专题一 二次函数小压轴题（含答案）2025年中考数学一轮题型专练（陕西）

专题一　二次函数小压轴题
题型1　二次函数的系数与函数图象的性质
(2024,2021)
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是 ( )
A.abc<0 B.2a-b=0
C.5a+3b+2c<0 D.4ac-b2>0
2.下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论错误的是 ( )
A.当x>0时,y随x的增大而减小
B.该函数的图象一定经过点(0,1)
C.该函数图象的顶点在函数y=x2+1的图象上
D.该函数图象与函数y=-x2的图象形状相同
3.(2024·交大附中模拟)已知抛物线y=ax2+(1-a)x-1(a<0),则它的顶点M一定在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知二次函数y=x2+bx+c,当x>0时,函数的最小值为-3;当x≤0时,函数的最小值为-2.则b的值为 ( )
A.6 B.2 C.-2 D.-3
5.(2024·西工大附中模拟)已知二次函数y=ax2+bx-2(a<0),函数值y和自变量x的几组对应取值如下表:
x … 0 1 2 3 4 …
y … -2 m n p -2 …
若mn<0,则a的取值范围是 ( )
A.a<-
B.a<
C.-D.a<-或-6.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线y=-x2+2mx+n(m,n为常数),则下列结论正确的是 ( )
A.开口向上
B.对称轴在y轴的左侧
C.若m+n=1,该函数图象与x轴没有交点
D.当m-1≤x≤m+2时,该函数的最大值与最小值的差为4
题型2　对二次函数图象的分析判断
(2020,2019.T10)
7.【原创好题】在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx的图象和一次函数y=ax+b(a,b为常数,且ab≠0)的图象可能是( )
　　　　　A　　　　　　　　B
　　　　　C　　　　　　　　D
8.【原创好题】在平面直角坐标系中,若二次函数y=ax2+(2a-1)x+a-3的图象与坐标轴最多有两个交点,则函数图象不可能经过　 ( )
A.第三象限
B.第四象限
C.第三象限和第四象限
D.第一象限和第二象限
9.【原创好题】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),若满足ac<0且ab>0,则下列选项中,符合条件的抛物线为 ( )
A B
C D
10.已知抛物线L:y=ax2+bx+c的顶点坐标在第四象限,与x轴没有交点,则下列结论正确的是 ( )
A.a>0
B.b2-4ac>0
C.若点(-1,m)在抛物线L上,则mD.若点A(x1,y1),点B(x2,y1)在抛物线L上,且x1题型3　二次函数图象中对称轴的运用
(2013,2022)
11.已知二次函数y=ax2-3ax+c(a≠0)的图象与x轴交于点P(x1,0),点Q(x2,0),若-3A.5C.412.若抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0)之间的距离为6,且x1+x2=8,则这个抛物线的顶点坐标是 ( )
A.(3,9) B.(-3,-9)
C.(-4,-9 ) D.(4,9)
13.在抛物线L:y=ax2-(1-a)x+2a(a≠0)上存在一点M(a,m).当xa时,y随x的增大而增大,则m的值为 ( )
A.-1 B.-3
C. D.
14.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是(n,0)和(-n+4,0),且该抛物线还经过点(-4,y1)和(4,y2),则下列关于y1,y2的大小关系判断正确的是 ( )
A.y2=y1
B.y2C.y1D.y1≤y2
题型4　运用二次函数增减性比较函数值的大小
15.【原创好题】已知抛物线y=ax2+4ax-3与x轴的交点位于原点两侧,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点在抛物线上,且满足x1<0-4,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y3>y2>y1
D.y3>y1>y2
16.【原创好题】已知M(x0,y0)是抛物线y=ax2-4ax+c的顶点,且y0为y=ax2-4ax+c的最大值.若点(-5,y1),(1,y2),(0,y3)在抛物线上,则下列说法中正确的是 ( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
题型5　二次函数与几何图形关系
(2016.T10)
17.已知抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,若在x轴下方的抛物线上存在一点C,使得△ABC的最大面积为6,则a的值为 ( )
A.- B. C.- D.
