广东省六校2024?2025学年高二上学期12月联考 数学试题（含解析）

广东省六校2024 2025学年高二上学期12月联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知双曲线的离心率为 ，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（ ）
A．x+y-4=0 B．x-y+4=0
C．x+y+4=0 D．x-y-4=0
3．已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在平行六面体 中，底面和侧面都是正方形，，点P是与的交点，则 （ ）
A． B．2 C．4 D．6
5．在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
6．已知点和圆，圆M上两点A，B满足 ，O是坐标原点. 动点 P在圆M上运动，则点 P到直线的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知矩形ABCD，，， M为边DC上一点且， AM与BD交于点Q，将沿着AM折起，使得点D折到点P的位置，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知圆是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（ ）
A．圆C上恰有1个点到直线l的距离为
B．|PA|的最小值是
C．|AB|存在最大值
D．|AB|的最小值是
10．已知椭圆的左,右焦点分别为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ）
若，则
当时，直线的倾斜角为
若为抛物线上一点，则的最小值为
的最小值为9
11．如图，三棱台 中，M 是AC上一点，平面ABC，∠ABC=90°，，则（ ）
A．平面
B．平面平面
C．三棱台 的体积为
D．若点P在侧面上运动（含边界），且CP与平面所成角的正切值为4，则BP长度的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线，若，则实数a的值为
13．已知分别是椭圆 的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点 P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为 .
14．已知实数、满足，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.
(1)求四面体ABCD 的体积;
(2)求平面ABC与平面ABD所成角的正切值.
16．已知点、的坐标分别为、直线、相交于点，且它们的斜率之积是
(1)求点的轨迹方程；
(2)若直线与点的轨迹交于两点，且，其中点是坐标原点. 试判断点到直线的距离是否为定值. 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
17．如图，在斜三棱柱中，是边长为2的等边三角形，侧面为菱形，.
(1)求证：；
(2)若为侧棱上（包含端点）一动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
18．已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点.
(1)求双曲线的方程：
(2)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
(3)当时，求面积的最大值.
19．如图所示，在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点．
（1）试证明点的旋转坐标公式：
（2）设，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，点再绕坐标原点旋转角至点，且直线的斜率，求角的值；
（3）试证明方程的曲线是双曲线，并求其焦点坐标．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意可得，可得，
因此，双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
2．【答案】A
【详解】由，得，则的垂心为，外心为，
所以欧拉线的方程为，即.
故选：A
3．【答案】D
【详解】对于抛物线，，可得，所以，其准线方程为，
联立，解得，
因此，与直线的交点坐标为.
故选：D.
4．【答案】B
【详解】在平行六面体 中，，
由点P是与的交点，得，
而，因此
.
故选：B
5．【答案】B
【详解】在中，，则，中点为的外心，
于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC，
平面平面，平面，则平面，，
令正的外心为，则为的3等分点，，
又平面，则，而，则四边形是矩形，
，因此球O的半径，
所以球O的表面积为.
故选：B
6．【答案】C
【详解】设满足的动点，则，
整理得，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
依题意，点在圆上，圆的圆心，半径为2，
因为，所以两圆相交，
则直线方程为，
点到直线的距离，所以点 P到直线的最大距离为.
故选：C
7．【答案】D
【详解】由题意可设：，
则
，
令，则，
注意到，则，
可知的图象开口向上，对称轴为，
当，即时，可知在内的最小值为，
则，
整理得，解得，不合题意；
当，即时，可知在内的最小值为，符合题意；
综上所述：.
可得椭圆的离心率，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：D.
8．【答案】A
【详解】在矩形，，，，
由可得由可得，
则，即，
可知折起后，必有，，平面，
故平面，
因为是确定的直线，故对任意点P， 都在同一个确定的平面内，
因为，可知点P在以点Q为圆心，半径为的圆上（如图），
由图知，当且仅当PB与该圆相切时，取到最大值，则也取到最大值，
此时,，则的最大值为
故选：A.
9．【答案】ABD
【详解】圆的圆心，半径，
对于A，点到直线的距离，点到直线的距离的最小值为，
因此圆C上恰有1个点到直线l的距离为 ，A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，B正确；
对于CD，由垂直平分得，，
则，当且仅当时取等号，D正确，C错误.
故选：ABD
10．【答案】AD
【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为，
由抛物线定义得，A正确；
B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去，
设直线，联立，得，
设，则
由韦达定理得，
故，解得，
故直线的斜率为，倾斜角不为，B错误；
C选项，由题意得，准线方程为，过点作垂直于点，
由抛物线定义得，
故，
要想求得的最小值，则过点作垂直直线于点，
故的最小值为，最小值为，C错误；
D选项，由题意得，
由于，故，
，
因为，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，D正确.
