第九章 不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集
【教学目标】
知识与技能
1.能感受到生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式和意义；
2.会寻找不等式的解，会在数轴上正确地表示出不等式的解集；
3.能够根据题意准确迅速地列出相应的不等式。
过程与方法
通过汽车行驶过A地这一实例的研究，使学生体会到数学来源于生活，又服务于生活，培养学生“学数学、用数学”的意识；
情感、态度与价值观培养学生类比的思想方法、数形结合的思想。
【教学重难点】
重点:
1.不等式、一元一次不等式、不等式解与解集的意义；
2.在数轴上正确地表示出不等式的解集；
难点:
不等式解集的意义，根据题意列出相应的不等式。
【导学过程】
【情境引入】
引例：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离Ａ地50千米，要在12：00之前驶过Ａ地，车速应满足什么条件？
设车速是x千米/小时，
(1)从时间上看，汽车要在12：00之前驶过Ａ地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到 小时，即
＜ ①
(2) 从路程上看，汽车要在12：00之前驶过Ａ地，则以这个速度行驶 小时的路程要超过50千米，即
ｘ＞50 ②
【新知探究】
探究一、不等式、一元一次不等式的概念
1.不等式
请同学们观察上面的两个式子,式子左右两边的大小关系是怎样的 左右两边相等吗
不等式：像上面的这些式子，用符号“ ”， “ ” ，“ ” “ ”或“ ”表示不等关系的式子叫做不等式用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子叫做不等式;
2.练习
判断下列式子中哪些是不等式，是不等式的请在题后的括号内划“√”，不是的请划“×”
(1)3＞ 2 ( ） (2)2a+1＞ 0 ( ） (3)a＋b＝b＋a （ ）
(4)x＜ 2x+1 （ ） (5)x＝2x-5 （ ） (6)2x+4x＜ 3x+1 （ ） (7)15≠7＋9 （ ）
上面的不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数，大家把(2)、(4)、(6)式与(5)式类比，(5)式是一个一元一次方程，能不能给(2)、(4)、(6)式也起个名字呢
3. 一元一次不等式
不等式：像上面的这些式子，用符号“ ”， “ ” ，“ ” “ ”或“ ”表示不等关系的式子叫做不等式。
一元一次不等式：含有 且未知数的次数是 的不等式，叫做一元一次不等式．
注意 ： ＜ 中,x在分母位置上，它不是一元一次不等式
4.小组交流：说说生活中的不等关系．
探究二、不等式的解、不等式的解集
1.现在，我们再来看汽车行驶问题
问题1：要使汽车在12：00之前驶过Ａ地，车速应满足什么条件？
问题2：车速可以是78千米/小时吗？75千米/小时呢？ 72千米/小时呢？
问题3：我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，那么我们可以把使不等式成立的未知数的值叫做什么呢？
（1）、不等式的解：使不等式 的 的值叫做不等式的解．
(2)、不等式的解有 个。
2．练习：判断下列数中哪些是不等式 ｘ＞50的解
76， 73， 79， 80， 74.9， 75.1， 90， 60
做完后：你还能找出这个不等式的其他的解吗？这个不等式有多少个解？你从中发现了什么规律？
总结：当ｘ＞75时，不等式 ｘ＞50总成立；而当ｘ＜75或ｘ＝75时，不等式 ｘ＞50不成立，这就是说，任何一个大于75的数都是不等式 ｘ＞50的解，这样的解有无数个。因此，ｘ＞75表示了能使不等式 ｘ＞50成立的ｘ的取值范围，叫做不等式 ｘ＞50的解的集合，简称解集。我们再回到前面的问题，经过刚才的分析，可以知道，要使汽车在12：00之前驶过Ａ地，车速必须大于75千米/小时。
3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的 组成这个不等式的解集。
注意： 解集中包括了每一个解，解集是一个范围。
4．在数轴上表示不等式的解集；
注意:在表示75的点上画空心圆圈,表示不包括这一点.
