四川省名校2025届高三上学期第一次联考数学试卷（PDF版，含答案）

四川省名校 2025 届高三上学期第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { | ≤ 1或 ≥ 2}， = { |2 1 ≥ 2 }，则 ∩ =( )
A. ( | ≤ 1或 ≥ 1} B. { | ≥ 1}
C. { | ≤ 1或 ≥ 2} D. { | ≥ 2}
2.在复平面内，复数 = ( 2) + (1 + 2 ) 对应的点位于第二象限，则实数 的取值范围为( )
1 1 1
A. ( , 2) B. ( ∞, ) C. (2, +∞) D. ( 2, )
2 2 2
√ 3 2
3.已知 ∈ ，设甲： ≥ ；乙： ≤ ≤ ，则甲是乙的( )
2 3 3
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知平面向量 = ( 1, √ 3)， = ( √ 3, 1)，则 在 上的投影向量为( )
3 √ 3 √ 3
A. ( 3,0) B. ( , ) C. ( 3, √ 3) D. ( 1, )
2 2 2
5.在2024年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经6场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了
中国网球新的历史.某学校有2000名学生，一机构在该校随机抽取了800名学生对郑钦文奥运会期间6场单打
比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下：
观看场次 0 1 2 3 4 5 6
观看人数占调查
15% 5% 5% % 10% 15% 4 %
人数的百分比
从表中数据可以得出的正确结论为( )
A. 表中 的数值为15
B. 观看场次不超过3场的学生的比例为30%
C. 估计该校观看场次不超过2场的学生约为400人
D. 估计该校观看场次不低于4场的学生约为1300人

6.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = ，则 =( )
+ +
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2 2
7.设双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为√ 5，实轴长为2，则双曲线 上任意一点到双曲线 的两
条渐近线的距离的乘积为( )
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2 4 8 16
A. B. C. D.
5 5 5 5
(2 + )( 1)
8.已知函数 ( ) = 1 ，且 ( + 1)为偶函数，则满足不等式 (2 + ) < (4)的实数 的取值范围2 +1
为( )
A. ( ∞, 1) B. (2, +∞)
C. ( 1,2) D. ( ∞, 1) ∪ (2, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数 ( ) = √ 3sin + cos ，则( )
2 2
A. ( )的最小正周期为4
11
B. ( )在( , )上单调递增
6 6
4
C. ( )的图象关于直线 = 对称
3

