专题一 三角与平面向量 微重点1 三角函数中ω的范围问题-2025届高考数学二轮复习（含解析）

微重点1 三角函数中ω的范围问题
(总分:61分 建议用时:45分钟)
1.(5分)若直线x=是f(x)=sinωx-(ω>0)图象的一条对称轴,且f(x)在0,上不单调,则ω的最小值为(　　).
A.9 B.7 C.11 D.3
2.(5分) 已知函数f(x)=2cos(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,在0,上单调递增,且 x∈0,,f(x)<2,则ω的取值范围是(　　).
A.1, B.(1,2] C.(0,1] D.(0,2]
3.(5分)已知函数f(x)=2sin的部分图象如图所示,若f(x)的图象在0,上恰有一条对称轴和一个对称中心,则ω的取值范围是(　　).
A., B., C., D.,
4.(5分)(2024·河南南阳高三一模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1ω∈N*,-π<φ<-的图象过原点,且关于点,1对称,若函数f(x)在0,上单调,则f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为(　　).
A. B. C. D.
5.(5分)(2024·湖北武昌高三月考)已知函数f(x)=cos2x+(0<φ<π)图象的一个对称中心为,,现将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在[0,π]上单调递减,则ω可取值为(　　).
A. B. C.2 D.3
6.(5分)已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)在,内有且仅有两个零点,且f=f,则f(x)图象的对称轴方程可以为(　　).
A.x= B.x= C.x= D.x=
7.(6分) 将函数g(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象,已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点,则下列结论正确的是(　　).
A.f(x)的图象关于点,0对称 B.f(x)在(0,2π)上有且只有5个极值点
C.f(x)在0,上单调递增 D.ω的取值范围是,
8.(5分)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象在0,内有且仅有两条对称轴和一个对称中心,则实数ω的取值范围是　　　　.
9.(5分)(2024·湖南长沙高三一模)已知函数f(x)=sinωx+在0,上恰有一个极值点,则ω的取值范围是　　　　.
10.(15分)已知直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)图象的两条相邻的对称轴.
(1)求f(x)的单调区间.
(2)保持f(x)图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的(a>0)倍,得到函数y=g(x)的图象.若g(x)在(0,π)上恰有两个极值点,求实数a的取值范围.
参考答案
1.C　解析　因为直线x=是f(x)=sinωx-(ω>0)图象的一条对称轴,所以ω-=kπ+,k∈Z,即ω=4k+3,k∈Z,
由-≤ωx-≤,得-≤x≤,则f(x)=sinωx-在-,上单调递增,
而f(x)=sinωx-在0,上不单调,则<,解得ω>9,结合选项,ω的最小值为11.
故选C.
2. D　解析　因为函数f(x)为奇函数,所以φ=kπ+(k∈Z),由0<φ<π,得φ=,则f(x)=2sin ωx(ω>0).又函数f(x)在0,上单调递增,且 x∈0,,f(x)<2,所以0<ω≤,解得0<ω≤2.故选D.
3.C　解析　由题图可知函数f(x)的图象过点(0,),所以f(0)=2sin φ=,即sin φ=,又0<φ<π,
所以φ=或φ=,由题知ω>0,
若φ=,则靠近y轴的f(x)的最大值所对应的横坐标不可能为负数,故舍去,
所以φ=,即f(x)=2sinωx+,
因为x∈0,,所以ωx+∈,+.
又y=sin x,x∈,3π的图象如图所示.
要使函数f(x)的图象在0,上恰有一条对称轴和一个对称中心,
则≤+<2π,解得≤ω<,即ω的取值范围是,.
故选C.
4.D　解析　因为f(0)=2sin φ+1=0,所以φ=2kπ-或φ=2kπ-,k∈Z.
又-π<φ<-,所以φ=-,
所以f(x)=2sinωx-+1.
因为f(x)的图象关于点,1对称,
所以ω-=kπ,k∈Z,即ω=+6,k∈Z.
当x∈0,时,ωx-∈-,-.
又因为函数f(x)在0,上单调,
所以-≤-,即ω≤6.
因为ω∈N*,所以当k=0时,ω=6.
因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个周期,所以=×=.
故选D.
5.D　解析　f(x)=cos2x+=cos(2x+φ)+,
因为函数f(x)图象的一个对称中心为,,
所以2×+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,
因为0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=cos2x++,
将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)=cosx++,
当x∈[0,π]时,x+∈,+,
若函数g(x)在[0,π]上单调递减,则+≤π,得ω≥,故D符合要求.故选D.
6.C　解析　由函数f(x)=sinωx+在,内有且仅有两个零点,得≤-解得T∈,,则ω∈,.
又f=f,-=π,
所以当T=π时,ω=2,f(x)=sin2x+,
由x∈,,得2x+∈,,当2x+=π,2π,3π时,f(x)=0,
即函数f(x)在,内有3个零点,不符合题意;
直线x==是函数f(x)图象的一条对称轴,
即ω+=+kπ,k∈N,解得ω=,k∈N,
当k≥2时,ω>,当k=0时,ω=<,均不符合题意;
当k=1时,ω=,得T=,则f(x)图象的对称轴方程可以为x=+=.
故选C.
7.CD　解析　由题意知,
f(x)=gx+=sinωx+,
在[0,2π]上,令t=ωx+,则t∈,2ωπ+,
所以y=sin t在,2ωπ+上有5个零点,
则5π≤2ωπ+<6π,解得≤ω<,D正确;
在(0,2π)上,t∈,2ωπ+,
由以上分析可知,极值点的个数可能为5或6,B错误;
f=sinω+,且ω+∈,,
故f不为0,A错误;
在0,上,t∈,ω+,
则ω+∈,,
故y=sin t在,ω+上单调递增,
即f(x)在0,上单调递增,C正确.
故选CD.
8.,　解析　由题意得,f(x)=sin ωx+cos ωx=sinωx+.
令ωx+=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z),
令k=0,1,2,得x=,,;
令ωx+=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),
令k=1,2,得x=,.
根据题意得解得<ω≤.
9.[-11,-5)∪(1,7]　解析　函数f(x)在0,上恰有一个极值点,ω=0显然不符合题意.
若ω<0,当x∈0,时,ωx+∈+,,函数f(x)在0,上恰有一个极值点,
则-≤+<-,解得-11≤ω<-5;
若ω>0,当x∈0,时,ωx+∈,+,函数f(x)在0,上恰有一个极值点,
则<+≤,解得1<ω≤7.
故ω的取值范围是[-11,-5)∪(1,7].
10.解析　(1)由题设条件知f(x)的最小正周期T==2-=π,所以ω=2.
又因为f=sin+φ=±1,0<φ<π,
所以φ=,f(x)=sin2x+.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z),
令2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得f(x)的单调递减区间为kπ+,kπ+(k∈Z).
(2)由题可知g(x)=sin2ax+,
所以当x∈(0,π)时,令t=2ax+,则t∈,2aπ+.
若g(x)在(0,π)上恰有两个极值点,
则y=sin t在,2aπ+上恰有两个极值点,
因此<2aπ+≤,解得