总结：（1）.用数轴表示不等式的解集的步骤:
画数轴 找点 画点 画方向
（2）．用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:
a.有等号(“≥ ,≤”)画实心点,无等号 (“>,<”) 画空心圆。
b.大于向右画,小于向左画。
5.练习：判断下列数中哪些是不等式ｘ＋3＞6的解 哪些不是
－4， －2.5, 0, 1, 2.5, 3, 3.2, 4.8, 8, 12
6．解不等式
求不等式的解集的过程叫做解不等式。
7.练习：
直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出不等式的解集：
(1) x＋3＞6; (2)2x＜8； （3)x－2＞0
【知识梳理】
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
【随堂练习】
1、已知下列各数,请将是不等式3x＞5的解的数填到椭圆中．－4，－2.5，0，1，
2,4.8,3,8
2、不等式3x＞5的解集是:_________
3、在数轴上表示不等式3x＞5的解集，正确的是（ ）
4、请直接想出下列不等式的解集，并在数轴上表示。
（1） 2x＜８ （2）x-2＞0
布置作业
P119习题9.1第1、2、3题．
(1) x >-1
(3) x <-1
（4）x≤-1
(2)x≥-1
（A）
1
2
5
3
0
1
2
(B)
(D)
5
3
0
1
2
5
3
0
1
2
5
3
0
(C)第九章 不等式与不等式组
9.3 一元一次不等式组（2）
【教学目标】
知识与技能
巩固一元一次不等式组解法，能根据题意准确建立一元一次不等式组并求解.
过程与方法
经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性
情感、态度与价值观
体验数学学习的乐趣。
【教学重难点】
重点: 将不同数学形式的问题转化为一元一次不等式组.
难点: 能根据题意准确建立一元一次不等式组并求解。
【导学过程】
【知识回顾】
1.一元一次不等式组的概念是什么？
2. 它的解集是什么含义？
3.求解一个一元一次不等式组应该按照什么步骤进行？
【新知探究】
例1 x取哪些整数值时，不等式5x+2＞ 3(x-1)与
与x/2-7 ≤ 7-3x/2 都成立
【知识梳理】
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
【随堂练习】
若不等式组有解，则k的取值范围是( )．
(A)k＜2 (B)k≥2 (C)k＜1 (D)1≤k＜2
不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是( )．
(A)m≤2 (B)m≥2 (C)m≤1 (D)m≥1
若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．
－5＜6－2x＜3．
关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围．第九章 不等式与不等式组
9.2一元一次不等式（1）
【教学目标】
知识与技能
1.知道一元一次不等式的概念
2. 类比解一元一次方程的一般步骤，知道解一元一次不等式的一般步骤.
3. 去分母时，要注意不等式的两边中的每一个式子都要乘以公分母.
过程与方法
学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力；
情感、态度与价值观
在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想、勇于发言与合作交流的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯．
【教学重难点】
重点: 解不等式
难点: 解不等式的步骤
【导学过程】
【知识回顾】解一元一次方程的步骤是：
【情境引入】
【新知探究】
探究一、一元一次不等式的概念
1.类似于一元一次方程，含有___________，未知数的次数是____的不等式，叫做一元一次不等式。
2.对于下列各式中：①7﹥4；②x≠0；③a﹤5；④x+2=8；⑤7x+xy+y；⑥ +6﹥4；
⑦a+b﹥0.一元一次不等式有 _______.
探究二、例题
例1(课本P122).解下列不等式，并在数轴上表示解集
（1）2（1+x）<3，
提问：
1、你能利用不等式的基本性质解决吗？试一试。
2、在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？
解一元一次不等式的步骤是：去分母，___________，___________，______________，系数化成1，其中___________，___________，___________，利用了不等式的性质.
3、在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？
4、解：（1）2（1+x）<3，
去括号，得
移项，得
合并同类项,得
系数化为1，得
这个不等式的解集在数轴上表示如下
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项,得
系数化为1，得
这个不等式的解集在数轴上表示如下
【知识梳理】
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
【随堂练习】
1. 下面是解一元一次不等式的部分步骤，如果正确，说明理由；如果错误，找出错误原因，并改正．
（1）由2x>－2，得x<－1.
（2）由－2x>－2，得x>1.
（3）由8x+24>32x－16,得 x+3>4x－2．
2、解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）； （2）,
3、课本P124练习第1、2题第九章 不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.2不等式性质（2）
【教学目标】
知识与技能
1. 会根据“不等式性质"解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集；
2、知道符号“≥”、“≤”的含义.
过程与方法
学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力．
情感、态度与价值观
【教学重难点】
重点: ：解较简单的一元一次不等式.
难点: 符号“≥”、 “≤”的含义.