D. ( )的图象可由 = 2 的图象向左平移 个单位得到
2 6
2
10.已知椭圆 ： + 2 = 1的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，则( )
2 1 2 1
A. 以椭圆 的长轴为直径的圆的方程为 2 + 2 = 2
B. 以 1 2为直径的圆与椭圆 有且仅有2个公共点
C. 以 1为圆心，√ 2 1为半径的圆与椭圆 有3个公共点
D. 以| |为直径的圆与直线 ： = 2相离
11.如图，在正方体 1 1 1 1中， 是线段 的中点，点 在棱 1上
运动，则( )
A. 点 在平面 1 上的射影不可能是点
B. 点 在平面 1 上的射影到 ， 两点的距离相等
C. 当点 与顶点 重合时，直线 与平面 1 所成角的正切值为√ 2
2√ 3
D. 当点 与顶点 1重合时，点 到平面 1 的距离等于 1 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
4
12.已知 ∈ ( , )，且 = ，则sin( + ) = ______．
2 5 4
13.甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，
则不同的站法共有______种(用数字作答)．
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14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书
中，给出了高次代数方程的一种数值解法— —牛顿法，如图，在横坐标为 0的
点处作 ( )的切线，该切线与 轴的交点为 1； ( )在横坐标为 1的点处的切线
与 轴的交点为 2；一直继续下去，得到 0， 1， 2，…， ( ∈
)，它们越
来越逼近 ( )的零点 .在一定精确度下，用四舍五入法取值，当 1， 近似
值相等时，该值可作为函数 ( )的一个零点 .用“牛顿法”求方程 3 3 2
3 = 0的近似解 ，可以构造函数 ( ) = 3 3 2 3，若 0 = 3，得到该方程的近似解 约为______(精确到
0.1)．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最
上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球… …设各层球数构成一个数列{ }.
(1)求数列{ }的通项公式；
1
(2)设 = ，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题15分)
已知某学校为提高学生课外锻炼的积极性，开展了丰富的课外活动，为了解学生对开展的课外活动的满意
程度，该校随机抽取了350人进行调查，整理得到如下列联表：
课外活动
性别 合计
满意 不满意
男 150 100 250
女 50 50 100
合计 200 150 350
(1)根据小概率值 = 0.05的独立性检验，能否认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素有关联？
(2)从这350名样本学生中任选1名学生，设事件 =“选到的学生是男生”，事件 =“选到的学生对课外
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活动满意”，比较 ( | )和 ( | )的大小，并解释其意义．
2
( )
附： 2 =
( + )( + )( + )( + )
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17.(本小题15分)
如图，在几何体 中，四边形 是梯形， // ， ⊥ ， 与 相交于点 ， ⊥平面
， // // ， 是 的中点， = = 2， = = = = 1．
1
(1)点 在 上，且 = ，证明： //平面 ；
3
(2)求二面角 的余弦值．
18.(本小题17分)
已知 为抛物线 ： 2 = 4 的焦点，过点 的直线与抛物线 相交于 ( 1, 1)， ( 2, 2)( 1 < 2)两点．
(1)证明： 1 2是常数；
(2)过点 作直线 的垂线 与抛物线 的准线相交于点 ，与抛物线 相交于 ， 两点(点 的横坐标小于点
的横坐标)．
①求 的值；
②| || | + | || |是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 3 3 2．
(1)若 = 1，求函数 = ( ) 的极值；
(2)若 ≥ 0， ( ) ≥ + 1，求实数 的取值范围；
1+1 3+1 3 1+1 3
(3)若 ∈ ，且 ≥ 2，证明：(1 + )(1 + 2 ) (1 + ) < √
+1
3+1 3
．
3 +1 +1
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 2
12.【答案】
10
13.【答案】20
14.【答案】3.3
15.【答案】解：(1)由“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球… …，
设各层球数构成一个数列{ }.可知 1 = 1， 2 = 1 + 2， 3 = 2 + 3，… …，
= 1 + ， ≥ 2，
( +1)
当 ≥ 2时， = 1 + ( 2 1) + ( 3 2) + + ( 1) = 1 + 2 + 3 + + = ， 2
上式对 = 1也成立，
( +1)
所以数列{ }的通项公式为 = ， ∈ ； 2
2 1 1
(2)由(①)知， = = 2( )， ( +1) +1
1 1 1 1 1
则 = 1 + 2 + + = 2[(1 ) + ( ) + + ( )] 2 2 3 +1
1 2
= 2(1 ) = ．
+1 +1
16.【答案】解：(1)提出零假设 0：该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联，
2
2 350×(150×50 50×100) 35根据表中数据，得到 = = ≈ 2.917 < 3.841 =
200×150×250×100 12 0.05
，
所以根据小概率值 = 0.05的独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，
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即认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联；
250 5 2
(2)依题意得， ( ) = = ， ( ) = 1 ( ) = ，
350 7 7
150 3 50 1
( ) = = ， ( ) = = ，
350 7 350 7
3 1 ( ) 3 ( ) 1
所以 ( | ) = = 75 = ， ( | ) = =
7
2 = ， ( ) 5
7 ( )
2
7

则 ( | ) > ( | )．
意义：男生对课外活动满意的概率比女生对课外活动满意的概率大；或者男生对课外活动满意的人数比女
生对课外活动满意的人数多等等．
17.【答案】(1)证明：因为 ⊥平面 ， // ，所以 ⊥平面 ，
以点 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，
2
则 (0,0,0)， (1,1,0)， (0,2,2)， (0,0,1)， (0, , 1)，
3

