垂径定理
【教学内容】垂径定理
【教学目标】
知识与技能
经历探索圆的对称性及相关性质的过程，理解并掌握垂径定理及推论，并能够灵活应用．
过程与方法
在对圆的对称性和垂径定理的探索中，对其各组量之间的推导能够融会贯通。
情感、态度与价值观
学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受数学来源于图形本身，增强学习数学的兴趣。
【教学重难点】
重点：垂径定理及其应用
难点：垂径定理及其应用
【导学过程】
【知识回顾】圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
【情景导入】
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M，
该图形是轴对称图形吗？你能发现哪些等量关系？
【新知探究】
探究一、
由此可归纳：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
试证明以上结论。
探究二、
试推导证明：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
探究三、
[例]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
【知识梳理】
本节课我们学习了垂径定理及其推论。大家要牢固记忆，熟练应用。
【随堂练习】
１、判断正误：
（1）直径是圆的对称轴．（ ）
（2）平分弦的直径垂直于弦．（ ）
２、若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．
３、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．
４、如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．
5.如图5，是⊙O 的直径， 为弦，于，则下列结论中不成立的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图6，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．
7、已知：如图7，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．
8、如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．
如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？
如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？
如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？
（图5）
（图7）
（图6）3.6.1直线和圆的位置关系（一）
【教学内容】直线和圆的位置关系（一）
【教学目标】
知识与技能 理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系；了解切线的概念和切线的性质，会用圆心到直线的距离与半径相比较判断直线与圆位置关系。
过程与方法 在于经历用公共点个数或圆心到直线的距离与半径比较两种方法判断直线与圆位置关系，会用圆的切线性质解决相关问题。
情感、态度与价值观
经过探索发现数学来源于生活，又帮助我们解决生活中的问题，树立学好数学的信心。
【教学重难点】
重点：判断直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，领会切线的性质。
难点：灵活运用直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系解决实际问题，会用切线的性质解答题目。
【导学过程】
【知识回顾】
点和圆有哪几钟位置关系？如何判断？
【情景导入】
观察太阳升起的照片，太阳与地平线的位置关系是怎样的？
【新知探究】
探究一、
在平面内，画一个圆，将直尺的边缘看成直线，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
观察下图，直线与圆位置关系是怎样的，各有几个交点？
（1）与⊙O有两个交点；（2）与⊙O有一个交点；（3）与⊙O没有交点。
直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。
相交——直线与圆有两个交点；
相切——直线与圆有一个交点；
相离——直线与圆有零个交点。
直线和圆有惟一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个惟一的公共点叫做切点。
探究二：用圆心到直线的距离d与半径r相比较，确定直线与圆位置关系。
、
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
；
割线 切线
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，
（1）_________直线l和圆O相离；（2）_________直线l和圆O相切；
（3）_________直线l和圆O相交．
探究三、
如图1：直线线是⊙O的切线，由此图是轴对称图形可知：
圆的切线_________经过切点的 .
定理的几何语言：如图1，直线是⊙O的切线
例1、已知Rt△ABC的斜边AB = 8cm，AC = 4 cm。（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？（2）以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
【知识梳理】
本节课我们学习了哪些知识？
【随堂练习】
一填表
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
图形
公共点个数 0
与的关系
公共点名称 交点
直线名称 切线
2、 已知：如图2所示，，为上一点，且，以为圆心，以为半径的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？
①；②； ③．
3. 已知⊙O的直径为6，直线和⊙O只有一个公共点，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 直线上一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，直线与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B . 相切 C. 相交 D . 相切或相交
5. 已知⊙Ｏ的半径为，点Ｏ到直线的距离为５厘米。
(1) 若大于５厘米，则与⊙Ｏ的位置关系是____________.
(2) 若等于２厘米，与⊙Ｏ有_____个公共点.
⑶ 若⊙Ｏ与相切，则＝__________厘米.
6.已知：如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，以C点为圆心，作半径为R的圆，求：
(1)当R为何值时，⊙C和直线AB相离 (2)当R为何值时，⊙C和直线AB相切
(3)当R为何值时，⊙C和直线AB相交
7.如图4，A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时17千米的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心200千米的范围是受台风影响的区域.
（1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？
8.下列直线是圆的切线的是（ ）
A.与圆有公共点的直线 B.到圆心的距离等于半径的直线
C. 到圆心的距离大于半径的直线 D. 到圆心的距离小于半径的直线
9.正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点（不包括端点），以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
10.如图5，⊙O的半径直线垂足为，且交⊙O 于两点，则沿所在的直线向下平移 时与⊙O相切.
