专题二 小几何压轴题（含答案）2025年中考数学一轮题型专练（陕西）

专题二　小几何压轴题
题型1　运用图形对称性解决线段最值问题
1.如图,在 ABCD中,AB=6,BC=8,∠ABC=60°,P是 ABCD内一动点,且S△PBC=S△PAD,则PA+PD的最小值为 .
2.【原创好题】如图,在矩形ABCD中,EF为AD边上的动线段,且EF=1,连接BE,CF.若AB=2.5,BC=4,则BE+CF的最小值为 .
3.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点M,N分别在AD,BC上,且AM=CN,点P在CD上(且点P不与点D,C重合),当MP+PN的值最小时,tan∠MPN的值是 .
4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,2AD>BC,E为AB的中点,EF∥AD,M为AD上一点,连接MB与EF交于点P,连接MC与EF交于点Q.若BC=CD=4,则△MPQ周长的最小值为 .
5.如图,在△ABC中,AC=BC=4,∠ACB=120°,M是边BC上一动点,N是边AC上一动点,P是边AB上一动点,则PM+PN的最小值为 .
6.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是 .
题型2　运用旋转变换解决最值问题
7.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=6,OB=8,将△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD,取OA的中点E,CD的中点F,连接EF,则在旋转过程中,线段EF的最小值为 .
8.如图,正方形ABCD的边长为2,O是边BC的中点,E是正方形内一动点,且OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接AE,OF,CF,则线段OF的最小值为 .
9.如图,在等边三角形ABC中,∠BPC=150°,BP=3,PC=4,M,N分别为AB,AC上两点,且AM=AN,则PM+PN的最小值为 .
10.(2024·高新一中模拟)如图,AD是等边三角形ABC的高,M是线段AD上一点,连接BM,以BM为边向右下方作等边三角形BMN,当BN+DN的值最小时,∠BMD的度数为 .
题型3　结合动点轨迹解决线段最值问题
11.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为BC边上一动点,将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F,则线段DF的最小值为 .
　　
12.如图,在边长为6的等边三角形ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,F为BC上一点,EF=BD,G,M分别为AB,EF的中点,连接GM,则GM,的最小值为 .
13.如图,正方形ABCD的边长为16,点E,F分别在线段AB,AD上,且AF=8,AE=6,若点P,Q分别在线段BC,CD上运动,G为线段PF上的点,在运动过程中,始终保持∠GEB=∠GFA,则线段GQ的最小值为 .
　　
14.如图,在菱形ABCD中,AD=6,∠ADC=60°,点M在边DC上,且DM=4.将线段DM绕点D旋转,得到线段DN,连接BN,E是线段BN的中点,连接CE,则旋转一周的过程中线段CE的最大值是 .
15.如图,在△ABC中,AD,BE为中线,连接DE,若∠BAC=60°,BC=6,则DE的最大值为 .
16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是AC的中点,将CD绕点C逆时针旋转,在旋转的过程中点D的对应点为点E,连接AE,BE,则△AEB面积的最小值为 .
题型4　根据“定量”关系解决几何求值问题
17.如图,将等边三角形ABC沿着DE进行翻折,使点A的对应点A'落在BC上,折痕DE与AB交于点D,与AC交于点E,若BA'=3,A'C=5,则的值为 .
　　
18.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为AD上一点,EG⊥AC,连接EO并延长与BC交于点F,FH⊥BD,若AB=2,BC=3,则EG+HF= .
19.在菱形ABCD中,∠A=60°,点E,点F在对角线BD上,且满足DE=BF,过点E,F分别向AD,CD作垂线,记垂足为G,H,若GE+FH=6,则菱形ABCD的周长为 .
　　
20.如图,在边长为6的等边三角形ABC中,D为边BC上任意一点,且不与点B、点C重合,DE⊥AB,DF⊥AC,则AD+DE+DF的最小值为 .
21.如图,在△ABC中,E为边AB的三等分点,BE题型5　以四边形为背景的面积关系问题
22.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E,F分别为AB,AD上的点,AB=10,AD=12,若S△BEO=S△FDO,则= .
23.如图,点E,G分别在平行四边形ABCD的边CB,CD的延长线上,BE=BC,连接DE,以DE,DG为邻边作平行四边形DEFG,点A在边FG上,记四边形BCDH的面积为S1,四边形DEFG的面积为S2,则S1∶S2的值为 .
24.如图,在菱形ABCD中,∠ABC是锐角,过点A作AE⊥BC于点E,作∠EAF=∠ABC,交CD于点F.连接EF,BD,若S菱形ABCD=25,=,则△AEF的面积为 .
