专题四 二次函数综合题（含答案）2025年中考数学一轮题型专练（陕西）

专题四　二次函数综合题
题型1　二次函数的实际应用
二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.
类型1　抛物线运动轨迹问题
(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.
(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.
(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式
解题指南　(1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.
(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.
类型2　以建筑为背景的“过桥”问题
(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.
(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米
解题指南　(1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.
(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.
(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:
方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.
方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.
求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.
类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题
如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系.
(1)求点B,C,D的坐标.
(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=x2一样,且电缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求 并说明理由.
(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.
(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为 .
(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.
题型2　图形面积探究
类型1　面积、线段最值探究
二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.
(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.
(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.
(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC==.
第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点
第二步,设动点坐标,表示交点坐标
第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|
第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=(y上-y下)(x右-x左)
【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),用含有A,B,C坐标的方式表示出△ABC的面积.
解题指南　(1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B在点C的左、右两侧,经过点C作x轴的垂线交AB于点D,则△ABC被分成两部分,即S△ABC=S△ACD+S△BCD.
(2)过点A作△ADC的高h1,过点B作△DBC的高h2,所以△ACD与△BCD的面积表示为S△ADC=CD·h1,S△BCD=CD·h2.
(3)所以S△ABC=S△ADC+S△BCD=CD·h1+CD·h2=CD·(h1+h2).
(4)其中h1与h2的和可以看作点A与点B的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h1+h2=|xB-xA|,CD是点C与点D的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|yD-yC|,故S△ABC=S△ACD+S△BCD=|yD-yC|·|xB-xA|.
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=-x2+bx+c过A,B两点,D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.
(1)求抛物线的表达式.
(2)求△ABE面积的最大值.
2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.
(1)求A,B,C三点的坐标.
(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.
类型2　面积关系探究
(2018.T24)
【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+bx与x轴交于O,A两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.
解题指南　(1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;
(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;
(3)第三步,设点P的坐标为t,-t2+t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;
(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.
1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),抛物线与直线y=-x+3交于C,D两点,连接BD,AD.
(1)求m的值.
(2)求A,D两点的坐标.
(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.
2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).
(1)求抛物线的表达式.
(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC 若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P的坐标.
(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP 若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.
解题指南　(1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.
(2)设P(1,m),根据 列出方程,进而求得点P的坐标.
(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果.
　　借助“同底等高”找等面积的方法
在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.
操作方式:
(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;
(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;
(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;
(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;
(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.
题型3　特殊三角形问题探究
类型1　等腰三角形问题探究
等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.
方法一　几何法 (1)两圆一线找出点; (2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标
方法二　代数法 (1)表示出三个点坐标A,B,C; (2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC; (3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC; (4)列出方程求解
(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.
(1)求该抛物线L的表达式.
(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.
(1)求抛物线L的函数表达式.
(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形 若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
类型2　直角三角形问题探究
直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.
一、勾股定理 若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形
二、构造“K”字型相似 过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题
已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.
(1)求出点A与点B的坐标.
(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).
(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.
(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标.
　　直角三角形中的找点方法和计算方法
找点方法:
示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.
分两种情况讨论:
当AB为直角边时,
当AB为斜边时,以AB为直径作圆.
如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.
我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.
计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;
(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.
类型3　等腰直角三角形问题探究
等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.
(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等
(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边
(3)利用某纵向或横向线段构建等式
如图,抛物线y=-(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.
解题指南　第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;
第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;
第三步,利用某边相等构造方程.
(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).
(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.
(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.
题型4　三角形关系问题
类型1　与相似三角形结合问题
三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.
方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似
方法二:两组角相等的三角形相似
分析目标三角形:
第一类:找一角相等,用邻边成比例.
第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.
方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.
(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax2+bx经过坐标原点O与点A(3,0),正比例函数y=kx与抛物线交于点B,.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)P是第四象限抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点N,交OB于点M,是否存在点P,使得△OMN与以点N,A,P为顶点的三角形相似 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L1:y=x2+bx+c与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.
