【压轴集训】浙江省2024年七年级（上）期末数学培优精选题（二） （含解析）

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浙江省2024年七年级（上）期末数学培优精选题（二）
一．选择题
1．一列数按一定规律排列成﹣1，4，﹣16，64，﹣256， ，从中取出三个相邻的数，若三个数的和为a，则这三个数中最大的数与最小的数的差为（　　）
A． B．|a| C．|a| D．
2．如图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点，图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，………，按此规律图9中的小黑点个数为（　　）
A．64 B．67 C．84 D．87
3．如图，将正方形ABCD沿直线DF折叠，使得点C落在对角线BD上的点E处，则∠DEC的度数是（　　）
A．65.5° B．67.5° C．70° D．72.5°
4．已知两个完全相同的大长方形，各放入四个完全一样的白色小长方形后，得到图①，图②，若要求出图①与图②中阴影部分周长的差，则下列说法错误的是（　　）
A．只需知道图①中EP的长
B．只需知道图①中EH的长
C．只需知道图①中FG的长
D．只需知道图①中GH的长
二．填空题
5．已知线段AB，CD相交于点O（不与端点重合），OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，若∠AOC：∠AOE＝1：2，则∠BOF的度数为 　 　．
6．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝62°，则∠AEG＝　 　°．
7．已知A，B，C为同一平面内不共线的三点，点D分线段AC，BC的和为相等的两部分，若AC＝10，CD＝3，则线段BC长为 　 　．
8．如图，已知∠AOB＝138°，∠COD＝30°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为 　 　．
9．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数，记nΔ＝n﹣n#；例如：7#＝8#＝4，7Δ＝7﹣4＝3，则2024Δ的值为 　 　，计算...　 　．
10．如图是一个周长为8的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①、②、③、④、⑤），其中AE＝CG，AH＝CF，DF＝BH，DE＝BG．
（1）若⑤为正方形，则②的周长为 　 　．
（2）若⑤的长与宽之差为1.4，则①的周长为 　 　．
11．如图1，一个饮料瓶子的上半部分为圆柱，下半部分为长方体，如图2，瓶内装着一些饮料、当瓶子倒放时，液面的高度为17cm，当瓶子正放时液面的高度为14cm．如图3，现将瓶内一部分饮料倒满一杯120ml的杯子，瓶子内剩余的饮料高8cm，则该瓶子的容积为 　 　ml．
三．解答题
12．如图，线段AB＝15cm，点P从点A出发以1cm/s的速度在射线AB上向点B方向运动；
点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向运动，点Q的速度始终为2cm/s，设运动时间为t s．
（1）若点P，Q同时出发，则当点P与点Q重合时，求t的值．
（2）若点P，Q同时出发，则当点P把线段AQ分成1：2的两部分时，求t的值．
13．台州西站到永康南站现有一条设计时速为160km的单轨普速铁路．客车以150km/h的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表：
到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南
到达时间 11：03 11：25 11：53 12：04 12：23
驶出时间 11：05 11：27 11：55 12：07
（1）求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为40km，标记40．（只要求写数字，单位为km）．
（2）一列货运列车以120km/h的速度匀速行驶开往永康南站，在10：55通过临海南站．
①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾．
②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图2）．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）．