25.如图,在 ABCD中,E为BC的四等分点,F为AB的三等分点,其中AF题型6　解决组合图形的动态最值问题
26.如图,☉M在矩形ABCD内部(☉M可与矩形边相切),AB=6,BC=8,☉M的半径为2,连接BM,CM,则BM+CM的最小值为 .
　　
27.如图,在边长为6的等边三角形ABC中,存在一半径为1的☉P,且☉P在等边三角形ABC的内部(含☉P与△ABC边相切),则点P可移动的最大范围(最大面积)是 .
28.如图,☉O在正方形ABCD的内部平移(☉O可以与该正方形的边相切),若点A到☉O上的点的最大距离为7,此时点A到☉O上的点的最短距离为5,则正方形ABCD的边长为 .
29.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AD平分∠BAC,BC=6,O为线段AD上的动点,若以点O为圆心,1为半径的☉O在△ABC内(☉O可以与△ABC的边相切),则点D到☉O上点的距离d的最大值为 .
题型7　通过图形构造解决几何问题
30.如图,在△ABC中,AB=2,∠ABC=60°,∠ACB=45°,D是BC的中点,直线l经过点D,AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为 .
　
31.【原创好题】如图,在五边形ABCDE中,AE∥CD,AB∥DE,∠E=90°,∠ABC=135°,AE=DE=4,F为对角线AD的中点,则BF+AC的最小值为 .
32.在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,E为边AB的中点,连接DE,满足∠EDC=90°,若AD+BC=20,AB=12,则线段DE的长为 .
参考答案
1.4　解析:如图,过点P作直线l∥AD,作点A关于l的对称点A',连接AA',交l于点E,交BC于点F,连接A'P,则A'P=AP,AE=A'E,AA'⊥BC,
∴AP+PD=A'P+PD,
当点A',P,D在同一直线上时,AP+PD的值最小,最小值等于A'D的长.
∵AB=6,∠ABC=60°,
∴BF=AB·cos 60°=3,AF=3.
又∵S△PBC=S△PAD,
∴AE=AF=2,
∴AA'=2AE=4.
∵BC=8,∴AD=8,
在Rt△AA'D中,A'D===4,
∴PA+PD的最小值为4.
2.5　解析:
如图,延长CB到点G,使得BG=EF,连接GF.∵EF∥GB,且EF=GB,∴四边形GBEF为平行四边形,∴BE=GF.作点C关于AD的对称点C',连接C'F,则C'F=CF,
∴BE+CF=GF+C'F≥GC',当C',F,G三点共线时,BE+CF最小.
∵GC=GB+BC=1+4=5,CC'=2CD=5,
∴GC'=5,即BE+CF的最小值为5.
3.　
解析:如图,作点N关于CD的对称点E,连接ME,交CD于点P,连接CE,此时MP+PN有最小值,过点M作MF⊥BC于点F,
∴CN=CE,PN=PE.
∵∠A=∠B=∠MFB=90°,
∴四边形ABFM是矩形,
∴AB=MF=2,AM=BF.
∵AM=CN,∴BF=AM=CN=CE,
∴BC=EF=2.
∵tan E===,
∴∠E=∠PNE=30°,
∴∠MPN=60°,
∴tan∠MPN=.
故答案为.
4.2+2　解析:
如图,作点C关于AD的对称点C',连接C'B与AD交于点M'.
∵AD∥EF∥BC,E为AB的中点,∴F为CD的中点,
∴根据平行线分线段成比例,P、Q分别为MB、MC的中点,
∴PQ为△MBC的中位线,PQ=BC,MP=MB,MQ=MC,
∴C△MPQ=C△MBC=(MB+MC+BC)=(MB+MC+4).
∵MB+MC=MB+MC'≥BC',∴(MB+MC)min=BC'===4,
∴C△MPQmin=×(4+4)=2+2.
5.2　解析:
如图,作点C关于AB的对称点C',连接AC',BC',则AC=AC'=BC=BC',∴四边形ACBC'是菱形,在AC'上取AN'=AN,连接PN',∴PN=PN',∴PM+PN=PM+PN',
∴当M、P、N'共线,且MN'⊥AC'时,PM+PN'最小.过点C'作C'H⊥BC于点H,∵∠ACB=120°,
∴∠C'BH=60°,∴C'H=BC'=2,∴PM+PN的最小值为2.
6.9.6　解析:∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴AD垂直平分BC,∴根据勾股定理AD=8,BP=CP.
如图,过点B作BQ⊥AC于点Q,BQ交AD于点P,则此时PC+PQ取最小值,最小值为BQ的长.
∵S△ABC=BC·AD=AC·BQ,∴BQ===9.6.