(1)求此二次函数表达式和点A,B的坐标.
(2)P为第四象限内抛物线L1上一动点,将抛物线L1平移得到抛物线L2,抛物线L2的顶点为点P,抛物线L2与y轴交于点E,过点P作y轴的垂线交y轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E为顶点的三角形与△AOC相似 如果存在,请写出平移过程,并说明理由.
类型2　与全等三角形结合问题
1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.
2.注意相等角的邻边分类情况.
【改编】如图,抛物线y=-x2+x+4的图象与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线y=-x+4与x轴交于点D.若M是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M作ME⊥CD于点E,MF∥x轴交直线CD于点F,当△MEF≌△COD时,求出点M的坐标.
解题指南　当△MEF≌△COD时,
(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.
(2)根据直线CD的表达式求出线段CD的长度.由点M在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-m2+m+4,再由MF∥x轴,得点F的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F的横坐标为m-5.
(3)由点F在直线CD上,将点F的坐标代入直线CD的表达式中,求出m的值.
已知经过原点O的抛物线y=-x2+4x与x轴的另一个交点为A.
(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴.
(2)B是OA的中点,N是y轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN与△OBM全等,且点B与点N为对应点 若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
　　与全等三角形结合问题的求解步骤
(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;
(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.
题型5　特殊四边形问题探究
类型1　平行四边形问题探究
平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.
第一步,寻找分类标准; 第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A); 第三步,代入关系求值
(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.
(1)求此抛物线和直线AB的表达式.
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
　　平行四边形中坐标的计算
如图1,在平行四边形ABDC中,关于坐标的计算——平移法则:
xB-xA=xD-xC,yB-yA=yD-yC,
xA-xC=xB-xD,yA-yC=yB-yD.
如图2,在平行四边形ADBC中,关于坐标的计算——中点坐标公式:
xM==,yM==.
类型2　菱形问题探究
菱形存在问题,主要分两类.
　　第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.
(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.
(2)利用中点坐标公式列方程:=;=.
(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.
邻边相等:可参照等腰存在问题.
(4)平移型:先平行四边形,再菱形.
翻折型:先等腰,再菱形.
第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题
如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC和BC.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形 若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
类型3　矩形问题探究
矩形存在性问题,主要分两类.
　　第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.
(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.
(2)利用中点坐标公式列方程:xA+xC=xB+xD;yA+yC=yB+yD.
(3)方向一　对角线相等:=.
方向二　有一角为90°.
第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题
已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).
(1)求抛物线L的表达式.
(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形 若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.
已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求A,B,C三点的坐标.
(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.
类型4　正方形问题探究
(在菱形的基础上增加对角线相等)
(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.
(2)利用中点坐标公式列方程:xA+xC=xB+xD;yA+yC=yB+yD.
(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.
如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,,正方形ABCD的边AB落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.
(1)求这条抛物线的表达式.
(2)求正方形ABCD的边长.
解题指南　(1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.
(2)①在正方形中,四条边均相等;
②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;
③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;
④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.
已知二次函数y=-x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).
(1)求该二次函数的表达式.
(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标.
　　借助抛物线判定正方形的思路步骤
1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;
2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;
3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.
题型6　角度问题探究
角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.
等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.
解决策略:
(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.
【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45° 若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
解题指南　以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:
第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;
第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=;
第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);
第四步,根据DH=|yD|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.
已知抛物线L:y=-x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).
(1)求抛物线的表达式.
(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.
参考答案
题型1　二次函数的实际应用
类型1　抛物线运动轨迹问题
例1　解析:(1)在y1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y1=2.8,
∴P(0,2.8).
根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).
设二次函数的表达式为y=a(x-1)2+3.2,
把P(0,2.8)代入y=a(x-1)2+3.2,
得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,
∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.
(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,
解得x1=1+2,x2=1-2(舍去),
扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.