14．《如何选择合适的话费套餐》
【背景素材】
某通信运营商提供5G融合套餐，一人付费全家享，其中两种套餐的具体内容如下：
A套餐 B套餐
每月基本服务费 169元 199元
每月免费国内通用流量 40GB 60GB
每月免费国内通话时间 800分钟 1000分钟
超出后通话收费 0.15元/分钟
超出后流量收费 3元/GB，不足1GB按1GB收费
【问题解决】若某用户目前使用A套餐．
任务1：12月全家使用流量45GB，通话时长850分钟，请计算该用户12月份的套餐费用．
任务2：该用户查看全家近半年通话时长及流量使用情况，发现每月通话时长基本在850分钟左右，但流量使用波动较大．视该用户每月通话时长为850分钟，设其每月使用流量为mGB（m为正整数）．
（1）请表示该用户每月所需支付的费用．
（2）请计算说明，该用户何时需要调整套餐．
15．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
【猜想】
如图1，当∠COD的两边在直线AB同侧时，小明通过实验测量得到∠AOC与∠DOE的相关数量，如下表：
∠AOC 90° 60° 50° 30°
∠DOE 45° 30° 25° 15°
猜想∠DOE与∠AOC的数量关系．
【探究】
小明将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．探究∠AOC和∠DOE的数量关系是否符合【猜想】中的结论，并说明理由．
【拓展】
将图1中∠COD的边OC与OA重合的位置开始，绕顶点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒10度，旋转时间t秒（0＜t＜18），OF为∠COD的角平分线，当∠EOF＝30°时，求t的值．
16．在综合实践课上，小聪用m张尺寸如图①所示的长方形白纸条（单位：厘米），按图②所示的方法粘合得到长方形ABCD，粘合部分的长度为6厘米；小明用n张同样的纸片按如图③所示的方法粘合得到长方形A1B1C1D1，粘合部分的长度为4厘米．
（1）当m＝5时，求AB的长．
（2）请用n的代数式表示A1B1的长．
（3）现有图①所示长方形白纸条20张，你能找到合适的分配方案使小聪和小明按各自要求粘合起来的长方形面积相等吗？请写出分配方案，并说明理由．（注：图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张）
浙江省2024年七年级（上）期末数学培优精选题（二）
参考答案
一．选择题
1．【分析】分三个数为两正一负和两负一正，两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：由已知数据可知，相邻两个数据的商为（﹣4）；
①当三个数中两端为正中间为负时，
设相邻的三个数为n，﹣4n，16n
由题意可得n+（﹣4n）+16n＝a，
解得：，
此时三个数中最大数与最小数的差为：；
②当三个数中两端为负中间为正设相邻的三个数为﹣n，4n，﹣16n
由题意可得﹣n+4n﹣16n＝a，
解得：
此时三个数中最大数与最小数的差为：，
∴则这三个数中最大数与最小数的差为；
故选：C．
2．【分析】依次求出图形中小黑点的个数，根据发现的规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
图1中小黑点的个数为：4＝12+3；
图2中小黑点的个数为：7＝22+3；
图3中小黑点的个数为：12＝32+3；
图4中小黑点的个数为：19＝42+3；
…，
所以图n中小黑点的个数为：n2+3．
当n＝9时，
n2+3＝92+3＝84（个），
即图9中小黑点的个数为84个．
故选：C．
3．【分析】由正方形的性质可得∠EDC＝45°，由折叠可得DE＝DC，再由等腰三角形的性质可得DEC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDC＝45°，
∵折叠，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠DEC＝∠DCE67.5°，
故选：B．
4．【分析】设图中小长方形的长为FG＝x，宽为HP＝y，大长方形的宽为b，大长方形的长为EP＝a，可根据图形得出x+2y＝a、x＝2y，则4y＝a，EH＝a﹣y＝3y，根据周长列出代数式代入求解即可．
【解答】解：设图中小长方形的长为FG＝x，宽为HP＝y，大长方形的宽为b，大长方形的长为EP＝a，
根据题意，得：2x+y＝a、2x＝y，
则2y＝a，
∴EH＝a﹣y＝y，
图（1）中阴影部分周长为2b+4y＝2a+2b，图（2）中阴影部分的周长为2（a+b﹣2y）＝2a+2b﹣4y，