18.M是抛物线y=x2+x-2在第三象限部分的一点,过点M向x轴和y轴作垂线,垂足分别为P,Q,则四边形OPMQ周长的最大值为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.6
题型6　抛物线的交点与方程的关系
(2015.T10)
19.将抛物线y=-2x2+(m-3)x-1向上平移m(m>0)个单位长度,与直线y=-x+3有且只有一个交点,则m的值为 ( )
A.4 B.8
C.4-2 D.4+2
20.在平面直角坐标系中,抛物线C:y=ax2+(3-2a)x+a-2与坐标轴有两个交点,则a的值为 ( )
A.- B.或-2
C.-2 D.或2
题型7　二次函数图象的变换
21.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=ax2(a≠0)不动,x轴向上平移3个单位长度,y轴向右平移3个单位长度,那么关于新坐标系下的抛物线,下列说法正确的是 ( )
A.新坐标系下的抛物线的对称轴为直线x=
B.新坐标系下的抛物线与y轴的交点的纵坐标为3a+3
C.新坐标系下的抛物线的顶点在第三象限
D.新坐标系下的抛物线与x轴一定有两个交点
22.已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点,将该抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移5个单位长度后,得到的抛物线的顶点一定在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
23.将抛物线L:y=-(x-b+1)2+b先向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到抛物线L',若抛物线L'的顶点到原点的距离为5,则抛物线L'的顶点坐标为 ( )
A.(0,5)
B.(5,0)
C.(0,-5)或(5,0)
D.(0,5)或(-5,0)
题型8　二次函数图象的实际应用
24.某同学用相机拍摄记录小球投掷实验,并绘制了示意图如图所示,其中x轴表示小球滞空时间,y轴表示小球高度,小球的运动轨迹为抛物线,在第0.8 s与第1.2 s时,小球高度一致,已知点A(0,2),小球在最高点的纵坐标为4,则小球落地时,点B的坐标为 ( )
A.(2.2,0) B.(+2,0)
C.(2,0) D.(+1,0)
25.如图,某涵洞的截面是抛物线形,现测得水面宽AB=1.6 m,涵洞顶点O与水面的距离CO是2 m,则当水位上升1.5 m时,水面的宽为 ( )
A.0.4 m B.0.6 m
C.0.8 m D.1 m
参考答案
1.C　解析:∵抛物线开口向上,∴a>0.
∵抛物线的对称轴在x轴正半轴上,∴->0,
∴a,b异号,∴b<0.
∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,
∴abc>0,故选项A错误.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴-=1,即b=-2a,
∴2a+b=0,故选项B错误.
由题图可知,当x=1时,y=a+b+c<0.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴点(2,4a+2b+c)与(0,c)关于对称轴对称,
∴4a+2b+c=c.
∵c<0,
∴4a+2b+c<0,
∴(a+b+c)+(4a+2b+c)<0,即5a+3b+2c<0.故选项C正确.
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,故选项D错误.
故选C.
2.A　解析:∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=m,
∴当x>m时,y随x的增大而减小,故选项A错误;
∵当x=0时,y=1,
∴该函数的图象一定经过点(0,1),故选项B正确;
∵y=-(x-m)2+m2+1,
∴抛物线的顶点坐标为(m,m2+1),
∴抛物线的顶点在抛物线y=x2+1上,故选项C正确;
∵y=-(x-m)2+m2+1与y=-x2的二次项系数都为-1,∴两函数图象的形状相同,故选项D正确.
故选A.
3.A　解析:依题意,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-=.
∵a<0,∴>0,∴对称轴在y轴的右侧.
∵Δ=(1-a)2-4×a·(-1)=1+a2>0,
∴抛物线与x轴有两个交点,
∴顶点M一定在第一象限,故选A.
4.C　解析:∵二次函数y=x2+bx+c,当x>0时,函数的最小值为-3,
∴该函数图象的对称轴在y轴右侧,=-3,->0,
∴b<0.
∵当x≤0时,函数的最小值为-2,
∴当x=0时,y=c=-2,
将c=-2代入=-3,可得b1=2(舍去),b2=-2.
