【压轴集训】浙江省2024年七年级（上）期末数学培优精选题（三）（含解析）

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浙江省2024年七年级（上）期末数学培优精选题（三）
一．选择题
1．小霞同学定义了两种新运算：D（x）＝x+1，R（x）＝x﹣2（x为实数），例如：D（2）＝2+1＝3，R（3）＝3﹣2＝1．若a为实数，则下列运算正确的是（　　）
A．2D（a）＝R（2a） B．2R（D（a））＝R（D（2a））
C．R（2D（a））＝2D（R（a）） D．R（D（2a））＝D（R（2a））
2．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
3．已知多项式ax2+bx+c中，a，b，c为常数，x的取值与多项式对应的值如下表：
x 1 ﹣5 2 ﹣6
ax2+bx+c M M+12 7 N
则N值为（　　）
A．15 B．19 C．21 D．23
4．将偶数由小到大按顺序排列如图所示，任意选取“∩”型框中的5个数（如阴影部分所示），则这5个数的和不可能是（　　）
A．224 B．354 C．574 D．614
二．填空题
5．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①（a﹣1）（b﹣1）＞0；②（a﹣1）（b+1）＜0；③（a+1）（b+1）＞0；④（a+1）（b﹣1）＜0．其中正确式子的序号是 　 　．
6．已知x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3．因此，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9，所以有x＝[x]+a，其中0≤a＜1．
（1）若x＝﹣5.3，则[x]＝　 　，a＝　 　．
（2）已知2a＝[x]+2．则x＝　 　．
7．若x，y，z都是有理数，且x+y+z＝0，xyz＜0，则的值是 　 　．
8．一根绳子AB长为20cm，C，D是绳子AB上任意两点（C在D的左侧）．将AC，BD分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在CD上的点E，F处．
（1）当CD＝12cm时，E，F两点间的距离为 　 　．
（2）当E，F两点间的距离为2cm时，CD的长为 　 　．
9．如图①，在长方形ABCD中，点E在AD上，并且∠BEA＝64°，分别以BE，CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠A'ED'＝14°，则∠DEC的度数是 　 　．
10．将周长相等的正方形ABCD和长方形EFGH放入同一个大长方形内．按图1放置，大长方形未被覆盖部分①和②的周长差为2，记①和②的周长和为C1；按图2放置，大长方形未被覆盖部分③的周长记为C2．设AD为x，EF为y（x＜y）．
（1）用含x、y的代数式表示FG＝　 　；
（2）若2C2＝C1+8，则长方形EFGH的面积为 　 　．
三．解答题
11．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
（1）如图1，点M是线段AB的一个三等分点，满足BM＝2AM，若AB＝9cm，则AM＝　 　cm；
（2）如图2，已知AB＝9cm，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线AB方向运动t秒．
①当t为何值时，点C是线段AD的三等分点；
②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以每秒x cm的速度沿射线BA方向运动，在运动过程中，点C，点E分别是AE，AD的三等分点，请直接写出x的值．
12．根据以下素材，回答问题．
问题背景 吴兴区某学校决定在校内开辟劳动实践基地，现向全校师生征集实践基地的设计方案．学校项目化学习小组根据学校要求完成了初步设计，请跟随小组成员共同完成以下任务．
素材一
项目化学习小组通过初步研讨，计划利用学校现成的一堵“L”型墙面和栅栏围成长方形的劳动实践基地BFED，其中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝2米，BC＝6米．初步设计方案有两种：如图①，点D在线段BC上；如图②，点D在线段BC的延长线上（包括点C）．
素材二 通过查询学校现有物资信息，学校仓库可提供栅栏的总长度为10米．项目化学习小组决定将这10米栅栏全部用于劳动实践基地中．