图（1）阴影部分周长与图（2）阴影部分周长之差为：（2a+2b）﹣（2a+2b﹣4y）＝4y＝2a＝8x，
即图①与图②中阴影部分周长的差＝8FG＝2EP＝EH．
故选：D．
二．填空题
5．【分析】分两种情况讨论：如图，当OF在∠AOD的外部时，如图，当OF在∠AOD的内部时，再利用数形结合的方法解题即可．
【解答】解：如图，当OF在∠AOD的外部时，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠DOE，
∵∠AOC：∠AOE＝1：2，∠AOC+∠AOE+∠DOE＝180°，
∴，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣90°﹣36°＝54°；
如图，当OF在∠AOD的内部时，
同理可得：∠BOF′＝54°，而∠BOF′+∠BOF＝180°，
∴∠BOF＝180°﹣∠BOF′＝180°﹣54°＝126°，
故答案为：54°或126°
6．【分析】根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出∠DEF，根据折叠求出∠FEG，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1＝62°，
∵沿EF折叠D到D′，
∴∠FEG＝∠DEF＝62°，
∴∠AEG＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
故答案为：56．
7．【分析】根据题意进行分两种情况，①当AC＞BC时，D点在AC上，②当AC＜BC时，D点在BC上，逐一解答即可，
【解答】解：①当AC＞BC时，D点在AC上，如图1，
∵点D分AC，BC的和为相等的两部分，
∴AD＝BC+CD，
∵AC＝10，CD＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3＝7，
∴BC+CD＝7，
∴BC＝7﹣CD＝7﹣3＝4；
②当AC＜BC时，D点在BC上，如图2，
∵点D分AC，BC的和为相等的两部分，
∴AC+CD＝BD，
∵BD＝BC﹣CD，
∴AC+CD＝BC﹣CD，
∴BC＝AC+2CD＝10+2×3＝16，
故答案为：4或16．
8．【分析】先由角平分线的定义得出，再由∠MON＝∠MOD+∠NOC﹣∠COD进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴，，
∴，
又∵∠AOB＝138°，∠COD＝30°，
∴，
又∵∠MON＝∠MOD+∠NOC﹣∠COD，
∴∠MON＝84°﹣30°＝54°，
故答案为：54°．
9．【分析】（1）2024Δ＝2024﹣2024#，2024#表示不大于2024的最大完全平方数，442＝1936，452＝2025，1936＜2024＜2025，那么2024#＝1936，代入求解即可；
（2）分别求得1Δ，1#；2Δ，2#...2024Δ，2024#的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可．
【解答】解：（1）∵2024#表示不大于2024的最大完全平方数，1936＜2024＜2025，
∴2024#＝1936．
∴2024Δ＝2024﹣2024#＝2024﹣1936＝88．
（2）由题意得：1#＝1，
∴1Δ＝1﹣1#＝1﹣1＝0，1；
∵2#＝1，
∴2Δ＝2﹣2#＝2﹣1＝1，1；
∵3#＝1，
∴3Δ＝3﹣3#＝3﹣1＝2，1；
∵4#＝4，
∴4Δ＝4﹣4#＝4﹣4＝0，2；
∵5#＝4，
∴5Δ＝5﹣5#＝5﹣4＝1，2；
∵6#＝4，
∴6Δ＝6﹣6#＝6﹣4＝2，2；
∵7#＝4，
∴7Δ＝7﹣7#＝7﹣4＝3，2；
∵8#＝4，
∴8Δ＝8﹣8#＝8﹣4＝4，2；
..．
∵2024#＝1936，
∴2024Δ＝2024﹣2024#＝2024﹣1936＝88，44．
分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束．
∴...
...+（...）
...
＝3+5+7+9+...+（2×44+1）
＝3+5+7+9+...+89
2024．
故答案为：88，2024．
10．【分析】（1）设AE＝CG＝x，AH＝CF＝y，DF＝BH＝m，DE＝BG＝n，则⑤的长和宽分别为y﹣m、n﹣x，由长方形的周长得x+y+m+n＝4，再由正方形的性质得y﹣m＝n﹣x，则x+y＝m+n＝2，即可得出结论；
（2）设AE＝CG＝x，AH＝CF＝y，DF＝BH＝m，DE＝BG＝n，则⑤的长和宽分别为y﹣m、n﹣x，由长方形的周长得x+y+m+n＝4，则m+n＝4﹣（x+y），再求出2（x+y）＝5.4或2.6，即可得出结论．