【导学过程】
【知识回顾】
根据下列已知条件，说出a与b的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。
（1）a－3 > b－3(根据不等式性质___) （2） (根据不等式性质___)
（3）3a < 3b(根据不等式性质___) (4) －4a > －4b(根据不等式性质___)
【新知探究】
探究一、 例1 利用不等式性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1)x-7>26; (2)3x<2x+1;
3)x>50; (4)-4 x >3.
探究二、例2 某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm，容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水，用V(单位：cm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围。
分析:根据_____________________________________________,列出不等式(称其为原始不等式),根据原始不等式经过“_______”得到相应的新的不等式,从而得到结论:__________
【知识梳理】
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
【随堂练习】
（课本P119）
1. 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）x＋5＞－1
（2）4x <3x－5
（3）8x <7x＋3
（4）x ≤ 50
(5)-4x < 3
2、用不等式表示下列语句，并写出解集
(1)x的3倍大于或等于1
(2)x与3的和不小于6
(3)y与1的差不大于10
(4)y的小于或等于－2第九章 不等式与不等式组
9.3一元一次不等式组（1）
【教学目标】
知识与技能
1.了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义；
2.会解由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组；能借助数轴正确表示一元一次不等式组的解集；
3.能运用已学过的不等式知识，求出符合实际的解集。
过程与方法
经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性。
情感、态度与价值观
通过探讨一元一次不等式组的解法以及解集的确定，进一步感受数形结合在解决问题中的作用。
【教学重难点】
重点: 一元一次不等式组的解法；
难点: 一元一次不等式组解集的确定。
【导学过程】
【知识回顾】
1、一元一次不等式：
2、二元一次方程组:____________________________________________
3、二元一次方程组的解:_____________________________________________
【新知探究】
探究一、问题：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，那么大约需要多少时间才能将污水抽完？
分析：设需要x分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量为 吨。由题意，积存的污水在 吨到 吨之间，应有
和
探究二、一元一次不等式组的概念
它说明了在这个实际问题中，未知量x应同时满足这两个条件。类似方程组，把这两个 合在一起，就得到一个一元一次不等式组：
①②
分别求这两个不等式的解为：
同时满足不等式①、②的未知数x应是这两个不等式解集的公共部分。在数轴上表示这两个不等式的解集（图9.3-1），可知其公共部分是40和50之间的数，记作40所提问题的答案为： 。
概括：几个不等式的解集的 ，叫做由它们所组成的不等式 的解集。
解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分。利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。
①②
探究三、例题
例1 解不等式组：
解：解不等式①，得 x>
解不等式②，得 x>
在数轴上表示不等式①、②的解集，如图8.3.2，可知所求不等式组的解集是
x>
例2 （课本P129，独立完成后，再对答案，相信自己一定行哦）
探究四、写出下列不等式组的解集
总结:
两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情况:
(1)大大取较大； (2)小小取较小； (3)大小、小大中间找； (4)大大、小小无法找.
五、归纳解一元一次不等式组的一般步骤： _ _ _ _ _
【知识梳理】
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
【随堂练习】
1、不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.无解
2、不等式组 的解集为( )
A.-1＜x＜2 B.-1＜x≤2 C.x＜-1 D.x≥2
3、不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A B C D
4、不等式组的最小整数解是 （）
A．0 B．1 C．2 D．－1
5、课本第１19页练习第１、2题第九章 不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.2不等式的性质（1）
【教学目标】
知识与技能
理解不等式的性质。
过程与方法
培养学生的数感，渗透数形结合的思想.
情感、态度与价值观
【教学重难点】
重点: 不等式的性质和解法.
难点: 不等号方向的确定.
【导学过程】
【知识回顾】
等式的性质
等式的基本性质1:在等式两边都加上(或减去)同一个数或整式，结果仍相等．
如果a=b,那么a±c=b±c
等式的基本性质2:在等式两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，结果仍相等．
如果a=b,那么ac=bc或 （c≠0），
【情境引入】
不等式是否具有类似的性质呢？
【新知探究】
探究一、1.思考： 用”>””<” 填空并总结规律:
1)5>3 , 5+2 3+2, 5-2 3-2
2)-1<3, -1+2 3+2, -1-3 3-3
3)6>2, 6×5 2×5, 6×(-5) 2×(-5)
4)-2<3, (-2)×6 3×6, (-2)×(-6) 3×(-6)
2.由上面规律填空:
(1)当不等式两边加上或减去同一个数(正数或负数)时,不等号的方向 ;
(2)当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向 ;而乘同一个负数时,不等号的方向 .