因为 // ，所以 = = 2，所以
2 2 2
= = ( , , 0)，
3 3 3
而
2 2
= (0, , 1)，所以 = = ( , 0,1)，
3 3
由
1
= (0,2,1)， = (1,1, 1)，得 =
2
，
3 3
所以向量 ， ， 共面，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)解：由(1)知 (1,0,1)， (0,0,1)， (1,1,0)， (0,2,2)，
所以 = (1,0,0)， = (1,1, 1)， = (0,2,1)，
= 0设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，则{
= 0，即{ 1 ，
= 0 1 + 1 1 = 0
取 1 = 1，则 1 = 0， 1 = 1，所以 = (0,1,1)，
2 + = 0
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，则{
= 0，即{ 2 2 ，
= 0 2 + 2 2 = 0
取 2 = 1，则 2 = 3， 2 = 2，所以 = ( 3,1, 2)，
1 2 √ 7
所以cos < ， >= = = ，
| | | | √ 2×√ 9+1+4 14
由图知二面角 为钝角，
故二面角 的余弦值为 √ 7 ．
14
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18.【答案】解：(1)由已知，点 的坐标为(1,0)，且可设直线 的方程为 = + 1，
= + 1
联立方程组{ 2 ，消去 ，得
2 4 4 = 0( )，
= 4
因为 = ( 4 )2 4 × 1 × ( 4) = 16 2 + 16 > 0，
所以 1， 2为方程( )的两个实根，且 1 2 = 4，
因为点 ， 在抛物线 上，
2 2
2
所以 = 1 2
( 1 2)
1 2 = = 1，为常数； 4 4 16
(2)在题设条件下，直线 ， 都不与坐标轴平行且 ≠ 0，
1
由(1)可知直线 的方程为： = + 1，

①因为抛物线 的准线方程为 = 1，
代入 的方程可得点 的坐标为( 1,2 )，
由(1)可知， 1 2 = 4， 1 2 = 1，
1 + 2 = 4 ， 1 + 2 = ( 1 + 2) + 2 = 4
2 + 2，
因此， = ( 1 + 1, 1 2 ) ( 2 + 1, 2 2 )，
= 1 2 + ( 1 + 2) + 1 + 1 2 2 (
2
1 + 2) + 4
= 1 + 4 2 + 2 + 1 4 8 2 + 4 2 = 0，
即 的值为0；
②| || | + | || |存在最小值，
设点 ， 的坐标分别为 ( 3, 3)， ( 4, 4)，
因为点 ， ， ， 均在抛物线 上，
2 21 2
2
3
2
所以 41 = ， 2 = ， 3 = ， = ， 4 4 4 4 4
2 2
由 ⊥ ，有( 1 1, 1) ( 3 1, 3) = 0，即( 1 1)( 3 1) + 1 3 = 0， 4 4
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变形可得( 21 4)(
2
3 4) + 16 1 3 = 0，
则 2 21 3 + 16 1 3 + 16 = 4(
2
1 +
2
3 )( )，
同理， 22
2
4 + 16 2 4 + 16 = 4(
2 + 22 4 )，
2 2
根据抛物线的定义可知，| | = + 1 = 11 + 1，| | = 2 + 1 =
2 + 1，
4 4
2 2
| | = 3 + 1 =
3 + 1，| | = + 1 = 4 + 1，
4 4 4
2 2 2 2
所以| | | | + | | | | = ( 1 + 1)( 3 + 1) + ( 2 + 1)( 4 + 1)
4 4 4 4
( 2 2 2 2
= 1
+4)( 3+4) ( 2+4)( + 4
+4)
16 16
21
2
3+4(
2
1+
2 2 2 2 2
3)+16 2 4+4( 2+ 4)+16= +
16 16
21
2
3+8 1 3+16
2 2
= + 2 4
+8 2 4+16
8 8
2 2
( 1 3+4) ( 2 4+4)= + ．
8 8
由( )知， 2 2 21 3 + 24 1 3 + 16 = 4( 1 + 3) ≥ 0，
即( 1 3 + 12)
2 ≥ 128，当且仅当 1 + 3 = 0时取“=”，
同理，( 2 4 + 12)
2 ≥ 128，当且仅当 2 + 4 = 0时取“=”，
由题设， 2 4 < 1 3 < 0，
所以 1 3 ≥ 12 + 8√ 2， 2 4 ≤ 12 8√ 2，
2 2
所以( 1 3+4) ( 12+8√ 2+4)≥ = 24 16√ 2，
8 8
2
( 2 4+4)
2
( 12 8√ 2+4)
≥ = 24 + 16√ 2，
8 8
由题意可知， 1 + 3 = 0， 2 + 4 = 0同时成立，
2 2
此时，( 1 3+4) ( 2 4+4)+ 取得最小值24 16√ 2 + 24 + 16√ 2 = 48，
8 8
故| || | + | || |存在最小值，最小值为48．
19.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = + 3 + 3 2，
令 ( ) = ( ) = 3 + 3 2，则 ′( ) = 3 2 + 6 = 3 ( + 2)，
当 < 2或 > 2时 ′( ) > 0，当 2 < < 0时， ′( ) < 0，
所以 ( )在( ∞, 2)上单调递增，( 2,0)上单调递减，(0, +∞)上单调递增，
所以当 = 2时， ( )取得极大值 ( 2) = 4，
当 = 0时， ( )取得极小值 (0) = 0．
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(2)令 ( ) = ( ) ( + 1) = 3 3 2 1，
则 ′( ) = 3 2 6 1，且 ′(0) = 0， (0) = 0，
设 ( ) = ′( ) = 3 2 6 1，则 ′( ) = 6 6 ，
又令 ( ) = ′( ) = 6 6 ，则 ′( ) = 6 ，
1
①若 ′(0) = 1 6 < 0，即 > 时，
6
由于 ′( ) = 6 为单调递增函数，且 ′(ln(1 + 6 )) = 1 > 0，
所以 0 ∈ (0, ln(1 + 6 ))， ′( 0) = 0，
则0 < < 0时， ′( ) < 0，
可知 ( )即 ′( )在区间(0, 0)上为减函数，则 ′( ) ≤ ′(0) = 1 6 < 0，
故 ( )即 ′( )在区间(0, 0)上为减函数，则 ′( ) ≤ ′(0) = 0，
则 ( )在区间(0, 0)上为减函数，所以 ( ) ≤ (0) = 0，不符合题意，
1
②若 ′(0) = 1 6 ≥ 0，即 ≤ 时，
6
由于 ′( )在区间[0, +∞)上为增函数，可知 ′( ) ≥ ′(0) ≥ 0，
则 ( )即 ′( )在区间[0, +∞)上为增函数，故 ′( ) ≥ ′(0) = 1 6 ≥ 0，
所以 ( )即 ′( )在区间[0, +∞)上为增函数，
则 ′( ) ≥ ′(0) = 0，则 ( )在区间[0, +∞)上为增函数，
所以 ( ) ≥ (0) = 0，即 ≥ 0时， ( ) ≥ + 1恒成立，
1
所以，当 ≤ 时，符合条件．
6
1
综上所述，当 ≥ 0， ( ) ≥ + 1时， 的取值范围为( ∞, ]．
6
1+1 3+1 3 1+1 3
(3)欲证(1 + )(1 + ) (1 + ) < √ +1，
3+1 32