7.2　解析:
如图,连接OF.∵∠AOB=90°,OA=6,OB=8,
∴AB==10.
由旋转可知,CD=AB=10,∠COD=∠AOB=90°.
∵E为OA的中点,F为CD的中点,
∴OE=OA=3,OF=CD=5.
在△EOF中,OF-OE≤EF≤OF+OE,当E,O,F三点在同一直线上时取等号,
∴2≤EF≤8,
∴线段EF的最小值为2.
8.8　解析:
如图,连接DO,将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM,连接FM,OM.
∵∠EDF=∠ODM=90°,
∴∠EDO=∠FDM.
在△EDO与△FDM中,
∴△EDO≌△FDM(SAS),∴FM=EO=2.
∵在正方形ABCD中,AB=2,O是BC边上的中点,∴OC=BC=AB=,
∴OD==5,
∴OM==10.
∵OF+MF≥OM,∴OF≥10-2=8,∴线段OF的最小值为8.
9.5　解析:如图1,将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,
则△PCE是等边三角形,∠AEC=∠BPC=150°,∠PEC=60°,
∴∠AEP=90°.
∵AE=BP=3,PC=PE=4,
∴PA==5.
如图2,将△APM绕点A逆时针旋转60°得到△AFN,
则△PAF是等边三角形,PM=NF,
∴PF=AP=5.
∵PM+PN=NF+PN≥PF,
∴PM+PN≥5,
∴PM+PN的最小值为5.
故答案为5.
10.60°　解析:如图1,取AB的中点E,作EF∥BC交AC于点F,连接EM、FM,则BE=AE=AB.∵△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,∴AB=BC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AD⊥BC,∴BD=CD=BC,∴BD=BE.
∵△BMN是等边三角形,∴BN=BM,∠MBN=60°,∴∠DBN=∠EBM=60°-∠CBM.
在△BDN和△BEM中,
∴△BDN≌△BEM(SAS),∴DN=EM.
∵∠EAF=60°,∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠C=60°,∴△AEF是等边三角形.
∵AD平分∠BAC,∴AD垂直平分EF,∴EM=FM,∴DN=FM,∴BN+DN=BM+FM.
连接BF,当点M落在线段BF上时,BM+FM的值最小,此时BN+DN的值最小.
如图2,点M在BF上.∵AF=AE=AB=AC,∴AF=CF,∴∠CBM=∠ABM=∠ABC=30°.
∵∠MDB=90°,∴∠BMD=90°-∠CBM=90°-30°=60°.
11.2　解析:如图,以B为原点,BC所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,过点F作FG⊥x轴于点G.
设BE=x,
∵四边形ABCD是正方形,FG⊥x轴,
∴∠ABE=90°=∠EGF,AB=BC.
∵将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F,
∴AE=EF,∠AEF=90°,
∴∠FEG=90°-∠AEB=∠BAE,
∴△ABE≌△EGF(AAS),
∴BE=FG=x,AB=EG=4,
∴BG=BE+EG=x+4,
∴F(x+4,x).
∵D(4,4),
∴DF==,
∴当x=2时,DF取最小值,最小值为2.
12.　解析:
如图,连接DM,在Rt△EDF中,M为EF的中点,则MD=EF=BD=BC=.
故点M的轨迹是以点D为圆心,半径为的半圆,当G,M,D三点共线时,GM的长最小.
∵G为AB的中点,∴GD=AB=3,
∴GMmin=GM'=GD-M'D=3-=.
13.7　解析:∵∠GEB=∠GFA,∠GEB+∠AEG=180°,
∴∠AEG+∠GFA=180°,
∴A,E,G,F四点共圆.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,
∴EF是直径.
取EF的中点为O,以EF为直径作圆O,如图1,连接OG,OQ,
∵GQ≥OQ-OG,且OG=EF=×=5,
∴当O,Q,G三点共线,且OQ⊥CD时,OQ最小,GQ最小,
如图2,GQ最小,延长QO交AB于点H,
则OH⊥AE,
∴EH=AH.
∵OE=OF,
∴OH=AF=4,
∴GQ=16-4-5=7,
即线段GQ的最小值为7.
图1　　　图2
14.5　解析:如图1,延长BC到点F,使得BC=CF,连接NF,DF.
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=BC=CF=6,AD∥BC.
图1
∵∠ADC=60°,
∴∠DCF=∠ADC=60°,
∴△CDF为等边三角形,
∴DF=CD=6.