∵OA=3 m,CA=2 m,
∴OC=OA+AC=5.
∵7-5=2,|2+1-5|=4-2<2,
∴选择吊球时,球的落地点到点C的距离更近.
类型2　以建筑为背景的“过桥”问题
例2　解析:(1)由题意得点M,B的坐标分别为,,(3,2).
设抛物线的表达式为y=ax-2+,
将点B的坐标代入上式得2=a3-2+,
解得a=-,
∴抛物线的表达式为y=-x-2+.
(2)设正方形的边长为2m.
把点G-m,2+2m代入抛物线表达式,
得2+2m=--m-2+,
解得m=(负值已舍去),
∴正方形窗户DEFG的边长为1 m.
变式设问　解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),
N(24,0).
设y=a(x-12)2+8,
把N(24,0)代入表达式中,得a=-,
∴该抛物线的函数表达式为y=-(x-12)2+8.
(2)方案一:令y=6,即6=-(x-12)2+8.
解得x1=6,x2=18,∴BC=AD=12.
又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD的周长C1=2×12+2×6=36(m).
方案二:令y=4,即4=-(x-12)2+8,
解得x1=12-6,x2=12+6,
∴B'C'=A'D'=12+6-(12-6)=12.
又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C2=2×12+2×4=(24+8)m.
∵C1=36=28+8=4×7+8,
C2=24+8=4×6+8,
∴36<24+8,即C1类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题
例3　解析:
(1)如图,过点C作CE⊥y轴,垂足为E,过点D作DF⊥y轴,垂足为F.记CD与x轴相交于点G.
根据题意,得点B的坐标是(0,-27).
∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,
∴点C的坐标是(60,12),点D的坐标是(60,-15).
(2)符合安全要求.
理由:设AC段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=x2+bx,
将点C(60,12)代入表达式中,得12=×602+60b,解得b=-,
∴y=x2-x.
由点B(0,-27),D(60,-15)可知直线BD的表达式为y=x-27.
记M为抛物线上一点,过点M作x轴的垂线与BD交于点N.
设点Mm,m2-m,则点Nm,m-27,
故MN=m2-m-m-27=(m-30)2+18≥18>15.5,
∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.
变式设问　解析:(1)0.05;(6,1.7).
提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,
则A(0,3.5),B(12,3.5),
∴144a-7.2+3.5=3.5,
解得a=0.05,
∴抛物线的表达式为y=0.05x2-0.6x+3.5.
当x=6时,y=0.05x2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),
(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,
∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).
设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,
将点A的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=,
∴左侧抛物线的表达式为y=(x-3.5)2+2.
当x=6时,y=(6-3.5)2+2=,
∴这根绳子的下端D到地面的距高为 m.
题型2　图形面积探究
类型1　面积、线段最值探究
例1　解析:如
图,过点C作垂直于x轴的直线,与AB交于点D,分别过点A,B作CD的垂线段h1,h2,即S△ABC=S△ACD+S△BCD.∵S△ADC=CD·h1,S△BCD=CD·h2,
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·(h1+h2).
又∵CD=|yD-yC|,h1+h2=|xB-xA|,
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=(yD-yC)(xB-xA).
变式设问　1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,
∴A(-4,0),B(0,4).
∵点A(-4,0),B(0,4)在抛物线y=-x2+bx+c上,
∴解得
∴抛物线的表达式为y=-x2-3x+4.
(2)设点C的坐标为(m,0)(-4≤m≤0),则点E的坐标为(m,-m2-3m+4),点D的坐标为(m,m+4),
则DE=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m,
则S△ABE=DE·(xB-xA)=(-m2-4m)×4=-2m2-8m=-2(m+2)2+8.
∵-4≤m≤0,
∴当m=-2时,S取得最大值,最大值为8.
故△ABE面积的最大值为8.
2.解析:(1)对于y=-x2+2x+3,令x=0,则y=3,
∴C(0,3),
令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1,
∴A(-1,0),B(3,0).