素材三 经过市场调查，建造劳动实践基地的人工和材料费合计为25元/平方米．
任务一 根据图1的设计， 若设AF＝x，则在①中，DE＝　 　；（请用含x的代数式表示） 在②中，长方形BFED的周长为 　 　．
任务二 根据学校要求，劳动实践基地的长：宽＝2：1，请分别求出不同方案下AF的值．
任务三 在任务二的条件下，为了节省学校的开支，请你帮助小组成员确定符合要求的方案：　 　（填①或②），并求出此时所需的费用．
13．如图，三角尺ABP的直角顶点P在直线CD上，其中∠A＝60°，∠B＝30°．
（1）如图①，若∠APC＝40°，求∠BPD的度数．
（2）如图②，若AB∥CD，PN平分∠BPD，求∠APN的度数．
（3）在（1）的条件下，将三角尺ABP绕点P以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转t秒（0＜t≤50）后得到三角尺A′B′P，如图③，当时，求t的值．
14．某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图，点O为钟面的圆心，∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，且点A，O，C在同一直线上，边OA指向12点方向，边OC指向6点方向，记时针为线段OM，分针为线段ON，时钟运行正常．
（1）边OD所指的钟面数字为 　 　；当时针OM与边OB重合时，钟面显示的时间为 　 　；
（2）①若经过20分钟，求时针OM和分针ON各走了多少度？
②若时针OM恰好平分∠AOB，求此时分针ON与边OD夹角的度数；
（3）若时针OM与分针ON同时从12点出发，当时针OM与分针ON第一次形成一个平角时，直接写出此时钟面显示的时间．（精确到分钟）
浙江省2024年七年级（上）期末数学培优精选题（三）
参考答案
一．选择题
1．【分析】按照新定义的运算方法化简各选项进行比较即可．
【解答】解：A、2D（a）＝2（a+1）＝2a+2，R（2a）＝2a﹣2，故A错误，不符合题意；
B、2R（D（a））＝2R（a+1）＝2（a+1﹣2）＝2a﹣2，R（D（2a））＝R（2a+1）＝2a+1﹣2＝2a﹣1，
故B错误，不符合题意；
C、R（2D（a））＝R（2a+2）＝2a，2D（R（a））＝2D（a﹣2）＝2×（a﹣2+1）＝2a﹣2，
故C错误，不符合题意；
D、R（D（2a））＝R（2a+1）＝2a﹣1，D（R（2a））＝D（2a﹣2）＝2a﹣1，
故D正确，符合题意．
故选：D．
2．【分析】根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2+2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2+2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2+2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10＝4×2+2；
…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个，
当n＝10时，
2n+2＝22（个），
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．
故选：B．
3．【分析】先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解4a﹣b＝2，32a﹣8b＝N﹣7，再利用整体代入法可得答案．
【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝M①，
当x＝2时，4a+2b+c＝7②，
当x＝﹣5时，25a﹣5b+c＝M+12③，
当x＝﹣6时，36a﹣6b+c＝N④，
③﹣①得：24a﹣6b＝12，即4a﹣b＝2，
④﹣②得：32a﹣8b＝N﹣7，
∴8（4a﹣b）＝N﹣7，
∴N﹣7＝16，
∴N＝23；
故选：D．
4．【分析】第一个数为x，则其他数字为：x+2，x+4，x+12，x+4+12，根据题意列出方程，解方程分别讨论．根据108在表中的第6列，即可求解．
【解答】解：设第一个数为x，则其他数字为：x+2，x+4，x+12，x+4+12，
x+x+2+x+4+x+12+x+4+12＝224，解得：x＝38，38在第1列，则这5个数的和可以为224；
x+x+2+x+4+x+12+x+4+12＝354，解得：x＝64，64在第2列，则这5个数的和可以为354；
