重庆市渝东九校联盟2024?2025学年高二上学期（期中）联合诊断性测试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 重庆市渝东九校联盟2024?2025学年高二上学期（期中）联合诊断性测试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-14 22:19:17 | ||
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文档简介
重庆市渝东九校联盟2024 2025学年高二上学期（期中）联合诊断性测试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，向量，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行六面体中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线，直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．直线过定点
C．若，则 D．当时，直线不经过第二象限
10．圆和圆的交点为、，则有（ ）
A．公共弦所在的直线方程为
B．线段的中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线AP与所成角的取值范围是
C．平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线与直线的交点坐标为 .
13．已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 .
14．在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，、、，线段的中点为，且.
(1)求实数的值；
(2)求边上的中线所在的直线方程.
16．如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近点的三等分点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，且，求直线的方程.
18．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.
(1)求证：；
(2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若，，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为.
(1)已知，，求的值；
(2)分别求，的取值范围；
(3)若，，求“新椭圆”围成的面积.
参考答案
1．【答案】C
【详解】化直线为，所以直线的斜率，令直线的倾斜角为，则，，.
故选：C.
2．【答案】C
【详解】因为，，且，
则，解得.
故选：C.
3．【答案】A
【详解】在椭圆中，，，则，
因此，该椭圆的离心率为.
故选：A.
4．【答案】B
【详解】由题意可知，圆心为线段的中点，
圆的半径为，
因此，所求圆的方程为.
故选：B.
5．【答案】D
【详解】因为是空间的一个基底，可知，，不为共面向量，
对于A：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故A错误；
对于B：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故B错误；
对于C：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故C错误；
对于D：假设，，共面，
则，
可得，方程组无解，
可知，，不为共面向量，可以作为基底，故D正确；
故选：D.
6．【答案】B
【详解】
由题意得，圆心，半径，
因为，，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，
所以动点的轨迹方程为，
故选：B.
7．【答案】D
【详解】由题意可得，，
，
所以，向量、、两两夹角为，
由空间向量数量积的定义可得，
同理可得，
因为，
故
，
因此，.
故选：D.
8．【答案】C
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
则，
当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
9．【答案】AC
【详解】对于A选项，若，则，解得，A对；
对于B选项，由可得，即直线过定点，B错；
对于C选项，若，则，解得，C对；
对于D选项，当时，直线交轴的负半轴于点，
作出直线的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线不经过第一象限，D错.
故选：AC.
10．【答案】ABD
【详解】圆的圆心为原点，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
对于A选项，将两圆方程作差可得，
所以，公共弦所在的直线方程为，A对；
对于B选项，因为，，，
所以，，则，
又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段，
，所以，直线的方程为，即，
故线段的中垂线方程为，B对；
对于C选项，圆心到直线的距离为，
所以，，C错；
对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对.
故选：ABD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，，平面，平面，
所以平面，因为点在线段上运动，
点到平面的距离为定值，又的面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，因为平面，，
所以，此时，与所成的角为，
所以异面直线与所成角的取值范围是，故B正确；
对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，，
则，，设平面的法向量，
设平面的法向量，
，
则，即，
令，则，则得，
面与平面所成夹角为，
所以，
因为，，所以，，
所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C错误；
对于D，则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，则，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，
最大值为，故D正确.
故选：ACD.
12．【答案】
【详解】联立，解得，
因此，直线与直线的交点坐标为.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】由椭圆方程可知：，
因为分别为的中点，则，可得，
因为，则，且，
所以的面积为.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点、，其中、，
易知、，则，，，
因为、、共面，则存在、，使得，
即，解得，所以，，即，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，直线的中点为，则，
因为，则，即，解得.
（2）由（1）知点，线段的中点为，所以，，
所以，边上的中线所在的直线方程为，即.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面，平面，则，
因为，即，
因为，、平面，故平面.
（2）因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：，则，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设直线：，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
可得，
则，解得，
所以直线的方程为，即.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【详解】（1）
取的中点，连接，
因为矩形ABCD，，，
所以，
由为CD中点，所以，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
由为的中点，为四边形的中位线，，
所以，又平面，，
所以平面，
由平面，所以.
（2）
作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系，
由（1）得为四边形的中位线，所以，
由得，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设点存在，，，
所以，所以，
由平面得，
所以，解得，
即，所以
所以存在点N，使得平面ADM，.
19．【答案】(1)
(2)的取值范围为；的取值范围为
(3)6
【详解】（1）因为，，所以.
（2）设“新椭圆”上任意一点为，
根据“新椭圆”的定义，可得，即，
当时，可得，即；
当时，可得，即；
当时，可得，即；
当时，可得，即；
当时，可得；当时，可得；
当时，可得；当时，可得；当时，可得；
作出“新椭圆”的图象，如图所示，
结合图象可知：的取值范围为；的取值范围为.