(2)∵B(3,0),C(0,3),
∴设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),
则解得
∴直线BC的表达式为y=-x+3.
设点P的坐标为(t,-t+3),
则点M的坐标为(t,-t2+2t+3),
∴PM=-t2+2t+3+t-3=-t2+3t=-t-2+.
∵0∴当t=时,PM最大,
此时点M的坐标为,.
类型2　面积关系探究
例2　解析:将点B的坐标代入抛物线y=-x2+bx中,有4=-+b,解得b=,
令y=0,得-x2+x=0,可知A(4,0).
设直线AB的表达式为y=kx+m(k≠0),
将A(4,0),B(1,4)代入,
有解得
故直线AB的表达式为y=-x+.
∵S△OAB=×4×4=8,
∴S△OAB=2S△PAB=8,故S△PAB=4.
如图,过点P作x轴的垂线,交x轴于点M,交AB于点N,过点B作BE⊥PM于点E.
∴S△PAB=S△PNB+S△PNA=PN·BE+PN·AM=PN=4,
∴PN=.
设点P的坐标为t,-t2+t(1Nt,-t+,
∴PN=-t2+t--t+=,解得t=2或t=3,
∴点P的坐标为2,或(3,4).
变式设问　1.解析:(1)抛物线y=-x2+mx+3经过点(3,0),
∴-9+3m+3=0,
∴m=2.
(2)由(1)知,抛物线的表达式是y=-x2+2x+3,
∴y=-(x-3)(x+1),
∴该抛物线经过点(-1,0),(3,0).
∵点B的坐标为(3,0),
∴A(-1,0).
由得或
∴D,-.
综上所述,A(-1,0),D,-.
(3)由题意知,C(0,3),D,-.
∵S△ABP=4S△ABD,
∴AB×|yP|=4×AB×,
∴|yP|=9,即yP=±9,
当y=9时,-x2+2x+3=9,
∴x2-2x+6=0,
∴Δ=4-4×6<0,∴此方程无实数解,
当y=-9时,-x2+2x+3=-9,
解得x1=1+,x2=1-,
∴点P的坐标为(1+,-9)或(1-,-9).
2.解析:(1)把点B(4,5)和C(5,0)分别代入y=-x2+bx+c,得解得
故该抛物线的表达式为y=-x2+4x+5.
(2)由点A(0,-1),点B(4,5)和C(5,0),得AC2=26,BC2=26,AB2=52,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°.
∵AC=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,∴tan∠ABC=1.
(3)如图,设直线AB与抛物线的对称轴交于点E,
由y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9知,该抛物线的对称轴是直线x=2.
由点A(0,-1)和点B(4,5)易得直线AB的表达式是y=x-1.
把x=2代入y=x-1,得y=2,即E(2,2).
当直线CD∥AB时,设直线CD的解析式为y=x+t,
把C(5,0)代入,得×5+t=0,解得t=-,
即直线CD的解析式为y=x-,
把x=2代入,得y=×2-=-,
∴D2,-,
∴点D关于点E(2,2)对称点D'2,也符合题意.
综上所述,符合条件的点D的坐标是2,-或2,.
3.解题指南:PB=PC
解析:(1)由题意得y=-(x+1)(x-3),
∴y=-x2+2x+3.
(2)由题意易知抛物线的对称轴为直线x=1,C(0,3),设P(1,m).
∵PB2=PC2,
∴(3-1)2+m2=1+(m-3)2,
∴m=1,∴P(1,1).
(3)存在.
假设存在点M满足条件.
如图,连接BM,作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N.
∵点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),
∴易求得直线BC的解析式为y=-x+3.
∵PQ∥BC,且过点P(1,1),∴易求得直线PQ的解析式为y=-x+2,
∴Q(0,2).
∵C(0,3),S△BCM=S△BCP,∴N(0,4),
∴直线MN的解析式为y=-x+4.
由-x2+2x+3=-x+4,得x=,
∴点M的横坐标为或.