故选AD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，令，连接，由，，得，
由，得，则，
而平面，平面，则平面，A正确；
对于B，由平面，平面，得，而，
平面，则平面，在上取点，
使得，则，，因此平面，
即点在平面上的投影为线段BC上靠近点较近的3等分点，又点不在直线，
则过点与平面垂直的直线不在平面内，因此平面与平面不垂直，B错误；
对于C，依题意，，，
三棱台 的体积，C正确；
对于D，由选项B知，平面，而平面，则平面平面，
过作于，平面平面，则平面，
在直角梯形中，，在直角中，，
，由与平面所成角的正切值为4，得，，
因此点轨迹是以为圆心，为半径的圆在侧面内圆弧，的最小值为，D正确.

故选：ACD
12．【答案】0或1
【详解】直线，
由，得，解得或，
所以实数a的值为0或1.
故答案为：0或1
13．【答案】/
【详解】由为等腰三角形，，则有，而，
，若，则，，
由，得，则，
在中，，
在中，，
，即，整理得，则.
故答案为：
14．【答案】
【详解】当，时，曲线方程可化为；
当，时，曲线方程可化为；
当，时，曲线方程可化为，即曲线不出现在第三象限；
当，时，曲线方程可化为，
作出曲线的图形如下图所示：
设，即，
由图可知，当直线与圆相切，且切点在第一象限时，
则，且，解得，
由因为双曲线、的渐近线方程均为，
当直线与直线重合时，，
所以，，故.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在四面体ABCD中，在平面内过点作于，
由平面ABC⊥平面ACD，平面平面，得平面，
在中，，则，
于是，在中，，，则，
，所以四面体ABCD 的体积.
（2）由（1）知，平面，平面，则，
过作交于，连接，由，得，
而平面，则平面，又平面，
因此，是平面ABC与平面ABD所成的角，
由（1）知，，由，得，
所以平面ABC与平面ABD所成角的正切值.
16．【答案】(1)
(2)是定值，且定值为
【详解】（1）设点，则，
由题意可得，整理可得.
所以，点的轨迹方程为.
（2）由题意可知，直线、的斜率存在且都不为零，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立，可得，则，
同理可得，
则原点到直线的距离为
.
因此，点到直线的距离为.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图所示，
取的中点为为菱形，且，
所以为等边三角形，，
又为等边三角形，则，
所以平面，
又平面平面，
所以.
（2）如图所示，
在中，，由余弦定理可得
，所以，
由（1）得平面，因为平面，所以平面平面，
所以在平面内作，则平面，
以所在直线为轴 轴 轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，
设是平面的一个法向量，，
，则，即，
取得，
设，
，
设直线与平面所成角为，
则，
令，则在单调递增，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
18．【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
(3)
【详解】（1）根据题意，设双曲线的标准方程为，
由题意可得，解得，故双曲线的方程为.
（2）当时，此时，点、为双曲线的顶点，不合乎题意；
当时，设，则直线的方程为，
设点、，则点，
由对称性可知，直线过轴上的定点，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
则的斜率为，直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程可得，
可得
，
此时，直线过定点.
综上所述，直线过定点.
（3）因为，则，且，
，
因为函数在上单调递减，
故当时，取最大值，且最大值为.
19．【答案】（1）证明见解析；（2）、、；（3）证明见解析；焦点坐标为与．
【详解】（1）设将x轴正半轴绕坐标原点旋转角至点，，
则，由任意角的三角比定义，有和
所以，
将代入，得
（2）方法1：设点，的坐标分别为，，
由点的旋转坐标公式，有与
由直线的斜率，得，
，或
或，
，
、、．
方法2：由三角比的定义，可得点设点的坐标分别为，即；同理可得的坐标为，
以下与解法1相同．
（3）设为方程的曲线上任意一点，将点绕坐标原点旋转角至点．
则，
可解得①
注：以上这个反解可以省略，后面的方程不同，但不影响证明结论．
将①代入方程，得，整理，得．
令，可解得，是该方程的解，
所以，将方程的曲线按顺时针旋转，所得曲线的方程为：
．
故，曲线是以和为焦点的双曲线．
又因为双曲线是由曲线绕坐标原点旋转而得到的，所以曲线也是双曲线．
将点按逆时针旋转，得到点，
所以，双曲线的焦点坐标为与．