故选C.
5.C　解析:依题意,当x=0和x=4时,y的值都是-2,
∴抛物线的对称轴为直线x==2,
∴顶点为(2,n),-=2,即b=-4a.
∵a<0,∴n是函数的最大值.
∵mn<0,∴m<0,n>0,
∴当x=1时,y=a-4a-2<0;当x=2时,y=4a-8a-2>0,
解得-6.D　解析:∵a=-1<0,∴抛物线开口向下,故A选项错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=-=m,
∴当m>0时,对称轴在y轴右侧;当m<0时,对称轴在y轴左侧;当m=0时,对称轴为y轴,故B选项错误;
∵m+n=1,∴Δ=(2m)2-4×(-1)·n=4m2+4n=4m2+4(1-m)=4m2-4m+4=4m-2+3>0,
∴抛物线与x轴有两个交点,故C选项错误;
∵抛物线的开口向下,对称轴为直线x=m,
∴二次函数的最大值为-m2+2m2+n=m2+n.
∵m+2-m=2>m-(m-1)=1,
∴当x=m+2时,二次函数有最小值,最小值为-(m+2)2+2m(m+2)+n=m2+n-4,
∴m2+n-(m2+n-4)=4,故D选项正确.
故选D.
7.A　解析:A,B选项中,由二次函数y=ax2+bx的图象可以判断a>0,b<0.C,D选项中,由二次函数y=ax2+bx的图象可以判断a<0,b>0.
对于y=ax2+bx,当y=0时,得0=ax2+bx,解得x1=0,x2=-.
对于y=ax+b,当y=0时,解得x=-,故二次函数的图象与一次函数的图象交于x轴上一点.
故选A.
8.D　解析:根据题意,Δ=4a2-4a+1-4a(a-3)=4a2-4a+1-4a2+12a=8a+1≤0,解得a≤-,
∴二次函数的图象开口向下,且与y轴交于负半轴,与x轴最多有一个交点,
故二次函数图象不可能经过第一象限和第二象限.
9.B　解析:分情况讨论:
当a>0时,c<0,b>0,抛物线开口向上,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴左侧;
当a<0时,c>0,b<0,抛物线开口向下,与y轴交于正半轴,且对称轴在y轴左侧.综上所述,只有B选项符合题意.
10.C　解析:
根据题意,抛物线L的大致图象如图所示.
可知a<0,由于与x轴没有交点,故b2-4ac<0.
∵对称轴在y轴右侧,∴当x<-时,y随x的增大而增大.
∵-1<0,∴m当点A与点B在对称轴的右侧时,y1>y2,故C选项正确.
11.A　解析:∵二次函数y=ax2-3ax+c(a≠0),
∴图象的对称轴为直线x=-=.
∵二次函数y=ax2-3ax+c(a≠0)的图象与x轴交于点P(x1,0),点Q(x2,0),且-3∴5故选A.
12.D　解析:∵x1+x2=8,∴抛物线的对称轴为直线x=-==4,解得b=8.
∵A,B之间的距离是6,
∴A,B的坐标为(1,0),(7,0).
将(1,0)代入y=-x2+8x+c,得0=-1+8+c,解得c=-7,∴y=-x2+8x-7.
将x=4代入y=-x2+8x-7,得y=9,
∴顶点坐标为(4,9).
故选D.
13.D　解析:根据题意,抛物线L的对称轴是直线x=a,
∴=a,整理得2a2+a-1=0,解得a1=,a2=-1.
∵xa时,y随x的增大而增大,
∴a>0,∴a=,∴M为抛物线的顶点,且y=x2-x+1=x-2+,∴m=.
14.B　解析:∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是(n,0)和(-n+4,0),
∴对称轴为直线x==2.
∵抛物线经过点(-4,y1)和(4,y2),
∴点(-4,y1)到对称轴的距离大于点(4,y2)到对称轴的距离.
∵抛物线开口向上,∴y1>y2.
故选B.
15.C　解析:当x=0时,y=-3,∴抛物线与y轴的交点为(0,-3).