x+x+2+x+4+x+12+x+4+12＝614，解得：x＝116，116在第4列，则这5个数的和可以为614；
x+x+2+x+4+x+12+x+4+12＝574，解得：x＝108．
又∵108在表中的第6列，
∴这5个数的和不可能是574．
故选：C．
二．填空题
5．【分析】根据表示数a，b的点在数轴上的位置可确定a，b与1，﹣1的大小关系，从而确定a﹣1，b﹣1，a+1，b+1的符号，进而根据有理数的乘法法则判断各式子的符号，即可解答．
【解答】解：由数轴可得：b＜﹣1，0＜a＜1，
∴a+1＞0，a﹣1＜0，b+1＜0，b﹣1＜0，
∴（a﹣1）（b﹣1）＞0，故式子①正确；
（a﹣1）（b+1）＞0，故式子②错误；
（a+1）（b+1）＜0，故式子③错误；
（a+1）（b﹣1）＜0，故式子④正确．
∴正确的式子是①④．
故答案为：①④．
6．【分析】（1）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可；
（2）由材料中的条件2a＝[x]+2可得，由0≤a＜1，可求得[x]的范围，根据[x]为整数，分情况讨论即可求得x的值．
【解答】解：（1）根据题意得：[﹣5.3]＝﹣6，
∵x＝[x]+a，
∴﹣5.3＝[﹣5.3]+a，
∴﹣5.3＝﹣6+a，
∴a＝0.7；
故答案为：﹣6；0.7；
（2）∵x＝[x]+a，其中0≤a＜1，
∴[x]＝x﹣a，
∵2a＝[x]+2，
∴．
∵0≤a＜1，
∴，
∴﹣2≤[x]＜0，
∴[x]＝﹣2或﹣1．
当[x]＝﹣2时，a＝0，x＝﹣2；
当[x]＝﹣1时，a，x；
∴x＝﹣2或．
故答案为：﹣2或．
7．【分析】由x+y+z＝0变形可得：y+z＝﹣x，z+x＝﹣y，x+y＝﹣z，从而原式可化为：；再由x+y+z＝0，xyz＜0可知：在x、y、z中必有一负两正，分情况讨论就可求得原式的值．
【解答】解：∵x+y+z＝0，
∴y+z＝﹣x，z+x＝﹣y，x+y＝﹣z，
∴原式，
∵x+y+z＝0，xyz＜0，
∴在x、y、z中必为两正一负，
∴当x为负时，原式，
当y为负时，原式，
当z为负时，原式，
故答案为：3或﹣1．
8．【分析】（1）由已知AC+BD＝8cm，翻折后AC+BD＝CE+DF＜CD，则E，F两点间的距离为CD﹣（CE+DF），由此即可求解；
（2）分两种情况：AC+BD＜CD及AC+BD＞CD，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝20cm，CD＝12cm，
∴AC+BD＝AB﹣CD＝8cm，
由于翻折，如图，则AC＝CE，BD＝DF，
∴AC+BD＝CE+DF＝8cm＜CD＝12cm，
∴E，F两点间的距离为CD﹣（CE+DF）＝12﹣8＝4（cm）；
（2）当AC+BD＜CD时，如图，
由于翻折，则AC＝CE，BD＝DF，
由图知，AE+EF+BF＝20，即2CE+2+2DF＝20，
∴CE+DF＝9，
∴CD＝CE+DF+EF＝9+2＝11（cm）；
当AC+BD＞CD时，如图，
则AE+BF﹣EF＝20，即2CE+2DF﹣2＝20，
∴CE+DF＝11，
∴CD＝CE+DF﹣EF＝11﹣2＝9（cm）；
综上，CD的长为11cm或9cm．
9．【分析】根据折叠的性质和平角的意义，得出关于∠DEC的方程，求解方程即可得出答案．
【解答】解：由折叠可知，∠A′EB＝∠AEB＝64°，∠DEC＝∠D′EC，
∵∠AEB+∠A′EB+∠D′EC+∠DEC＝180°+∠A′ED′，∠A′ED′＝14°，
∴64°+64°+∠DEC+∠DEC＝180°+14°．
∴∠DEC＝33°．
故答案为：33°．
10．【分析】（1）利用正方形和长方形的周长相等，列出式子即可得到答案；
（2）设大长方形的长为a，宽为b，分别求出C1、C2的值，再根据题中的关系式即可得到x、y、FG的值，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵AD为x，EF为y，
∴正方形ABCD的周长为4x，
∵正方形ABCD和长方形EFGH的周长相等，
∴长方形EFGH为周长为4x，
∴（FG+y）×2＝4x，
∴FG＝2x﹣y；
故答案为：2x﹣y．
（2）设大长方形的长为a，宽为b，
①的周长为：2[a﹣x+b﹣（2x﹣y）]＝2a+2b﹣6x+2y，
②的周长为：2（a﹣y+b﹣x）＝2a+2b﹣2x﹣2y，
∴C1＝2（a﹣2x+y+b﹣x）+2（b﹣y+a﹣x）＝4a+4b﹣8x，C2＝2（a+b﹣x）＝2a+2b﹣2x，