∵E是BN的中点,
∴CE=FN,
当FN取最大值时,CE的值就最大,
由题意知,点N在以D为圆心,DM为半径的圆上,
图2
∴当点F,D,N依次在同一直线上时,FN的值最大,如图2,
由旋转性质知,DN=DM=4,
∴CE的最大值为CE=NF=×(DN+DF)=×(4+6)=5.
15.6　解析:
根据题意,DE为△ABC的中位线,∴DE=AB.
如图,记△ABC外接圆的圆心为O,连接OA,OB,OC,OD.
∵∠BAC=60°,∴∠BOD=∠COD=60°,BD=CD=BC=3,∴OB==6.
∵AB≤OA+OB=12,∴ABmax=12,即DEmax=×12=6.
16.1　解析:
如图,作CH⊥AB于点H.
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB==5.
∵CH·AB=AC·BC,
∴CH=.
∵D是AC的中点,∴CD=2.
∵将CD绕着点C逆时针旋转,在旋转过程中点D的对应点为点E,
∴CE=2,即点E在以点C为圆心,半径为2的圆上.
当点E在HC上时,点E到AB的距离最小,
∴S△AEB min=×5×-2=1.
17.　解析:根据题意,∠B=∠DA'E=∠C=60°,
∴∠BDA'+∠DA'B=∠DA'B+∠EA'C=120°,
∴∠BDA'=∠CA'E,
∴△DBA'∽△A'CE,即=.
∵在等边三角形ABC中,BA'=3,A'C=5,
∴AB=BC=AC=3+5=8.
又∵C△DBA'=DA'+DB+BA'=8+3=11,C△EA'C=A'C+EC+A'E=5+8=13,∴==.
18.　解析:
如图,过点F作FP⊥OC于点P,可得△EGO≌△FPO,
∴EG=FP,
∴EG+HF=PF+HF.
根据矩形的性质,S△BOC=S矩形ABCD=×2×3=.
∵S△BOC=S△OBF+S△OCF=OB·HF+OC·PF=OB·(EG+HF)=,OB=BD=×=,∴EG+HF=.
19.16　解析:
如图,过点F作FM⊥BC于点M,连接CF,过点D作DN⊥BC于点N.
根据题意,△DGE≌△BMF,
∴GE=FM,即GE+FH=FM+FH=6.
在菱形ABCD中,∠A=∠BCD=60°,BC=DC,
∴△BCD为等边三角形.
∵S△BCD=S△BCF+S△DCF=BC·FM+CD·FH=BC·DN,
∴FM+FH=DN=6,即CD==4,故菱形ABCD的周长为16.
20.6　解析:
如图,过点C作CG⊥AB于点G.
∵等边三角形ABC的边长为6,∴AB=AC=BC=6,
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DF=AB·CG,
要使AD+DE+DF最小,只需AD最小即可,根据点到直线距离垂线段最短,当AD⊥BC时,AD最小,ADmin=6×=3,∴AD+DE+DF的最小值=3+3=6.
21.8　解析:
根据题意,四边形AEDF为平行四边形,连接AD,BD,BF,
则S△ADB=S△ABF=S△ABC=6.∵E为AB的三等分点,
∴S△ADE=S△ABD=4,即S四边形AEDF=8.
22.　解析:
如图,过点O作OG⊥AB,OH⊥AD,根据平行四边形的性质,得S△ABO=S△ADO,
∴==1,故=.又∵==1,∴=.
23.　解析:∵四边形ABCD和四边形DEFG都是平行四边形,
∴EF∥AB∥CG.
∵B是CE的中点,
∴H是ED的中点,A是FG的中点,
∴AH=BH,S2=2S平行四边形AHDG=4S△ADH.
∵AD∥BC,
∴∠HAD=∠HBE,∠ADH=∠BEH.
在△ADH和△BEH中,
∴△BEH≌△ADH(AAS),
∴S△BEH=S△ADH.
∵BH∥CD,
∴△EBH∽△ECD,
∴=2=2=,
∴=,
∴S四边形BCDH=3S△EBH,即S1=3S△EBH,
∴==.
24.8　解析:如图,连接AC.
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,∠EAF+∠BAE=90°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,∠ABC=∠ADC,AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB=90°,
∴∠DAF+∠EAF=90°,
∴∠DAF=∠BAE,
∴△ABE≌△ADF(ASA),
∴AE=AF,BE=DF,
∴BC-BE=CD-DF,
∴CE=CF,
∴AC是EF的垂直平分线,
∴AC⊥EF,
∴EF∥BD,
∴△CEF∽△CBD,
∴==,
∴=2=2=.
∵S菱形ABCD=25,
∴S△ABC=S△BCD=S菱形ABCD=,
∴S△CEF=2.