题型3　特殊三角形问题探究
类型1　等腰三角形问题探究
例1　解析:(1)设抛物线L的表达式为y=a(x+2)2+8,
将点B(0,6)代入y=a(x+2)2+8,得6=a(0+2)2+8,
解得a=-,
∴抛物线L的表达式为y=-(x+2)2+8.
(2)存在.
理由:由(1)中抛物线的表达式得点M(-6,0).
如图,由题意得新抛物线的对称轴为直线x=2,D(2,8).
设点Q(2,m),根据点D,Q,M的坐标,得DQ2=(8-m)2,QM2=64+m2,DM2=128.
当DQ=QM时,(8-m)2=64+m2,解得m=0,∴点Q(2,0);
当DQ=DM时,(8-m)2=128,解得m=8±8,
∴点Q的坐标为(2,8+8)或(2,8-8);
当QM=DM时,64+m2=128,解得m=-8或m=8(舍去),∴点Q的坐标为(2,-8).
综上所述,点Q的坐标为(2,0)或(2,8+8)或(2,8-8)或(2,-8).
变式设问　解析:(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3中,
得解得
∴抛物线L的函数表达式为y=x2-2x-3.
(2)存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形.
理由:在y=x2-2x-3中,
令x=0得y=-3,∴C(0,-3).
∵把抛物线y=x2-2x-3向右平移1个单位长度得到抛物线L',
∴抛物线L'的函数表达式为y=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x=(x-2)2-4,
∴抛物线L'的对称轴为直线x=2.
设P(2,t),
∵A(-1,0),
∴AP2=9+t2,CP2=4+(t+3)2,AC2=10.
①若AP=CP,则9+t2=4+(t+3)2,解得t=-,
∴点P2,-;
②若AP=AC,则9+t2=10,解得t=1或t=-1,
∴点P(2,1)或(2,-1);
③若CP=AC,则4+(t+3)2=10,解得t=-3或t=--3,
∴点P(2,-3)或(2,--3).
综上所述,点P的坐标为2,-或(2,1)或(2,-1)或(2,-3)或(2,--3).
类型2　直角三角形问题探究
例2　解析:(1)令y=ax2-2ax-8a=0,
解得x=-2或x=4,
∴点A,B的坐标分别为(-2,0),(4,0).
(2)如图,由抛物线的表达式,得点C(0,-8a).
∵△ABC是以AB为斜边的直角三角形,
则∠ACB=90°.
∵∠CAB+∠ACO=90°,∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠CAB=∠OCB.
∵∠AOC=∠COB,
∴△AOC∽△COB,
∴=,即OC2=OA·OB=2×4=8,
∴64a2=8,
解得a=±,
∴抛物线L的表达式为y=x2-x-2或y=-x2+x+2.
变式设问　解析:(1)将点A(-5,0),B(-1,0),C(0,5)代入y=ax2+bx+c,
得解得
∴y=x2+6x+5.
∵y=x2+6x+5=(x+3)2-4,
∴顶点D的坐标为(-3,-4).
(2)设抛物线C2上任意一点的坐标为(x,y),则(x,y)关于y轴对称的点为(-x,y),
∴点(-x,y)在抛物线C1上,
抛物线C2的表达式为y=x2-6x+5,
设E(t,t2-6t+5),
如图,过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EH⊥x轴于点H.
∵∠DOE=90°,
∴∠GOD+∠HOE=90°.
∵∠GOD+∠GDO=90°,
∴∠HOE=∠GDO,
∴△GDO∽△HOE,
∴=.
∵GD=4,GO=3,HE=-t2+6t-5,OH=t,
∴=,∴t=4或t=,
∴点E的坐标为(4,-3)或,-.
类型3　等腰直角三角形问题探究
例3　解析:∵抛物线y=-(x+1)(x-5),∴抛物线的对称轴为直线x==2,∴点M在直线x=2上,即点M的横坐标为2 .