【解答】解：（1）设AE＝CG＝x，AH＝CF＝y，DF＝BH＝m，DE＝BG＝n，
则⑤的长和宽分别为y﹣m、n﹣x，
∵长方形ABCD的周长为8，
∴x+y+m+n＝4，
∵⑤为正方形，
∴y﹣m＝n﹣x，
∴x+y＝m+n＝2，
∴②的周长为：2（m+n）＝2×2＝4，
故答案为：4；
（2）设AE＝CG＝x，AH＝CF＝y，DF＝BH＝m，DE＝BG＝n，
则⑤的相邻两边长分别为y﹣m、n﹣x，
∵长方形ABCD的周长为8，
∴x+y+m+n＝4，
∴m+n＝4﹣（x+y），
∵⑤的长与宽之差为1.4，
∴y﹣m﹣（n﹣x）＝1.4或n﹣x﹣（y﹣m）＝1.4，
∴x+y﹣（m+n）＝1.4或（m+n）﹣（x+y）＝1.4，
∴x+y﹣[4﹣（x+y）]＝1.4或4﹣（x+y）﹣（x+y）＝1.4，
∴2（x+y）＝5.4或2（x+y）＝2.6，
∴①的周长为：2（x+y）＝5.4或2.6，
故答案为：5.4或2.6．
11．【分析】设长方体的底面积为a cm2，圆柱的底面积b cm2，根据题意可知，7a+10b＝10a+4b，整理得a＝2b，根据题意可知，4b+2a＝120，解得a＝30，b＝15，由此可算出瓶子的容积．
【解答】解：设长方体的底面积为a cm2，圆柱的底面积b cm2，
根据题意可知，7a+10b＝10a+4b，
整理得a＝2b，
根据题意可知，4b+2a＝120，
解得a＝30，b＝15，
∴该瓶子的容积为10a+10b＝450（ml），
故答案为：450．
三．解答题
12．【分析】（1）根据A、B两点间的距离＝两者速度之和×相遇时间，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）分点P、Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况考虑，点P、Q重合前，根据点P，Q的运动速度、方向及AB的长，可用含t的代数式表示出AP、PQ长，分2AP＝PQ及AP＝2PQ两种情况可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；点P、Q重合后，由点P、Q运动方向一致和点P，Q的运动速度及相遇的时间，即可用含t的代数式表示出AP，PQ的长，再分2AP＝PQ及AP＝2PQ两种情况可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论，综上即可得出结论．
【解答】（1）解：根据题意，得（1+2）t＝15，
解得：t＝5，
∴当t＝5时，点P与点Q重合；
（2）①点P、Q重合前，
∵点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，
∴AP＝t，BQ＝2t，
∴PQ＝15﹣3t，
当2AP＝PQ时，得15﹣3t＝2t，
解得：t＝3；
当AP＝2PQ时，得t＝2（15﹣3t），
解得：t；
②点P，Q重合后，
∵点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，且t＝5时，点P与点Q重合，
∴AP＝t，PQ＝2（t﹣5）﹣（t﹣5）＝t﹣5，
当AP＝2PQ时，得t＝2（t﹣5），
解得：t＝10；
当2AP＝PQ时，得2t＝t﹣5，
解得：t＝﹣5（不合题意，舍去），
综上所述，当t＝3或或10时，点P把线段AQ分成1：2的两部分．
13．【分析】（1）根据路程＝速度×时间求出各段距离即可；
（2）①分别求出货车和客车到终点永康南站前的时间，然后比较即可判断客运列车是否与货运列车发生追尾事故；假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟，根据客车和货车行驶的路程方程列方程求解即可；
②分别计算停仙居南站、停磐安南站、停壶镇站等待的时间，然后比较即可求解．
【解答】解：（1）客运列车的行驶速度150km/h＝2.5km/min；
临海南到仙居南铁路公里数：20×2.5＝50km；
仙居南到磐安南铁路公里数：26×2.5＝65km；
磐安南到壶镇铁路公里数：9×2.5＝22.5km；
标注在示意图中
（2）货运列车速度120km/h＝2km/min．客运列车的行驶速度150km/h＝2.5km/min．
①首先判断到终点永康南站前，客运列车是否与货运列车发生追尾事故．
由题意可得，以临海南站为起点，客运列车比货运列车晚10分钟出发．
临海南至永康南：铁路总里程为40+22.5+65+50＝177.5km．
货运列车用时为177.5÷2＝88.75min，
客运列车行驶时间为177.5÷2.5＝71min．三站停车总时长2+2+3＝7min．