+1 3 +1
1+1 3+1 3 1+1 +1
只需证明ln(1 + ) + ln(1 + 2 ) + + ln(1 + ) < ， 3+1 3 +1 3 +1 3
由(2)可知，当 = 0时， ( ) ≥ + 1，即有 ≥ + 1，
进而得ln(1 + ) ≤ ，其中 > 1，当且仅当 = 0时“=”成立，
1+1 1+1 3+1 3+1 3 1+1 3 1+1
则ln(1 + ) < ，ln(1 + 2 ) < ，…，ln(1 + ) < ， 3+1 3+1 2 3 3 +1 3 +1 +1 3 +1
1+1 3+1 3 1+1 1+1 3+1 3 1+1
所以ln(1 + ) + ln(1 + 2 ) + + ln(1 + ) < + + +3+1 3 +1 3+1 2
3 +1 3 +1 3 +1
1 3+3 1 32+3 1 3 +3
= × + × + + ×
3 3+1 3 32+1 3 3
+1
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1 2 2 2
= [(1 + ) + (1 + ) + + (1 + )]
3 3+1 32

+1 3 +1
1 2 2 2
< [(1 + ) + (1 + 2) + + (1 + )] 3 3 3 3
1 1
1 2× (1 )3
= [ + 3
+1
1 ] < ， 3 1 3
3
1+1 3+1 3 1+1 3
所以(1 + )(1 + 2 ) (1 + ) < √
+1．
3+1 3 +1 3 +1
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