如图,过点P作y轴的平行线交过点M与x轴平行的直线于点F,交x轴于点E,
设点P的坐标为x,-x2+x+2.
∵∠MPO=90°,∴∠MPF+∠OPE=90°.
∵∠OPE+∠POE=90°,
∴∠POE=∠MPF.
∵∠PFM=∠OEP=90°,PM=PO,
∴△PFM≌△OEP(AAS),
∴PE=MF,则-x2+x+2=|x-2|,解得x=-或x=4或x=0或x=,
故点P的坐标为-,-或(4,2)或(0,2)或,-.
变式设问　解析:(1)由题意得解得
∴抛物线L的表达式为y=x2-4x+3.
(2)由抛物线的表达式得顶点坐标为(2,-1).
如图,设CC'交PQ于点N.
若△PCC'为等腰直角三角形时,则PN=CN=C'N.
设点P(m,m2-4m+3),则m=m2-4m+3-3,解得m=0(舍去)或5,
即点P的横坐标为5.
∵原抛物线的对称轴为直线x=2,
∴新抛物线的对称轴为直线x=2+3+3=8,
∴新抛物线的顶点坐标为(8,-1),
∴抛物线L'的表达式为y=(x-8)2-1.
题型4　三角形关系问题
类型1　与相似三角形结合问题
例1　解析:(1)将点A(3,0),B,代入y=ax2+bx,
得解得
∴y=x2-3x.
(2)存在点P,使得△OMN与以点N,A,P为顶点的三角形相似.
理由:将点B,代入y=kx,即=k,解得k=,∴y=x.
设P(t,t2-3t),则N(t,0),Mt,t,
∴ON=t,NM=t,
∴tan∠MON=.
∵A(3,0),
∴AN=3-t.
①当∠NPA=∠MON时,=,
解得t=2或t=3(舍),∴P(2,-2);
②当∠NAP=∠MON时,=,
解得t=3(舍)或t=,∴P,-.
综上所述,点P的坐标为(2,-2)或,-.
变式设问　解析:(1)由题意得解得
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
令y=x2-2x-3=0,则x=-1或x=3,
即点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0).
(2)设点P(m,m2-2m-3).
∴平移后的抛物线的表达式为y=(x-m)2+m2-2m-3,
∴点E(0,2m2-2m-3),
∴DE=2m2-2m-3-(m2-2m-3)=m2,PD=m.
在Rt△ACO中,tan∠ACO=.
当以点P,D,E为顶点的三角形与△AOC相似时,
tan∠EPD=或3,即=或3,
解得m=3(舍去)或,∴点P,-.
∵抛物线L1的顶点坐标为(1,-4),
∴将L1向左平移个单位长度再向上平移个单位长度即可.
类型2　与全等三角形结合问题
例2　解析:∵ME⊥CD,
∴∠MEF=90°.
∵MF∥x轴,
∴∠MFE=∠CDO.
∵△MEF≌△COD,
∴MF=CD.
∵OC=4,OD=3,
∴CD=5,
∴FM=5.
设Mm,-m2+m+4,则Fm-5,-m2+m+4.
∵点F在直线CD上,
∴-m2+m+4=-(m-5)+4,
∴m=2或m=5,
∴点M的坐标为(2,8)或(5,4).
变式设问　解析:(1)过原点O的抛物线y=-x2+4x与x轴的另一个交点为A.
令y=0,则-x2+4x=0,
解得x1=0,x2=4,∴A(4,0).
∵抛物线y=-x2+4x,
∴抛物线的对称轴为直线x=-=2,
∴点A的坐标为(4,0),抛物线的对称轴为直线x=2.
(2)存在.∵B是OA的中点,∴B(2,0).
图1
①如图1,当△OMN≌△MOB时,
∠MON=∠OMB,∠OMN=∠MOB,∴BM∥ON,MN∥OB,
∴点M的横坐标为2,把x=2代入y=-x2+4x中,
得y=-22+4×2=4,
∴M(2,4).