11.如图6，直线相交于点，，半径为1的⊙P 的圆心在射线上，且与点的距离为6.如果⊙P 以1的速度沿由向的方向移动，那么多少秒钟后⊙P 与直线相切？
（图1）
（图2）
（图3）
（图4）
（图5）
（图6）3.5确定圆的条件
【教学内容】确定圆的条件
【教学目标】
知识与技能 学会不在同一直线上的三个点作圆的具体方法，理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”， 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念
过程与方法 经历不在同一直线上三个点作圆的具体过程，从圆心与半径的唯一性理解不在同直线上的三个点确定一个圆的道理。
情感、态度与价值观
学生经过操作、实验、发现、确认等数学活动，感受数学的带来的乐趣，增强学习信心。
【教学重难点】
重点：会经过不在同一直线上的三点作圆，并理解不在同一直线上的三点确定一个圆的道理。
难点：在动手操作中发现知识，并确认其正确性。
【导学过程】
【知识回顾】
1、点和圆有几种位置关系？
2、设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有三种位置关系：
（1）点P在⊙O外___ ___；（2）点P在⊙O上____ __；（3）点P在⊙O内__ ____．
3、如图1所示，在中，
是中线，以为圆心，为半径作圆，请判断
三点与⊙C的位置关系.
【情景导入】
经过一点可以作无数条直线，经过两点可以确定一个圆，平面内，经过几个点可以确定一个圆呢？
【新知探究】
探究一、
（1）过一个已知点可以作 个圆；（2）过两个已知点可以作 个圆，它们的圆心分布的特点是 .
2.经过不在同一直线上的三点作圆，并思考如何确定这个圆的圆心和半径，你能作出几个这样的圆？
作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上）.
作法：
探究二、
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 。外接圆的圆心是
。叫做三角形的 。
【知识梳理】
本节课你有何收获？谈谈你的想法？
【随堂练习】
1. ⊙O的半径为3，点O到点P的距离为,则点P（ ）
A.在⊙O外 B. 在⊙O内 C. 在⊙O上 D. 不能确定
2. 下列说法正确的是( )
A．三点确定一个圆 B．任意的一个三角形一定有一个外接圆
C．三角形的外心是它的三个角角平分线的交点 D．任意一个圆有且只有一个内接三角形
3、锐角三角形的外心在三角形的___________部，钝角三角形的外心在三角形的________ ___部，直角三角形的外心在________________．
5.若中，则它的外接圆的直径为___________．
6. 已知：如图2，点的坐标为，过原点点的圆交轴的正半轴于点．圆周角，求点的坐标．
7、尺规作图：（1）作出下面残破轮片的直径 （2） 平分这条弧
8、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，求AC的长．
（图1）
（图2）圆周角和圆心角的关系
【教学内容】圆周角和圆心角的关系
【教学目标】
知识与技能 经历探索圆周角和圆心角关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质。
过程与方法 经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。
情感、态度与价值观 通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法
【教学重难点】
重点：圆周角和圆心角的关系。
难点：圆周角定理的理解和运用。
【导学过程】
【知识回顾】
我们学习了在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。那么如果在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角会相等吗？
【情景导入】
首先我们从圆周角开始研究，画一个圆周角，说出它圆心角的区别。
【新知探究】
探究一、
顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。
判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角？并说明理由。
探究二、
活动1：如图2
问题1：同弧（弧）所对的圆心角与圆周角的大小关系是怎样的？
问题2：同弧（弧）所对的圆周角与圆周角的大小关系是怎样的？
（2）规律：同弧所对的圆周角的度数 ，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的 ．
活动2：（1）同学们在下面图3的⊙O中任取所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系
（2）实际上，圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如图4）
（3）教师引导学生证明，并归纳圆周角定理：
同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
探究三、
让学生说明如何根据圆周角定理，证明同弧或等弧所对的圆周角相等，
【知识梳理】
本节课我们学习圆周角的定义，圆周角定理的证明及推论。
【随堂练习】
1. 如图1，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，则∠D=____，∠AOB=_ ___．
2. 如图2，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，则∠BDC=____．
3．已知：如图8，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．
4．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC，∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？
第4题图 第5题图
5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100° ，求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。
6．如图9，△ABC的三个顶点在⊙O上，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，求∠AEB的度数．
7.已知：如图10，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．
（图2）
（图3）
（1） （2） （3）
（图4）
（图8）
（图6）
（图7）
A
B
C
O
A
B
C
D
O
(图9)
(图10)圆的对称性
【教学内容】圆的对称性（一）
【教学目标】
知识与技能 理解圆是轴对称图形和中心对称图形，从圆具有旋转不变性，深入领会同圆或等圆中，相等的圆心角、弧、弦之间的对应关系。
过程与方法 经历圆是轴对称图形和中心对称图形的探索，学会运用同圆或等圆中，相等的圆心角、弧、弦之间的对应关系来解决数学问题。
情感、态度与价值观
引导学生对圆的对称性观察认识，激发学生的探究兴趣，并在运用数学知识解答问题活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
【教学重难点】
重点：圆心角、弧、弦之间关系定理的证明和应用．
难点： “圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
【导学过程】
【知识回顾】
什么叫做圆？圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
【情景导入】
对折一张圆形的纸片，可以看到圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
【新知探究】
探究一、
圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条。任意一条过圆心的直线都是它的对称轴。
探究二、
圆也是中心对称图形，圆绕着它的圆心旋转180°能够与它自身重合，对称中心是圆心。