∵①和②的周长差为2，
∴（2a+2b﹣6x+2y）﹣（2a+2b﹣2x﹣2y）＝﹣4x+4y＝2，
∴，
又∵2C2＝C1+8，
∴4a+4b﹣4x＝4a+4b﹣8x+8，
4x＝8，
解得：x＝2，
∴，
∴，
∴长方形EFGH的面积为：，
故答案为：．
三．解答题
11．【分析】（1）由BM＝2AM，AB＝9cm，可得出AM的长度；
（2）①点C是线段AD的三等分点，分两种情况：或进行讨论求解即可；②点C，点E分别是AE，AD的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵BM＝2AM，AB＝9cm，
∴
故答案为：3；
（2）①由题意可得：，
∴，
点C是线段AD的三等分点，分两种情况：
当时，，解得：；
当时，，解得：t＝27；
综上所述：当t为或27s时，点C是线段AD的三等分点；
②由题意得：BE＝xt cm，则AE＝（9﹣xt）cm，，
∵点C，点E分别是AE，AD的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
解得x；
当时，则，，
解得x；
当时，则，，
解得x；
当时，则，，
解得x（舍）；
点C，点E分别是AE，AD的三等分点，x的值为或或．
12．【分析】任务一：根据DE＝BF，AB＝2，BC＝6即可求解；
任务二：根据图形，分别表示出DE，EF的长，由长：宽＝2：1，列出方程分别求解即可；
任务三：根据任务二知符合要求的方案为：①；代入数据计算即可．
【解答】解：任务一：∵DE＝BF，AB＝2，BC＝6，
∴DE＝AB+AF＝2+x；
长方形BFED的周长为：AB+BC+10＝18；
故答案为：x+2，18；
任务二：如图①，DE＝x+2，EF＝10﹣（x+2）﹣x＝8﹣2x，
由题意得：x+2＝2（8﹣2x），
解得：，
即；
如图②，DE＝x+2，EF＝7﹣x，
由题意得：7﹣x＝2（x+2），
解得：x＝1，
即AF＝1；
任务三：由任务二知符合要求的方案为：①；
由（2）得，
∴，
∴，
∴面积为（平方米），
∴费用为（元）．
13．【分析】（1）根据平角的定义和已知角求解即可；
（2）根据平行线的性质得到∠A＝∠APC＝60°，由PN平分∠BPD得到∠BPN＝15°，即可得到答案；
（3）根据t的取值范围分别进行求解即可．
【解答】解：（1）∵∠APC＝40°，∠APB＝90°，
∴∠BPD＝180°﹣∠APB﹣∠APC＝50°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠A＝∠APC＝60°，
∵PN平分∠BPD，
∴，
∴∠APN＝∠APB+∠BPN＝90°+15°＝105°；
（3）由得
当0＜t＜10时，，
解得，t＝50（舍）；
当10＜t＜18时，，
解得，；
当18≤t≤46时，，
解得t＝50（舍）；
当46＜t≤50时，，
解得，，
综上所述，或．
14．【分析】（1）根据钟面的特点，分别算在每一个大格的度数，每一小格的度数，时针每分钟走的度数，分针每分钟走的度数，结合图示即可求解；
（2）①根据时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°即可求解；②当时针OM恰好平分∠AOB时，可知时针走了45分钟，可得ON的位置，由此即可求解；
（3）根据时针和分钟第一次成平角，可得分钟走的度数减去时针走的度数等于180°，可算出第一次成平角是的时间，由此即可求解．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠B＝45°，∠D＝30°，
在钟面中，相连两个整数之间，即每一个大格是，每大格中相连的每一个小格是，分针每分钟走，时针每分钟走，
∴边OC指向6点方向时，∠COD＝60°，即两个大格，
∴边OD所指的钟面数字为8；
∵∠AOB＝45°，
∴时针的时间为：（分钟），即1小时30分钟，
∴当时针OM与边OB重合时，钟面显示的时间为1小时30分钟，即1：30，
故答案为：8；1：30；
（2）由（1）可知，分针每分钟走，时针每分钟走，
∴①若经过20分钟，时针OM走了20×0.5°＝10°，分针ON走了20×6°＝120°；
②∵∠AOB＝45°，若时针OM恰好平分∠AOB，
∴，
此时，OM走了分钟，
∴ON指向整点9的位置，
∴此时分针ON与边OD夹角的度数为30°；
（3）设时针OM与分针ON第一次形成一个平角时所有的时间为t分钟，
∴6t﹣0.5t＝180°，
解得，，
∴经过分钟时，时针OM与分针ON第一次形成一个平角，
∴钟面显示的时间为12时分钟．