（3）设“新椭圆”的图象，围成的六边形为，
若，，由（2）可知：，
所以“新椭圆”围成的面积为.
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，向量，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行六面体中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线，直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．直线过定点
C．若，则 D．当时，直线不经过第二象限
10．圆和圆的交点为、，则有（ ）
A．公共弦所在的直线方程为
B．线段的中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线AP与所成角的取值范围是
C．平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线与直线的交点坐标为 .
13．已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 .
14．在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，、、，线段的中点为，且.
(1)求实数的值；
(2)求边上的中线所在的直线方程.
16．如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近点的三等分点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，且，求直线的方程.
18．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.
(1)求证：；
(2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若，，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为.
(1)已知，，求的值；
(2)分别求，的取值范围；
(3)若，，求“新椭圆”围成的面积.
参考答案
1．【答案】C
【详解】化直线为，所以直线的斜率，令直线的倾斜角为，则，，.
故选：C.
2．【答案】C
【详解】因为，，且，
则，解得.
故选：C.
3．【答案】A
【详解】在椭圆中，，，则，
因此，该椭圆的离心率为.
故选：A.
4．【答案】B
【详解】由题意可知，圆心为线段的中点，
圆的半径为，
因此，所求圆的方程为.
故选：B.
5．【答案】D
【详解】因为是空间的一个基底，可知，，不为共面向量，
对于A：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故A错误；
对于B：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故B错误；
对于C：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故C错误；
对于D：假设，，共面，
则，
可得，方程组无解，
可知，，不为共面向量，可以作为基底，故D正确；
故选：D.
6．【答案】B
【详解】
由题意得，圆心，半径，
因为，，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，
所以动点的轨迹方程为，
故选：B.
7．【答案】D
【详解】由题意可得，，
，
所以，向量、、两两夹角为，
由空间向量数量积的定义可得，
同理可得，
因为，
故
，
因此，.
故选：D.
8．【答案】C
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
则，
当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
9．【答案】AC
【详解】对于A选项，若，则，解得，A对；
对于B选项，由可得，即直线过定点，B错；
对于C选项，若，则，解得，C对；
对于D选项，当时，直线交轴的负半轴于点，
作出直线的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线不经过第一象限，D错.
故选：AC.
10．【答案】ABD
【详解】圆的圆心为原点，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
对于A选项，将两圆方程作差可得，
所以，公共弦所在的直线方程为，A对；
对于B选项，因为，，，
所以，，则，
又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段，
，所以，直线的方程为，即，
故线段的中垂线方程为，B对；
对于C选项，圆心到直线的距离为，
所以，，C错；
对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对.
故选：ABD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，，平面，平面，
所以平面，因为点在线段上运动，
点到平面的距离为定值，又的面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，因为平面，，
所以，此时，与所成的角为，
所以异面直线与所成角的取值范围是，故B正确；
对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，，
则，，设平面的法向量，
设平面的法向量，
，
则，即，
令，则，则得，
面与平面所成夹角为，
所以，
因为，，所以，，
所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C错误；
对于D，则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，则，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，
最大值为，故D正确.
故选：ACD.
12．【答案】
【详解】联立，解得，
因此，直线与直线的交点坐标为.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】由椭圆方程可知：，
因为分别为的中点，则，可得，
因为，则，且，
所以的面积为.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点、，其中、，
易知、，则，，，
因为、、共面，则存在、，使得，
即，解得，所以，，即，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，直线的中点为，则，
因为，则，即，解得.
（2）由（1）知点，线段的中点为，所以，，
所以，边上的中线所在的直线方程为，即.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面，平面，则，
因为，即，
因为，、平面，故平面.
（2）因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：，则，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设直线：，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
可得，
则，解得，
所以直线的方程为，即.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【详解】（1）
取的中点，连接，
因为矩形ABCD，，，
所以，
由为CD中点，所以，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
由为的中点，为四边形的中位线，，
所以，又平面，，
所以平面，
由平面，所以.
（2）
作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系，
由（1）得为四边形的中位线，所以，
由得，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设点存在，，，
所以，所以，
由平面得，
所以，解得，
即，所以
所以存在点N，使得平面ADM，.
19．【答案】(1)
(2)的取值范围为；的取值范围为
(3)6
【详解】（1）因为，，所以.
（2）设“新椭圆”上任意一点为，
根据“新椭圆”的定义，可得，即，
当时，可得，即；
当时，可得，即；
当时，可得，即；
当时，可得，即；
当时，可得；当时，可得；
当时，可得；当时，可得；当时，可得；
作出“新椭圆”的图象，如图所示，
结合图象可知：的取值范围为；的取值范围为.
（3）设“新椭圆”的图象，围成的六边形为，
若，，由（2）可知：，
所以“新椭圆”围成的面积为.