图2
②如图2,当△OMN≌△OMB时,过点M作MH⊥x轴于点H.
∵△OMN≌△OMB,
∴∠NOM=∠BOM=45°,
∴OH=MH.
设M(m,-m2+4m),
∴-m2+4m=m,
解得m1=3,m2=0(舍去),
∴M(3,3).
综上所述,点M的坐标为(2,4)或(3,3).
题型5　特殊四边形问题探究
类型1　平行四边形问题探究
例1　解析:(1)∵抛物线y=ax2-2x+c经过A(0,3),B(-3,0)两点,∴
解得
∴抛物线y=-x2-2x+3.
∵直线y=kx+b经过A(0,3),B(-3,0)两点,
∴解得
∴直线AB的表达式为y=x+3.
(2)在射线EB上存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点.
理由:∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴抛物线的顶点C的坐标为(-1,4).
∵CE∥y轴,点E在直线y=x+3上,
∴E(-1,2).
∴CE=2.
①如图1,连接CN.
若点M在x轴的上方,四边形CEMN为平行四边形,则CE=MN.
设M(a,a+3),则N(a,-a2-2a+3),
∴MN=-a2-2a+3-(a+3)=-a2-3a,
∴-a2-3a=2.
解得a=-2或a=-1(舍去).
∴M(-2,1);
②如图2,连接EN,CM,MN.
若点M在x轴的下方,四边形CENM为平行四边形,则CE=MN.
设M(a,a+3),则N(a,-a2-2a+3),
∴MN=a+3-(-a2-2a+3)=a2+3a,
∴a2+3a-2=0,
解得a=.
∵a<0,
∴a=,
∴点M,.
综上所述,点M的坐标为(-2,1)或M,.
变式设问　解析:存在.由抛物线L与抛物线L'的对称性可知,
抛物线L'的表达式为y=-x2-x+2,
点A关于原点O的对应点为点A',
∴点A'(1,0),
∴AA'=2,
以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形,∴PQ=AA'=2,PQ∥AA'.设点P(x,x2-x-2).
当点P在点Q的左侧时,点Q的横坐标为x+2,
∴x2-x-2=-(x+2)2-(x+2)+2,
解得x1=x2=-1,
∴点P的坐标为(-1,0)(不符合题意,舍去).
当点P在点Q的右侧时,点Q的横坐标为x-2,
∴x2-x-2=-(x-2)2-(x-2)+2,
∴x1=+1,x2=-+1,
∴点P的坐标为(+1,)或(-+1,-).
类型2　菱形问题探究
例2　解析:(1)∵OA=2,OC=6,
∴A(-2,0),C(0,-6).
∵抛物线y=x2+bx+c过点A,C,
∴
∴
∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-6.
(2)存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形.点N的坐标为(-2,2)或(-2,-2)或(2,0)或-2,-.
提示:∵A(-2,0),C(0,-6),
∴AC==2.
①若AC为菱形的边长,如图1所示,
则MN∥AC,且MN=AC=2,
∴N1(-2,2),N2(-2,-2),N3(2,0).
②若AC为菱形的对角线,如图2所示,
则AN4∥CM4,AN4=CN4,设N4(-2,n),
∴-n=,解得n=-,
∴N4-2,-.
综上所述,点N的坐标为(-2,2)或(-2,-2)或(2,0)或-2,-.
类型3　矩形问题探究
例3　解析:(1)将B(6,0),C(3,9)代入y=ax2+bx得解得
∴y=-x2+6x.
(2)∵抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,
∴抛物线L'的解析式为y=x2-6x.
设点P的坐标为(m,-m2+6m),如图,作PF⊥x轴于点F,则PF=-m2+6m.
∵四边形OPBQ为矩形,
∴∠OPB=90°.
∵∠OPF+∠BPF=∠OPF+∠POF=90°,
∴∠BPF=∠POF,∴△POF∽△BPF,
∴=,故PF2=OF·FB.
