖的长
方体盒子，求这个长方体的高和底面边长分别是多少？
4、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，
求（+y2）-（x2-5x）的值．第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除（3）
【教学目标】
知识与技能
学习目标：
1．理解最简二次根式的概念；
2．能用最简二次根式的概念进行二次根式的化简．
过程与方法
学会二次根式的化简方法
情感、态度与价值观
通过探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣.
【教学重难点】
重点：把二次根式化简到最简二次根式．
难点：判断这个二次根式是否是最简二次根式
【导学过程】
【知识回顾】
请同学们完成下列各题
计算，，， ， ，
上面的结果是最简形式吗？
【新知探究】
探究一、例6．计算（1），（2），（3）
练习、计算：（1） （2） （3）
．
探究二、最简二次根式
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含 ；
2．被开方数中不含能 的因数或 ．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
探究三、例7.
练习：仿照例题完成下面的题目：
设长方形的面积为S，相邻两边的长分别为a,b,已知S=16,b=，求a
探究四、2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是_________．
它们的比是
探究五、拓展
1.阅读下列运算过程：
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：(1) =_________ （２）=_________
(３) =_____ ___ (４) =___ __
2.观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
==-1，
==-，
同理可得：=-，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（+++……）（+1）的值．
分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．
解：原式=（-1+-+-+……+-）×（+1）
=（-1）（+1）
=2002-1=2001
【知识梳理】
化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数不含分母；
（2）分母中不含有二次根式。
【随堂练习】
化简
(1) ; (2) ; (3)