实际上，圆绕它的圆心旋转任意一个角度都能与它自身重合。
圆心角：顶点在圆心的角。学生作出几个圆心角，体会它的特征。
探究三、
在等圆⊙O和⊙Oˊ中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠AˊOBˊ固定圆心，将其中一个圆旋转任一角度，使得OA与OˊAˊ重合，你能发现哪些等量关系？
归纳你发现的结论：
【知识梳理】
本节课我们学习圆是轴对称图形和中心对称图形，并学习同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系定理。
【随堂练习】
1、已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
2、如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？
3、如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件： ，使∠1=∠2．
4、判断题
（1）相等的圆心角所对弦相等 （ ）
（2）相等的弦所对的弧相等 （ ）
5、填空题
⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．
6、选择题
如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE⊥AB，垂足为E，若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，则AB长度是___________．
A、6 cm B、8 cm C、7 cm D、7.5 cm
7、选择填空题
如图2，过⊙O内一点P引两条弦AB、CD，使AB＝CD，
求证：OP平分∠BPD．
证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．
A OM⊥PB B OM⊥AB C ON⊥CD D ON⊥PD圆
【教学内容】3.1圆
【教学目标】
知识与技能 学会用集合的观点描述圆，掌握圆的有关定义，在探索点与圆位置关系的过程，理解点与圆的位置关系
过程与方法 经历探索圆的有关定义，了解各个定义之间的区别。探索点和圆的位置三种关系，并学会如何判断点和圆位置关系。
情感、态度与价值观
引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲，使学生对圆的知识产生浓厚学习兴趣。
【教学重难点】
重点：圆及其有关概念，点与圆的位置关系．
难点：对用集合的观点描述圆的理解
【导学过程】
【知识回顾】
什么叫做圆？一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一端点A旋转而成的图形是否是一个圆？
【情景导入】圆是我们生活中很常见的图形，圆的很多知识生动有趣，你有信心学好吗？，
【新知探究】
探究一、
圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的组成的图形，其中定点是圆心，定长是半径。以O为圆心的记作⊙O，读作“圆O”。
探究二、圆的有关定义：
1、 叫做弦， 叫做直径。
2、 叫做弧， 叫做半圆。
3、 叫做等圆， 叫等弧。
长度相等的弧是等弧吗？为什么？
探究三、
⊙O是一个半径为r的圆，在圆内、圆外、圆上分别取一点，点到圆心的距离为d,请你用r与d的大小关系刻画它们的位置关系。
点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内。
【知识梳理】
本节课我们学习与圆有关的定义，理解点与圆的三种位置关系及判断方法。
【随堂练习】
1、如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．
2、如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．
3、 已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．
4、 设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－2x＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．
5、 城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？
6、 由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？圆周角和圆心角的关系
【教学内容】圆周角和圆心角的关系（二）
【教学目标】
知识与技能 理解圆内接多边形和多边形的外接圆的概念，掌握圆内接四边形的性质，并会用此性质进行有关的计算和证明；
过程与方法 进一步掌握圆周角定理及推论，并会综合运用知识进行有关的计算和证明，培养分析问题、解决问题的能力；
情感、态度与价值观 引导学生对图形进行观察，思考，在探究解决问题过程中发展学生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力；
【教学重难点】
重点：理解圆周角定理的推论和圆内接四边形的性质，进行相关证明和计算。
难点：相关定理和性质的灵活应用
【导学过程】
【知识回顾】⒈一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的 .
⒉在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ；在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定 .
【情景导入】
根据一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角度数一半，如果圆周角∠ACB=90°，则弦AB会是直径吗？
【新知探究】
探究一、
由直角是平角的一半，很易证得：直径所对的圆周角是直角，90°
圆周角所对的弦是直径。
探究二、
如果一个多边形的 顶点都在 圆上，这个多边形叫做 ，这个圆叫做这个多边形的 .
如图1，四边形是⊙O的 ，⊙O是四边形的 .
圆内接四边形的对角∠BAD和∠BCD之间有什么性质呢怎样利用圆周角定理来证明上述规律呢 (学生自己证明)
证明：如图5,连接、
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 .
做出∠BCD的外角，想想它与∠A有什么关系？
探究三、
1、如图2，是⊙O的直径，弦与相交于点，求的度数.
（提示：连接）
2、如图3， ⊙O的直径 AB 为10 cm，弦 AC 为6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O于 D，求BC、AD、BD的长．
【知识梳理】
本节课我们学习了哪些知识？你有什么收获？
【随堂练习】
1. 如图8，是⊙O的直径，,则∠D等于（ ）
A. B. C. D.
2. 在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于( )．
A．80° B．100° C．130° D．140°
3.如图4，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．
A．37° B．74° C．54° D．64°
4.如图5，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．
A．69° B．42° C．48° D．38°
5.如图6，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，求∠AEB的度数．
6. 已知：如图，在中，,以为直径的圆交于,交于, 求证：BD=DC
7、已知：如图8，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．
8．已知：如图9，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长．
9．已知：如图10，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．
求证：∠MAO=∠MAD．
（图1）
（图2）
（图3）
（图5）
（图4）
（图6611）
（图8）
(图9)
(图10)