3.归纳不等式的性质
不等式性质1：
用数学式子表示为： 。
不等式性质2：
用数学式子表为： 。
不等式性质3：
用数学式子表示为： 。
探究二、1.比较性质2和性质3，指出它们的区别，再比较不等式性质与等式性质，它们有什么异同？
2.小华学完不等式的性质后，说若a>b,则有2a>2b,3a>3b,4a>4b,5a>5b,……,所以ac>bc,你同意你的看法吗？
探究三、补例： 利用不等式的性质，填”>”,:<”
(1)若a>b,则2a+1 2b+1;
(2)若--1.25y<10,则y --8;
(3)若a0,则ac+c bc+c;
(4)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c 0.
【知识梳理】
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
不等式性质:
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向 .
(2)不等式两边乘(或除以)同一个 ,不等号的方向不变.
(3)不等式来年改变乘(或除以)同一个 ,不等号的方向
【随堂练习】
1课本P117 练习
2.判断（正确的划 “√” 错误的划 “×”）
（1）∵a < b ∴ a－b < b－b （ ）
（2）∵a < b ∴ （ ）
（3）∵a < b ∴ －2a < －2b （ ）
（4）∵－2a > 0 ∴ a > 0 （ ）
（5）∵－a < 0 ∴ a < 3 （ ）
3.填空
（1）∵ 2a > 3a ∴ a是 数
（2）∵ ∴ a是 数
（3）∵ax < a且 x > 1 ∴ a是 数
4．根据下列已知条件，说出a与b的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。
（1）a－3 > b－3 （2） （3）－4a > －4b第九章不等式与不等式组
9.2一元一次不等式（2）
----实际问题与一元一次不等式
【教学目标】
知识与技能
1．会解一元一次不等式.
2．会用不等式来表示实际问题中的不等关系.
过程与方法
通过解决实际问题，体会一元一次不等式在生活中的应用价值，培养学生学习数学的兴趣。
情感、态度与价值观
归纳列一元一次不等式解实际问题的基本步骤，培养学生的数学建模能力。
【教学重难点】
重点: 掌握解一元一次不等式的步骤；会用一元一次不等式解决简单的实际问题.
难点: 寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型.
【导学过程】
【知识回顾】
列方程解应用题的一般步骤：
审题→ →找 等关系→列出方程 →解这个方程求出 →检验所求的解是否正确，是否符合实际情况→写出答案。
【情境引入】
有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式可以得到实际问题的答案，下面请看一个空气质量问题.
【新知探究】
探究一、例2. 去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60%，如果到明年这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？
分析:去年北京空气质量良好的天数是 ，
用x表示明年增加的空气质量良好的天数，
则去年北京空气质量良好的天数是 ;
与全年天数之比是 .
（3）问题中的不等关系是 ，
列出的不等式是 ，
不等式的解集是 .
(4)考虑问题的实际意义,x>55.45并不是最终答案, x还应该满足的条件是 ,所以最终答案是 .
解:设明年比去年空气空气质量良好的天数增加了x
则 _____________________________>_________________________
去分母，得：
________________________>_________________
移项且合并，得：________________________________
由x应为正整数，得：x_______
答：
探究二、例3、甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费.顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？
这个问题较复杂，从何处入后考虑它呢？
（1）甲商店购物款达多少元后可以优惠
；乙商店购物款达多少元后可以优惠？
（2）现在有4个人，准备分别消费40元、80元、140元、160元，那么去哪家商店更合算？为什么？
（3）如果累计购物超过100元，那么在甲店购物花费小吗？
（4）累计购物超过100元而不到150元时，在哪个店购物花费小？累计购物恰好是150元时，在哪个店购物花费小？
（5）根据甲乙商店的销售方案，顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？你能为消费者设计一套方案吗？
【知识梳理】
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
审题→ →找 等关系→列出不等式→解这个不等式求出 →检验所求的解集是否正确，是否符合实际情况→写出答案。
【随堂练习】
练一练：
1.课本第125页练习第1、2题
2．某校校长暑假将带领该校市级优秀学生乘旅行社的车去A市参加科技夏令营，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票的6折优惠”，若全票价为240元.
(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙.分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3) 就学生数x讨论哪家旅行社更优惠.