∵=,
∴=,
∴S△ABE=S△ABC=×=,
∴S△ABE=S△ADF=,
∴S△AEF=S菱形ABCD-2S△ABE-S△CEF
=25-15-2
=8.
25.2　解析:
如图,过点F作FG∥BC,与AE交于点G.
∵△AFG∽△ABE,∴==.∵=,∴CE=FG,即△FGM≌△CEM.
∵=,∴AG=GM=ME,∴S△AFG=S△FGM=S△MEC.
∵S1=S△AFG+S△FGM=2S△MEC,S2=S△MEC,∴==2.
26.4　解析:如图1,当☉M在矩形ABCD内部时,点M的运动区域为矩形EFGH,
要使BM+CM最小,点M需在线段FG上.如图2,作点C关于FG的对称点C',连接BC',与FG交于点M',连接MC',根据对称性,BM+MC=BM+MC'≥BM'+M'C'=BC',
∴BM+MC最小值为BC'.在△BCC'中,BC=8,CC'=4,故BC'==4.
图1　　图2
27.12-18　解析:
如图,当☉P与△ABC的边相切时,圆心P可移动的范围为△A'B'C',
根据题意,△A'B'C'∽△ABC,即A'B'∥AB,A'C'∥AC,B'C'∥BC,且△A'B'C'的三边到△ABC的三边的距离相等,
∠A'AD=30°.
过点A'作A'D⊥AB,过点B'作B'E⊥AB,有AD==,同理BE=,
∴A'B'=DE=AB-AD-BE=6-2,
∴S△A'B'C'=A'B'2=×(6-2)2=12-18,
故点P可移动的最大范围(最大面积)是12-18.
28.6+　解析:
如图,☉O与CB,CD相切,过点O作OH⊥CD于点H,AF=7,AE=5.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AC,∠ACD=45°.
∵CD为☉O的切线,∴OH为☉O的半径.
∵EF=AF-AE=7-5=2,∴OH=,
∴OC=OH=×=2,
∴AC=AE+OE+OC=5++2=6+2,
∴AB=×(6+2)=6+.
29.3　解析:
如图,当☉O与AB相切时,切点是H,☉O交AD于点P,M则点D到☉O上点的距离的最大值为DP的长.连接OH,则OH⊥AB.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵∠C=30°,∠B=90°,
∴∠BAD=∠CAD=∠C=30°,
∴AD=DC,∴BD=AD=DC.
∵BC=6,∴BD=2,AD=DC=4.
∵OH=AO,OH=1,∴AO=2.
∵OP=1,∴AP=AO-OP=1,
∴DP=AD-AP=4-1=3,
∴点D到☉O上点的距离的最大值是3.
30.　解析:如图,过点C作CK⊥l于点K,过点A作AH⊥BC于点H.
在Rt△AHB中,
∵∠ABC=60°,AB=2,
∴BH=1,AH=.
在Rt△AHC中,
∠ACB=45°,
∴AH=CH=,
∴AC===.
∵D为BC的中点,∴BD=CD.
在△BFD与△CKD中,
∴△BFD≌△CKD(AAS),∴BF=CK.
延长AE,过点C作CN⊥AE于点N,易知四边形CKEN为矩形,
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN.
在Rt△ACN中,AN当直线l⊥AC时,AN=AC=.
综上所述,AE+BF的最大值为.
故答案为.
31.2　解析:如图,延长AB交直线CD于点G.
∵AE∥CD,AB∥DE,∠E=90°,AE=DE,
∴四边形AGDE为正方形,
∴AG=DG,∠AGD=90°.
∵∠ABC=135°,
∴∠GBC=45°,∴△BCG为等腰直角三角形,
∴BG=CG,
延长DG至点M使得GM=DG.
又∵∠AGD=90°,∴∠BGM=90°,
∴△AGC≌△MGB,∴BM=AC.
连接MF,过点F作FH⊥DG于点H.
∵F为AD中点,∴H为DG中点,
∴HF=AG=2,GH=2.
∵BF+BM≥MF==2,
当M,B,F三点共线时,AC+BF存在最小值,最小值为2.
32.8　解析:
如图,延长DE,CB交于点F,延长BA,CD交于点G.
∵∠ABC=∠C,AD∥BC,
∴GB=GC,∠F=∠ADE,∠GAD=∠GDA,∴GA=GD,
∴GB-GA=GC-GD,故AB=CD=12.
∵∠F=∠ADE,AE=BE,∠AED=∠BEF,
∴△AED≌△BEF,∴AD=BF,DE=EF=DF,
∴AD+BC=FB+BC=FC=20.
在Rt△CDF中,FD===16,∴DE=DF=8.