78+10＜88.75，客运列车总用时比货运列车少，但很接近，所以猜测两车在壶镇至永康段追尾．
验证追尾：假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟．
根据题意可知：2t＝2.5（t﹣10﹣2﹣2﹣3），
解得：t＝85，
追尾点与临海南站的距离为85×2＝170km；
②临海南至永康南铁路总行程为177.5km．因170＜177.5，
所以，若货车不等待客车先通过，两车在壶镇至永康南段将会追尾．为避免两车追尾，因此货运列车可以停靠在仙居南站、磐安南站或壶镇站等待客运列车先通过．
停仙居南站：货车用时为50÷2＝25分钟，客车用时为50÷2.5+2＝22分钟，货车等待时间：22+10﹣25＝7分钟，所以货车停仙居站等待客车通过要7分钟．
停磐安南站：115÷2＝57.5分钟，50+10﹣57.5＝2.5分钟，所以货车停磐安南站等待客车通过要3分钟．
停壶镇站：137.5÷120×60＝78.75分钟，62+10﹣68.75＝3.25分钟（客车在站点停3分钟），所以货车停壶镇站要4分钟．
综上所述，货运列车停靠在磐安南站用时最少，最少为3分钟．
14．【分析】任务1：根据基本服务费加超出的通话费加超出的流量收费，即可求解；
任务2：（1）根据基本服务费加超出的通话费加超出的流量收费，即可表示出该用户每月所需支付的费用；
（2）由（1）知，当A套餐的费用等于B套餐的基本服务费时，列出方程求出m即可作出说明．
【解答】解：任务1：
解：169+（850﹣800）×0.15+（45﹣40）×3＝191.5（元）；
答：该用户12月份的套餐费用为191.5元．
任务2：
（1）169+（850﹣800）×0.15+（m﹣40）×3＝（56.5+3m）元；
答：该用户每月所需支付的费用为（56.5+3m）元；
（2）由题意得：56.5+3m＝199，
解得：m＝47.5，
由于m为正整数，故m＝48，
答：每月使用流量为48GB时，需要调整套餐．
15．【分析】猜想：由角平分线的定义结合角的和差运算可得2∠DOE＝180°﹣2∠COE，而∠AOC＝180°﹣2∠COE，从而可得结论；
探究：设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，由角平分线可得，再结合角的和差运算可得结论；
拓展：分两种情况讨论：①当0＜t≤9时，∠AOC＝10t，则∠BOC＝180°﹣10t，②当9＜t＜18时，∠AOC＝10t，则∠BOC＝180°﹣10t，再建立方程求解即可．
【解答】解：猜想：∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠COE，
∴2∠DOE＝180°﹣2∠COE，
∵∠AOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝180°﹣2∠COE，
∴∠AOC＝2∠DOE，
探究：符合，理由如下：如图，
≥
设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠DOC＝90°，
∴，
∴∠AOC＝2∠DOE，
拓展：①当0＜t≤9时，∠AOC＝10t，则∠BOC＝180°﹣10t，
∵OF为∠COD的角平分线，∠DOC＝90°，
∴，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴∠FOE＝90°﹣5t﹣45°＝30°，
∴t＝3，
②当9＜t＜18时，∠AOC＝10t，则∠BOC＝180°﹣10t，
∵OF为∠COD的角平分线，∠DOC＝90°，
∴，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴∠FOE＝45°﹣（90°﹣5t）＝30°，
∴t＝15．
综上所述，t的值为3或15．
16．【分析】（1）根据题意AB＝30×5﹣4×6＝126厘米即可．
（2）根据题意列出A1B1＝10n﹣4（n﹣1）＝6n+4即可．
（3）设小聪应分配到x张长方形白纸条，则小明应分配到（20﹣x） 张长方形白纸条，根据等量关系，列出关于x的一元一次方程，解出方程即是所求．
【解答】解：（1）AB＝30×5﹣4×6＝126厘米．
（2）根据题意得：
A1B1＝10n﹣4（n﹣1）＝6n+4．
（3）设小聪应分配到x张长方形白纸条，则小明应分配到（20﹣x） 张长方形白纸条，依题意有：
10[30x﹣6（x﹣1）]＝30[10（20﹣x）﹣4（20﹣x﹣1）]，
解得，
∵图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张，
∴没有合适的分配方案．