又∵PF=-m2+6m,OF=m,BF=6-m,
∴[-m(m-6)]2=m(6-m),化简整理得-m(m-6)=1,
解得m1=3-2 ,m2=3+2 ,
当m=3-2 时,-m2+6m=-(m-3)2+9=1,
当m=3+2 时,-m2+6m=-(m-3)2+9=1,
∴点P的坐标为(3-2 ,1)或(3+2 ,1).
∵OB的中点坐标为(3,0),
∴点P,Q关于点(3,0)对称,
∴点Q的坐标为(3+2 ,-1)或(3-2 ,-1).
变式设问　解析:(1)∵抛物线L:y=-x2+2x+3,
令x=0,则y=3,∴C(0,3).
令y=0,则-x2+2x+3=0,
解得x=-1或x=3.
∵点A在点B的左侧,∴A(-1,0),B(3,0).
(2)如图,过点A'作A'H⊥x轴于点H.
∵以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,
∴AA'·AC=20,∠A'AC=90°.
∵AC===,
∴AA'=2.
∵∠A'AH+∠CAO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,
∴∠ACO=∠A'AH.
∵∠AOC=∠A'HA=90°,
∴△A'HA∽△AOC,
∴====2.
∵AO=1,CO=3,∴A'H=2,AH=6,
∴抛物线L向左平移6个单位长度,再向上平移2个单位长度后得到L',或向右平移6个单位长度,再向下平移2个单位长度后得到L'.
∵抛物线L:y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴平移后的抛物线L'的表达式为y=-(x-1+6)2+4+2=-x2-10x-19或y=-(x-1-6)2+4-2=-x2+14x-47.
综上所述,平移后的抛物线L'的表达式为y=-x2-10x-19或y=-x2+14x-47.
类型4　正方形问题探究
例4　解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,,
∴设抛物线的顶点式为y=a(x-2)2+.
∵抛物线经过原点,
∴a(0-2)2+=0,解得a=-,
∴y=-(x-2)2+=-x2+x,
∴抛物线的表达式为y=-x2+x.
(2)设正方形ABCD的边长为2m.
∵抛物线的对称轴为直线x=2,AB落在x轴的正半轴上,顶点C,D在这条抛物线上,
∴点C的坐标为(2+m,2m),
∴-(2+m)2+(2+m)=2m,
整理得m2+3m-4=0,
解得m1=1,m2=-4(舍去),
∴正方形ABCD的边长为2m=2×1=2.
变式设问　解析:(1)∵二次函数y=-x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0),
∴解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+x.
(2)如图,设Am,-m2+m.
∵四边形ABCD是正方形,抛物线的对称轴为直线x=4,
∴AD=CD,
∴=2(4-m),
解得m=2或m=12(舍去)或m=-4或m=6(舍去),
∴A(2,4)或(-4,-16).
综上所述,满足条件的点A的坐标为(2,4)或(-4,-16).
题型6　角度问题探究
例　解析:如图,过点D作DH⊥x轴,设D(t,-t2+4t-3).
∵∠DOA=45°,即tan∠DOA===1,
∴|xD|=|yD|,∴|t|=|-t2+4t-3|,当t=-t2+4t-3时,方程无解;
当-t=-t2+4t-3时,解得t=,
∴点D的坐标为,或,-.
变式设问　解析:(1)把A(3,0),C(0,2)代入抛物线的表达式y=-x2+bx+c,得
解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+2.
(2)参考图如图所示.∵抛物线的表达式为y=-x2+x+2,
令y=0,得0=-x2+x+2,
解得x1=-1,x2=3,
∴点B(-1,0).
∵平移后的抛物线的表达式为y=-(x+m)2+(x+m)+2,
∴当x=0时,y=-m2+m+2,
即N0,-m2+m+2.
∵所得的抛物线与x轴的左交点为M,
∴M(-1-m,0).
∵∠NMO=∠CAO,
∴tan∠NMO=tan∠CAO,
∴=,即=,
∴m=2或m=4.