∵抛物线与x轴的交点位于原点两侧,
∴a>0,即抛物线开口向上.
∵x1<0-4,
得x2-(-2)>-2-x1,∴y2>y1.
∵x3>x2,∴y3>y2,
∴y3>y2>y1.故选C.
16.B　解析:∵M(x0,y0)是抛物线y=ax2-4ax+c的顶点,且y0为y=ax2-4ax+c的最大值,
∴抛物线开口向下.
由y=ax2-4ax+c可得抛物线的对称轴为直线x=2,
∴抛物线上的点到对称轴距离越大,该点的纵坐标越小,点(-5,y1)到抛物线的对称轴的距离d1=2-(-5)=7,点(1,y2)到抛物线的对称轴的距离d2=2-1=1,点(0,y3)到抛物线的对称轴的距离d3=2-0=2.∵d2y3>y1.
17.D　解析:由抛物线y=a(x+1)(x-5)可知,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(5,0),
∴AB=6.
∵在x轴下方的抛物线上存在一点C,使得△ABC的最大面积为6,
∴S△ABC=AB·h=6,解得h=2,
根据二次函数图象的性质,抛物线的顶点坐标为(2,-2),
将其代入抛物线的表达式中,-2=a(2+1)×(2-5),解得a=,故选D.
18.D　解析:设点M的坐标为(m,m2+m-2),根据题意,四边形OPMQ为矩形,
∴C矩形OPMQ=2(OP+OQ)=2(-m-m2-m+2)=-2(m+1)2+6,
当m=-1时,=6.故选D.
19.C　解析:平移后的抛物线表达式为y=-2x2+(m-3)x-1+m.∵与直线y=-x+3有且只有一个交点,∴关于x的方程-2x2+(m-3)x-1+m=-x+3有两个相等的实数根,
整理上述方程得-2x2+(m-2)x-4+m=0,Δ=(m-2)2-4×(-2)(m-4)=0,
解得m1=4-2,m2=-4-2.
∵m>0,∴m=4-2,故选C.
20.D　解析:当抛物线C与x轴有一个交点时,4a2-12a+9-4a(a-2)=0,解得a=;
当抛物线C经过原点时,a-2=0,解得a=2.
综上所述,a的值为或2,故选D.
21.C　解析:将x轴向上平移3个单位长度,y轴向右平移3个单位长度相当于将抛物线向下移动3个单位长度,再向左移动3个单位长度,
∴移动后的抛物线的函数表达式为y=a(x+3)2-3(a≠0),
∴抛物线的顶点坐标为(-3,-3).
故选C.
22.C　解析:∵抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点,
∴b2-4ac=4-4a<0,
解得a>1,∴抛物线的开口向上.
∵顶点的横坐标为x=-=,∴0<<1.
∵顶点的纵坐标为y==,∴0<<1,
∴将该抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移5个单位长度后,顶点坐标为-3,-5,
∴-3<0,-5<0,
∴抛物线的顶点一定在第三象限.
故选C.
23.D　解析:根据题意可知抛物线L的顶点坐标为(b-1,b),平移后抛物线L'的顶点坐标为(b-4,b+1).∵平移后抛物线L'的顶点坐标到原点的距离为5,∴(b-4)2+(b+1)2=25,解得b1=4,b2=-1,∴平移后抛物线L'的顶点坐标为(0,5)或(-5,0),故选D.
24.D　解析:根据抛物线的对称性,抛物线的顶点坐标为(1,4).
设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+4,将(0,2)代入表达式中,解得a=-2,
∴y=-2(x-1)2+4.令y=0,解得x1=+1,x2=1-(不合题意,舍去),故点B的坐标为(+1,0),故选D.
25.C　解析:建立如图所示的平面直角坐标系,
设函数关系式为y=ax2,
由题意知点A的坐标是(-0.8,-2),
则-2=(-0.8)2×a,
即a=-,
故y=-x2.
当y=-0.5时,-0.5=-x2,
解得x=±0.4,
∴水面的宽为0.8 m.
故选C.